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2. 如图，$PD ⊥ OA$，$PE ⊥ OB$，垂足分别为D，E，$PD=7\ \mathrm{cm}$，当$PE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，点P在$∠ AOB$的平分线上。
答案
7
解析
【分析】
要判断点P在∠AOB的平分线上，需用到角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，要满足判定条件，只需让两个距离相等，结合已知PD的长度即可求出PE的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此PD、PE分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则需满足PE=PD。
∵PD=7cm，
∴PE=7cm。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用，解题的关键是熟记角平分线的判定内容，明确“到角两边的距离相等”这一核心条件，直接代入数值即可求解。
【难度系数】
0.9
要判断点P在∠AOB的平分线上，需用到角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，要满足判定条件，只需让两个距离相等，结合已知PD的长度即可求出PE的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此PD、PE分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则需满足PE=PD。
∵PD=7cm，
∴PE=7cm。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用，解题的关键是熟记角平分线的判定内容，明确“到角两边的距离相等”这一核心条件，直接代入数值即可求解。
【难度系数】
0.9
3. 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.
答案
证明：过点 D 作$DH⊥ AB$于点 H，$DG⊥ AC$于点 G.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$. 又
$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$. $\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$. 又
$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$. $\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC两边的距离相等即可。已知△DCE和△DBF的面积相等，且底边CE=BF，我们可以过D分别作AB、AC的垂线，作为两个三角形对应底边上的高，通过三角形面积公式推导两条高相等，即可得到结论。
【解析】
证明：过点 D 作$DH⊥ AB$于点 H，$DG⊥ AC$于点 G.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$.
又$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$.
$\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，即点D到∠BAC两边的距离相等，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
【答案】
过点 D 作$DH⊥ AB$于点 H，$DG⊥ AC$于点 G.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$. 又
$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$. $\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
【知识点】
角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题关键是通过作点到角两边的垂线构造辅助线，结合面积法快速推导出点到两边的距离相等，掌握这种辅助线构造思路和面积法证线段相等的技巧，可高效解决同类问题。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC两边的距离相等即可。已知△DCE和△DBF的面积相等，且底边CE=BF，我们可以过D分别作AB、AC的垂线，作为两个三角形对应底边上的高，通过三角形面积公式推导两条高相等，即可得到结论。
【解析】
证明：过点 D 作$DH⊥ AB$于点 H，$DG⊥ AC$于点 G.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$.
又$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$.
$\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，即点D到∠BAC两边的距离相等，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
【答案】
过点 D 作$DH⊥ AB$于点 H，$DG⊥ AC$于点 G.
$\because S_{△ DCE} = \frac{1}{2} CE · DG$，$S_{△ DBF} = \frac{1}{2} BF · DH$，
$S_{△ DCE} = S_{△ DBF}$，$\therefore \frac{1}{2} CE · DG = \frac{1}{2} BF · DH$. 又
$\because CE = BF$，$\therefore DG = DH$. $\because DG⊥ AC$，$DH⊥ AB$，
$\therefore$点 D 在$∠ BAC$的平分线上，即 AD 平分$∠ BAC$.
【知识点】
角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题关键是通过作点到角两边的垂线构造辅助线，结合面积法快速推导出点到两边的距离相等，掌握这种辅助线构造思路和面积法证线段相等的技巧，可高效解决同类问题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$. 用尺规作图法，在 $AC$ 边上求作一点 $P$，使 $PA$ 等于点 $P$ 到 $BC$ 的距离.（保留作图痕迹，不要求写作法）
答案
解：作∠ABC的平分线，该射线与AC边的交点即为所求的点P，保留尺规作角平分线对应的圆弧痕迹与角平分线射线痕迹，标注点P即可。
解析
【分析】
要找到AC边上满足PA等于点P到BC距离的点P，首先结合已知∠BAC=90°，可得PA本身就是点P到AB边的距离。根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可知点P在∠ABC的角平分线上。结合点P需在AC边上的要求，只需作出∠ABC的角平分线，它与AC的交点即为所求的点P。
【解析】
使用尺规作∠ABC的角平分线，该角平分线与AC边的交点即为所求点P，作图时保留尺规作角平分线的圆弧痕迹、角平分线射线痕迹，并标注点P即可。
【答案】
作∠ABC的平分线，该射线与AC边的交点即为所求的点P，保留尺规作角平分线对应的圆弧痕迹与角平分线射线痕迹，标注点P即可。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是尺规作图与角平分线判定结合的基础题，解题的核心是将所求点满足的距离相等的条件，转化为该点在对应角的角平分线上，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要找到AC边上满足PA等于点P到BC距离的点P，首先结合已知∠BAC=90°，可得PA本身就是点P到AB边的距离。根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可知点P在∠ABC的角平分线上。结合点P需在AC边上的要求，只需作出∠ABC的角平分线，它与AC的交点即为所求的点P。
【解析】
使用尺规作∠ABC的角平分线，该角平分线与AC边的交点即为所求点P，作图时保留尺规作角平分线的圆弧痕迹、角平分线射线痕迹，并标注点P即可。
【答案】
作∠ABC的平分线，该射线与AC边的交点即为所求的点P，保留尺规作角平分线对应的圆弧痕迹与角平分线射线痕迹，标注点P即可。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是尺规作图与角平分线判定结合的基础题，解题的核心是将所求点满足的距离相等的条件，转化为该点在对应角的角平分线上，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
5. 如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作$PR ⊥ AB$于点R，$PS ⊥ AC$于点S. 若$PR = PS$，则下面三个结论：①$AS = AR$；②$PQ // AR$；③$△ BRP ≌ △ CSP$. 其中正确的是(
A.①③
B.②③
C.①②
D.①
D
).A.①③
B.②③
C.①②
D.①
答案
D
解析
【分析】首先根据角平分线的判定定理，由PR⊥AB、PS⊥AC且PR=PS可推出AP平分∠BAC，再逐个分析三个结论：①要证AS=AR，可通过证明Rt△APR和Rt△APS全等推导；②要证PQ//AR，题目未给出PQ相关的角度或边长条件，无法得到平行所需的角相等关系；③要证△BRP≌△CSP，仅已知直角和PR=PS，缺少其余全等所需的边或角相等的条件，无法证明。
【解析】
连接AP，
∵ $PR ⊥ AB$，$PS ⊥ AC$，且$PR=PS$，
∴ 点P在∠BAC的角平分线上，即AP平分∠BAC，$∠ PAR=∠ PAS$。
1. 验证结论①：
在$\mathrm{Rt}△ APR$和$\mathrm{Rt}△ APS$中：
$\begin{cases}AP=AP \\PR=PS\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ APR ≌ \mathrm{Rt}△ APS$（HL），
∴ $AS=AR$，结论①正确。
2. 验证结论②：
题目仅说明Q是AC上的点，未给出PQ的边长、角度相关条件，无法推出能证明$PQ // AR$的角相等关系，结论②错误。
3. 验证结论③：
在$△ BRP$和$△ CSP$中，仅已知$∠ BRP=∠ CSP=90°$、$PR=PS$，没有$BP=PC$、$∠ B=∠ C$等其余全等条件，无法证明两个三角形全等，结论③错误。
综上，仅结论①正确。
【答案】D
【知识点】角平分线的判定，直角三角形全等的判定，平行线的判定
【点评】解题时要严格依据题目给出的已知条件推导，不要自行添加默认条件（如默认P是BC中点等）判断结论，避免出现错判。
【难度系数】0.7
【解析】
连接AP，
∵ $PR ⊥ AB$，$PS ⊥ AC$，且$PR=PS$，
∴ 点P在∠BAC的角平分线上，即AP平分∠BAC，$∠ PAR=∠ PAS$。
1. 验证结论①：
在$\mathrm{Rt}△ APR$和$\mathrm{Rt}△ APS$中：
$\begin{cases}AP=AP \\PR=PS\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ APR ≌ \mathrm{Rt}△ APS$（HL），
∴ $AS=AR$，结论①正确。
2. 验证结论②：
题目仅说明Q是AC上的点，未给出PQ的边长、角度相关条件，无法推出能证明$PQ // AR$的角相等关系，结论②错误。
3. 验证结论③：
在$△ BRP$和$△ CSP$中，仅已知$∠ BRP=∠ CSP=90°$、$PR=PS$，没有$BP=PC$、$∠ B=∠ C$等其余全等条件，无法证明两个三角形全等，结论③错误。
综上，仅结论①正确。
【答案】D
【知识点】角平分线的判定，直角三角形全等的判定，平行线的判定
【点评】解题时要严格依据题目给出的已知条件推导，不要自行添加默认条件（如默认P是BC中点等）判断结论，避免出现错判。
【难度系数】0.7
6. 如图，B，D，C分别是AF，AG和AE上的点，且满足$BD = CD$，$∠ ABD + ∠ ACD=180°$. 求证：AD平分$∠ BAC$. 
答案
证明：过点 D 作$DP⊥ AC$于点 P，$DQ⊥ AB$于点 Q，
$\therefore ∠ DPC = ∠ DQB = 90°$. $\because ∠ ABD + ∠ ACD = 180°$，
$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$，$\therefore ∠ DCP = ∠ ABD$.
在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB,\\∠ DCP=∠ ABD,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ DCP≌△ DBQ(\mathrm{AAS}). \therefore DP = DQ. \because DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$.
$\therefore ∠ DPC = ∠ DQB = 90°$. $\because ∠ ABD + ∠ ACD = 180°$，
$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$，$\therefore ∠ DCP = ∠ ABD$.
在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB,\\∠ DCP=∠ ABD,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ DCP≌△ DBQ(\mathrm{AAS}). \therefore DP = DQ. \because DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AC、AB的距离相等即可。首先过D作AC、AB的垂线构造两条垂线段，再结合已知的∠ABD+∠ACD=180°，利用同角的补角相等推出一组等角，结合BD=CD的条件证明两个直角三角形全等，即可得到两条垂线段相等，进而推出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作$DP⊥ AC$于点P，$DQ⊥ AB$于点Q，根据垂直的定义可得$∠ DPC = ∠ DQB = 90°$。
2. 推导等角：已知$∠ ABD + ∠ ACD=180°$，又因为$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$（平角的定义），根据同角的补角相等，可得$∠ DCP = ∠ ABD$。
3. 证三角形全等：在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，满足$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB\\∠ DCP=∠ ABD\\CD=BD\end{cases}$，根据AAS（角角边）判定定理，可得$△ DCP≌△ DBQ$。
4. 得垂线段相等：由全等三角形对应边相等，可得$DP = DQ$。
5. 判定角平分线：因为$DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，且$DP=DQ$，根据角平分线的判定定理，可得AD平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：过点 D 作$DP⊥ AC$于点 P，$DQ⊥ AB$于点 Q，
$\therefore ∠ DPC = ∠ DQB = 90°$. $\because ∠ ABD + ∠ ACD=180°$，
$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$，$\therefore ∠ DCP = ∠ ABD$.
在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB,\\∠ DCP=∠ ABD,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ DCP≌△ DBQ(\mathrm{AAS}). \therefore DP = DQ. \because DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题核心是将角平分线的证明转化为点到角两边距离相等的证明，解题关键是通过作垂线段构造全等三角形，需要熟练运用补角性质、全等三角形判定来推导边长关系，是角平分线判定应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AC、AB的距离相等即可。首先过D作AC、AB的垂线构造两条垂线段，再结合已知的∠ABD+∠ACD=180°，利用同角的补角相等推出一组等角，结合BD=CD的条件证明两个直角三角形全等，即可得到两条垂线段相等，进而推出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作$DP⊥ AC$于点P，$DQ⊥ AB$于点Q，根据垂直的定义可得$∠ DPC = ∠ DQB = 90°$。
2. 推导等角：已知$∠ ABD + ∠ ACD=180°$，又因为$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$（平角的定义），根据同角的补角相等，可得$∠ DCP = ∠ ABD$。
3. 证三角形全等：在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，满足$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB\\∠ DCP=∠ ABD\\CD=BD\end{cases}$，根据AAS（角角边）判定定理，可得$△ DCP≌△ DBQ$。
4. 得垂线段相等：由全等三角形对应边相等，可得$DP = DQ$。
5. 判定角平分线：因为$DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，且$DP=DQ$，根据角平分线的判定定理，可得AD平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：过点 D 作$DP⊥ AC$于点 P，$DQ⊥ AB$于点 Q，
$\therefore ∠ DPC = ∠ DQB = 90°$. $\because ∠ ABD + ∠ ACD=180°$，
$∠ ACD + ∠ DCP = 180°$，$\therefore ∠ DCP = ∠ ABD$.
在$△ DCP$ 和$△ DBQ$ 中，$\begin{cases}∠ DPC=∠ DQB,\\∠ DCP=∠ ABD,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ DCP≌△ DBQ(\mathrm{AAS}). \therefore DP = DQ. \because DP⊥ AC$，$DQ⊥ AB$，$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题核心是将角平分线的证明转化为点到角两边距离相等的证明，解题关键是通过作垂线段构造全等三角形，需要熟练运用补角性质、全等三角形判定来推导边长关系，是角平分线判定应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
