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7.【问题情景】工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法: 如图①, $∠ AOB$ 是一个任意角, 在边 $OA$, $OB$ 上分别取 $OM=ON$, 移动角尺, 使角尺两边相同的刻度分别与点 $M$, $N$ 重合, 即 $PM=PN$. 过角尺顶点 $P$ 的射线 $OP$ 便是$∠ AOB$ 的平分线, 已知角尺的夹角$∠ MPN=90°$.
【初步思考】(1) 试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理;
【变式判断】(2) 小明认为当$∠ AOB = 90°$时, 工人师傅就不需要先在边 $OA$, $OB$ 上分别取 $OM=ON$, 直接移动角尺, 使角尺的两边分别与 $OA$, $OB$ 相交于点 $M$, $N$, 且满足 $PM=PN$(如图②), 便可以得到 $OP$ 平分$∠ AOB$. 小明的观点是否正确? 请说明理由;
【拓展探究】(3) 如图③, $∠ AOB = 90°$, $OQ$ 平分$∠ AOB$, $P$ 是射线 $OQ$ 上的一点, 点 $C$ 在射线 $OA$ 上运动, 过点 $P$ 作 $PD ⊥ PC$, 与直线 $OB$ 交于点 $D$, 过点 $P$ 作 $PE ⊥ OB$ 于点 $E$. 若 $OE=3$, $OD=1$, 求 $OC$ 的长.
【初步思考】(1) 试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理;
【变式判断】(2) 小明认为当$∠ AOB = 90°$时, 工人师傅就不需要先在边 $OA$, $OB$ 上分别取 $OM=ON$, 直接移动角尺, 使角尺的两边分别与 $OA$, $OB$ 相交于点 $M$, $N$, 且满足 $PM=PN$(如图②), 便可以得到 $OP$ 平分$∠ AOB$. 小明的观点是否正确? 请说明理由;
【拓展探究】(3) 如图③, $∠ AOB = 90°$, $OQ$ 平分$∠ AOB$, $P$ 是射线 $OQ$ 上的一点, 点 $C$ 在射线 $OA$ 上运动, 过点 $P$ 作 $PD ⊥ PC$, 与直线 $OB$ 交于点 $D$, 过点 $P$ 作 $PE ⊥ OB$ 于点 $E$. 若 $OE=3$, $OD=1$, 求 $OC$ 的长.
答案
解：(1)在$△ OPM$ 和$△ OPN$ 中，$\begin{cases}OM=ON,\\OP=OP,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ OPM≌△ OPN (\mathrm{SSS}). \therefore ∠ POM = ∠ PON$，即 $OP$ 平分$∠ AOB$.
(2)小明的观点正确. 理由如下：过点 $P$ 作 $PD⊥ OA$ 于点 $D$，$PE⊥ OB$ 于点 $E$，$\therefore ∠ PDO = ∠ PEN = ∠ PEO = 90°$. $\therefore ∠ DPE = 360° - ∠ AOB - ∠ PDO - ∠ PEO = 90°$. $\because ∠ MPN = 90°$，$\therefore ∠ DPM = ∠ EPN = 90° - ∠ MPE$. 在 $△ PDM$ 和 $△ PEN$ 中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEN,\\∠ DPM=∠ EPN,\\PM=PN,\end{cases}$$\therefore △ PDM ≌ △ PEN$（AAS）.
$\therefore PD = PE. \because PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，$\therefore OP$ 平分$∠ AOB$. $\therefore$小明的观点正确.
(3)分以下两种情况讨论：
Ⅰ. 如图①，当点 D 在点 O 右侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F. $\because PE⊥ OB$，$OQ$ 平分$∠ AOB$，
$\therefore PF = PE$，$∠ PFC = ∠ PED = ∠ PFO = 90°$. 易知，$∠ FPE = ∠ CPD = 90°$. $\therefore ∠ FPC = ∠ EPD = 90° - ∠ FPD$. 在 $△ FPC$ 和 $△ EPD$ 中，$\begin{cases}∠ PFC=∠ PED,\\PF=PE,\\∠ FPC=∠ EPD,\end{cases}$
$\therefore △ FPC≌△ EPD(\mathrm{ASA}). \therefore CF = DE = OE - OD = 2$.
在 $\mathrm{Rt}△ PFO$ 和 $\mathrm{Rt}△ PEO$ 中，$\begin{cases}PF=PE,\\PO=PO,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ PFO≌\mathrm{Rt}△ PEO(\mathrm{HL}). \therefore OF = OE = 3. \therefore OC = OF + CF = 5$.
Ⅱ. 如图②，当点 D 在点 O 左侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F. 同理可得，$△ FPC ≌ △ EPD$，
$\therefore CF = DE = OE + OD = 4. \because OF = OE = 3$，$\therefore OC = OF + CF = 7$. 综上所述，$OC$ 的长为 5 或 7.
解析
【分析】
(1) 要证明OP为∠AOB的平分线，需证∠POM=∠PON，已知OM=ON、PM=PN，结合公共边OP，可通过SSS判定△OPM≌△OPN，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 判断小明的观点是否正确，本质是判断当∠AOB=∠MPN=90°且PM=PN时，OP是否平分∠AOB。根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB的距离相等，因此过P向OA、OB作垂线，构造全等三角形证明两条垂线段相等即可。
(3) 已知OQ平分∠AOB，P在OQ上，可过P作PF⊥OA，利用角平分线性质得PF=PE；结合∠CPD=90°可证△FPC≌△EPD，得到CF=DE。由于点D可在O的右侧或左侧，需分两种情况计算DE的长度，再结合OF=OE即可求出OC的长。
【解析】
(1) 在$△ OPM$ 和$△ OPN$ 中，
$\begin{cases}OM=ON,\\OP=OP,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ OPM≌△ OPN (\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ POM = ∠ PON$，即 $OP$ 平分$∠ AOB$.
(2) 小明的观点正确. 理由如下：
过点 $P$ 作 $PD⊥ OA$ 于点 $D$，$PE⊥ OB$ 于点 $E$，
$\therefore ∠ PDO = ∠ PEN = ∠ PEO = 90°$.
$\therefore ∠ DPE = 360° - ∠ AOB - ∠ PDO - ∠ PEO = 90°$.
$\because ∠ MPN = 90°$，$\therefore ∠ DPM = ∠ EPN = 90° - ∠ MPE$.
在 $△ PDM$ 和 $△ PEN$ 中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEN,\\∠ DPM=∠ EPN,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ PDM ≌ △ PEN$（AAS）.
$\therefore PD = PE$.
$\because PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，$\therefore OP$ 平分$∠ AOB$.
$\therefore$小明的观点正确.
(3) 分以下两种情况讨论：
Ⅰ. 当点 D 在点 O 右侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F.
$\because PE⊥ OB$，$OQ$ 平分$∠ AOB$，
$\therefore PF = PE$，$∠ PFC = ∠ PED = ∠ PFO = 90°$.
易知，$∠ FPE = ∠ CPD = 90°$.
$\therefore ∠ FPC = ∠ EPD = 90° - ∠ FPD$.
在 $△ FPC$ 和 $△ EPD$ 中，
$\begin{cases}∠ PFC=∠ PED,\\PF=PE,\\∠ FPC=∠ EPD,\end{cases}$
$\therefore △ FPC≌△ EPD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore CF = DE = OE - OD = 2$.
在 $\mathrm{Rt}△ PFO$ 和 $\mathrm{Rt}△ PEO$ 中，
$\begin{cases}PF=PE,\\PO=PO,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFO≌\mathrm{Rt}△ PEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore OF = OE = 3$.
$\therefore OC = OF + CF = 5$.
Ⅱ. 当点 D 在点 O 左侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F.
同理可得，$△ FPC ≌ △ EPD$，
$\therefore CF = DE = OE + OD = 4$.
$\because OF = OE = 3$，$\therefore OC = OF + CF = 7$.
【答案】
(1) OP平分∠AOB，证明见解析；
(2) 小明的观点正确，理由见解析；
(3) OC的长为5或7。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质与判定，分类讨论思想
【点评】
本题结合角平分线的实际应用场景，综合考查了全等三角形的证明、角平分线的性质和判定定理，解题时要熟练掌握向角两边作垂线的常用辅助线构造方法，同时注意动点位置的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明OP为∠AOB的平分线，需证∠POM=∠PON，已知OM=ON、PM=PN，结合公共边OP，可通过SSS判定△OPM≌△OPN，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 判断小明的观点是否正确，本质是判断当∠AOB=∠MPN=90°且PM=PN时，OP是否平分∠AOB。根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB的距离相等，因此过P向OA、OB作垂线，构造全等三角形证明两条垂线段相等即可。
(3) 已知OQ平分∠AOB，P在OQ上，可过P作PF⊥OA，利用角平分线性质得PF=PE；结合∠CPD=90°可证△FPC≌△EPD，得到CF=DE。由于点D可在O的右侧或左侧，需分两种情况计算DE的长度，再结合OF=OE即可求出OC的长。
【解析】
(1) 在$△ OPM$ 和$△ OPN$ 中，
$\begin{cases}OM=ON,\\OP=OP,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ OPM≌△ OPN (\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ POM = ∠ PON$，即 $OP$ 平分$∠ AOB$.
(2) 小明的观点正确. 理由如下：
过点 $P$ 作 $PD⊥ OA$ 于点 $D$，$PE⊥ OB$ 于点 $E$，
$\therefore ∠ PDO = ∠ PEN = ∠ PEO = 90°$.
$\therefore ∠ DPE = 360° - ∠ AOB - ∠ PDO - ∠ PEO = 90°$.
$\because ∠ MPN = 90°$，$\therefore ∠ DPM = ∠ EPN = 90° - ∠ MPE$.
在 $△ PDM$ 和 $△ PEN$ 中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEN,\\∠ DPM=∠ EPN,\\PM=PN,\end{cases}$
$\therefore △ PDM ≌ △ PEN$（AAS）.
$\therefore PD = PE$.
$\because PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，$\therefore OP$ 平分$∠ AOB$.
$\therefore$小明的观点正确.
(3) 分以下两种情况讨论：
Ⅰ. 当点 D 在点 O 右侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F.
$\because PE⊥ OB$，$OQ$ 平分$∠ AOB$，
$\therefore PF = PE$，$∠ PFC = ∠ PED = ∠ PFO = 90°$.
易知，$∠ FPE = ∠ CPD = 90°$.
$\therefore ∠ FPC = ∠ EPD = 90° - ∠ FPD$.
在 $△ FPC$ 和 $△ EPD$ 中，
$\begin{cases}∠ PFC=∠ PED,\\PF=PE,\\∠ FPC=∠ EPD,\end{cases}$
$\therefore △ FPC≌△ EPD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore CF = DE = OE - OD = 2$.
在 $\mathrm{Rt}△ PFO$ 和 $\mathrm{Rt}△ PEO$ 中，
$\begin{cases}PF=PE,\\PO=PO,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFO≌\mathrm{Rt}△ PEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore OF = OE = 3$.
$\therefore OC = OF + CF = 5$.
Ⅱ. 当点 D 在点 O 左侧时，过点 P 作 $PF⊥ OA$ 于点 F.
同理可得，$△ FPC ≌ △ EPD$，
$\therefore CF = DE = OE + OD = 4$.
$\because OF = OE = 3$，$\therefore OC = OF + CF = 7$.
【答案】
(1) OP平分∠AOB，证明见解析；
(2) 小明的观点正确，理由见解析；
(3) OC的长为5或7。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质与判定，分类讨论思想
【点评】
本题结合角平分线的实际应用场景，综合考查了全等三角形的证明、角平分线的性质和判定定理，解题时要熟练掌握向角两边作垂线的常用辅助线构造方法，同时注意动点位置的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
