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1.如图29－3－18，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，再在正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD中分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(
A.3.5 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm
B
)A.3.5 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，据此建立等量关系列方程求解。首先设AB的长度为x cm，先求出扇形BAF的弧长：扇形的半径等于正方形ABFE的边长x，圆心角为正方形的内角90°，用弧长公式即可算出弧长；再求矩形EFCD中最大圆的周长：矩形的短边为ED=AD-AE=6-x，最大圆的直径等于矩形短边的长度，进而算出底面圆的周长；最后根据弧长等于底面周长列方程，解方程即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
1. 求扇形BAF的弧长：
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ $ AB=AE=x \, \mathrm{cm} $，扇形BAF的圆心角为$ 90° $，
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，得扇形弧长：
$ l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2} \, \mathrm{cm} $。
2. 求矩形EFCD中最大圆的周长：
矩形EFCD的边$ ED=AD-AE=6-x \, \mathrm{cm} $，矩形内半径最大的圆的直径等于矩形的短边长$ ED $，
∴ 底面圆的周长$ C=π d=π(6-x) \, \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：
∵ 扇形恰好作为圆锥的侧面，圆作为圆锥的底面，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴ $ \frac{π x}{2}=π(6-x) $，
两边同时约去$ π $得：$ \frac{x}{2}=6-x $，
解得：$ x=4 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，矩形的性质
【点评】
本题是平面图形裁剪与圆锥性质结合的应用型题目，解题关键是抓住“圆锥侧面展开图弧长等于底面周长”这一核心等量关系，同时需准确判断矩形内最大圆的直径长度，较好地考察了方程思想和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，据此建立等量关系列方程求解。首先设AB的长度为x cm，先求出扇形BAF的弧长：扇形的半径等于正方形ABFE的边长x，圆心角为正方形的内角90°，用弧长公式即可算出弧长；再求矩形EFCD中最大圆的周长：矩形的短边为ED=AD-AE=6-x，最大圆的直径等于矩形短边的长度，进而算出底面圆的周长；最后根据弧长等于底面周长列方程，解方程即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{cm} $。
1. 求扇形BAF的弧长：
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ $ AB=AE=x \, \mathrm{cm} $，扇形BAF的圆心角为$ 90° $，
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，得扇形弧长：
$ l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2} \, \mathrm{cm} $。
2. 求矩形EFCD中最大圆的周长：
矩形EFCD的边$ ED=AD-AE=6-x \, \mathrm{cm} $，矩形内半径最大的圆的直径等于矩形的短边长$ ED $，
∴ 底面圆的周长$ C=π d=π(6-x) \, \mathrm{cm} $。
3. 列方程求解：
∵ 扇形恰好作为圆锥的侧面，圆作为圆锥的底面，圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴ $ \frac{π x}{2}=π(6-x) $，
两边同时约去$ π $得：$ \frac{x}{2}=6-x $，
解得：$ x=4 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，矩形的性质
【点评】
本题是平面图形裁剪与圆锥性质结合的应用型题目，解题关键是抓住“圆锥侧面展开图弧长等于底面周长”这一核心等量关系，同时需准确判断矩形内最大圆的直径长度，较好地考察了方程思想和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图29－3－19，李同学用半径为10 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2.5 cm的圆锥侧面，则圆锥上重叠部分的面积是
图29－3－18 图29－3－19 图29－3－20
$\frac{25π}{9}$
cm².(结果保留π) 图29－3－18 图29－3－19 图29－3－20
答案
2.$\frac{25π}{9}$
解析
【分析】
要计算重叠部分的面积，首先明确制作圆锥时，无重叠部分的扇形弧长等于圆锥底面周长。解题步骤如下：1. 先计算圆锥底面周长，得到所需有效扇形的弧长；2. 利用弧长公式求出有效扇形对应的圆心角；3. 用原扇形圆心角减去有效圆心角，得到重叠部分扇形的圆心角；4. 最后用扇形面积公式计算重叠部分面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：
圆锥底面半径$r=2.5\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2.5=5π\ \mathrm{cm}$，即制作圆锥所需有效扇形的弧长为$5π\ \mathrm{cm}$。
2. 求有效扇形的圆心角：
设有效扇形的圆心角为$n°$，扇形半径$R=10\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入数据得：
$5π=\frac{nπ×10}{180}$
约去$π$，解得$n=90$，即有效部分圆心角为$90°$。
3. 求重叠部分扇形的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，故重叠部分圆心角为$100°-90°=10°$。
4. 计算重叠部分面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR²}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$、$R=10$得：
$S_{重叠}=\frac{10×π×10²}{360}=\frac{1000π}{360}=\frac{25π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
弧长公式，扇形面积公式，圆锥与侧面展开图的关系
【点评】
本题的核心是理解圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系，解题时要抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，准确计算出重叠部分的圆心角即可求解，注意不要混淆扇形半径和圆锥底面半径。
【难度系数】
0.6
要计算重叠部分的面积，首先明确制作圆锥时，无重叠部分的扇形弧长等于圆锥底面周长。解题步骤如下：1. 先计算圆锥底面周长，得到所需有效扇形的弧长；2. 利用弧长公式求出有效扇形对应的圆心角；3. 用原扇形圆心角减去有效圆心角，得到重叠部分扇形的圆心角；4. 最后用扇形面积公式计算重叠部分面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：
圆锥底面半径$r=2.5\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2πr=2π×2.5=5π\ \mathrm{cm}$，即制作圆锥所需有效扇形的弧长为$5π\ \mathrm{cm}$。
2. 求有效扇形的圆心角：
设有效扇形的圆心角为$n°$，扇形半径$R=10\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入数据得：
$5π=\frac{nπ×10}{180}$
约去$π$，解得$n=90$，即有效部分圆心角为$90°$。
3. 求重叠部分扇形的圆心角：
原扇形圆心角为$100°$，故重叠部分圆心角为$100°-90°=10°$。
4. 计算重叠部分面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{θπR²}{360}$（$θ$为圆心角度数），代入$θ=10$、$R=10$得：
$S_{重叠}=\frac{10×π×10²}{360}=\frac{1000π}{360}=\frac{25π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
弧长公式，扇形面积公式，圆锥与侧面展开图的关系
【点评】
本题的核心是理解圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系，解题时要抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，准确计算出重叠部分的圆心角即可求解，注意不要混淆扇形半径和圆锥底面半径。
【难度系数】
0.6
3.【数学文化】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”前面的译文为屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图29－3－20），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺。后面问题部分这里改为求这个米堆与两个墙面接触部分的面积之和，则所求面积之和是
$\frac{80}{π}$
平方尺.（结果用含π的式子表示）答案
3.$\frac{80}{π}$
解析
【分析】
首先明确米堆是四分之一圆锥，与墙面接触的部分是两个全等的直角三角形，解题思路如下：1. 利用底部弧长是四分之一底面圆的弧长，结合弧长公式求出圆锥底面半径r；2. 确定接触的直角三角形的两条直角边分别为底面半径r和米堆的高5尺；3. 计算两个直角三角形的面积之和即可得到结果。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r $尺，
已知米堆底部弧长为四分之一底面圆的弧长，根据弧长公式可得：
$\frac{1}{4} × 2π r = 8$
解得：$ r = \frac{16}{π} $
米堆与两个墙面接触的部分是两个全等的直角三角形，直角边分别为底面半径$ r $和米堆的高5尺，
则接触面积之和为：
$ 2 × (\frac{1}{2} × r × 5) = 5r $
将$ r = \frac{16}{π} $代入得：
$ 5 × \frac{16}{π} = \frac{80}{π} $
【答案】
$\frac{80}{π}$
【知识点】
弧长计算，三角形面积计算，圆锥的特征
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的问题背景，考查了圆锥相关知识的实际应用，解题的关键是准确判断接触面积对应的几何图形，再结合相关公式计算，体现了数学文化与数学知识的结合。
【难度系数】
0.6
首先明确米堆是四分之一圆锥，与墙面接触的部分是两个全等的直角三角形，解题思路如下：1. 利用底部弧长是四分之一底面圆的弧长，结合弧长公式求出圆锥底面半径r；2. 确定接触的直角三角形的两条直角边分别为底面半径r和米堆的高5尺；3. 计算两个直角三角形的面积之和即可得到结果。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r $尺，
已知米堆底部弧长为四分之一底面圆的弧长，根据弧长公式可得：
$\frac{1}{4} × 2π r = 8$
解得：$ r = \frac{16}{π} $
米堆与两个墙面接触的部分是两个全等的直角三角形，直角边分别为底面半径$ r $和米堆的高5尺，
则接触面积之和为：
$ 2 × (\frac{1}{2} × r × 5) = 5r $
将$ r = \frac{16}{π} $代入得：
$ 5 × \frac{16}{π} = \frac{80}{π} $
【答案】
$\frac{80}{π}$
【知识点】
弧长计算，三角形面积计算，圆锥的特征
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的问题背景，考查了圆锥相关知识的实际应用，解题的关键是准确判断接触面积对应的几何图形，再结合相关公式计算，体现了数学文化与数学知识的结合。
【难度系数】
0.6
4. 如图29－3－21，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角是$120°$的扇形ABC.求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
答案
4.解:(1)如答图29-3-2，
设O为圆形铁皮的圆心，连接OA，OB,OC.
$\because OA=OC=OB,AB=AC$,
$\therefore △ ABO≌△ ACO$.
又$∠BAC=120°$,
$\therefore ∠BAO=∠CAO=60°$,
$\therefore △ ABO$是等边三角形,$\therefore AB=\frac{1}{2}$米.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{120}{360}π(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{12}$(平方米).
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=π(\frac{1}{2})^2-\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$(平方米).
(2)在扇形ABC中,$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{120}{180}π×\frac{1}{2}=\frac{π}{3}$(米).
设该圆锥底面圆的半径为r米.
则$2πr=\frac{π}{3},\therefore r=\frac{1}{6}$.
故该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{6}$米.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用“整体减部分”的思路：阴影面积 = 圆形铁皮总面积 - 扇形ABC的面积。首先由圆形铁皮的直径可直接求其半径和总面积；再连接圆心O与A、B、C，通过证明△ABO为等边三角形求出扇形ABC的半径AB的长度，代入扇形面积公式计算扇形面积，最后作差即可得阴影面积。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等。先计算弧BC的长度，再结合圆的周长公式列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
(1) 设O为圆形铁皮的圆心，连接OA，OB，OC。
∵OA=OC=OB，AB=AC，
∴△ABO≌△ACO（SSS）。
∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，
又
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，即AB=OA=$\frac{1}{2}$米。
扇形ABC的面积：$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{nπR^2}{360}=\frac{120π×(\frac{1}{2})^2}{360}=\frac{π}{12}$（平方米）。
圆形铁皮总面积：$S_{\mathrm{圆}}=πr^2=π×(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{4}$（平方米）。
则阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{π}{4}-\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$（平方米）。
(2) 先计算弧BC的长度：$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπR}{180}=\frac{120π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$（米）。
设圆锥底面圆的半径为r米，根据扇形弧长等于圆锥底面圆周长可得：
$2πr=\frac{π}{3}$
解得$r=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 如答图29-3-2，，被剪掉阴影部分的面积为$\frac{π}{6}$平方米；
(2) 该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{6}$米。
【知识点】
扇形面积计算；弧长计算；圆锥展开图性质
【点评】
本题是圆相关计算的常规题型，解题核心是先推导得到扇形的半径长度，再结合扇形、圆锥的相关性质代入公式计算，能较好地考查学生对几何公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可采用“整体减部分”的思路：阴影面积 = 圆形铁皮总面积 - 扇形ABC的面积。首先由圆形铁皮的直径可直接求其半径和总面积；再连接圆心O与A、B、C，通过证明△ABO为等边三角形求出扇形ABC的半径AB的长度，代入扇形面积公式计算扇形面积，最后作差即可得阴影面积。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等。先计算弧BC的长度，再结合圆的周长公式列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
(1) 设O为圆形铁皮的圆心，连接OA，OB，OC。
∵OA=OC=OB，AB=AC，
∴△ABO≌△ACO（SSS）。
∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，
又
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，即AB=OA=$\frac{1}{2}$米。
扇形ABC的面积：$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{nπR^2}{360}=\frac{120π×(\frac{1}{2})^2}{360}=\frac{π}{12}$（平方米）。
圆形铁皮总面积：$S_{\mathrm{圆}}=πr^2=π×(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{4}$（平方米）。
则阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{π}{4}-\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$（平方米）。
(2) 先计算弧BC的长度：$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπR}{180}=\frac{120π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$（米）。
设圆锥底面圆的半径为r米，根据扇形弧长等于圆锥底面圆周长可得：
$2πr=\frac{π}{3}$
解得$r=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 如答图29-3-2，
，被剪掉阴影部分的面积为$\frac{π}{6}$平方米；(2) 该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{6}$米。
【知识点】
扇形面积计算；弧长计算；圆锥展开图性质
【点评】
本题是圆相关计算的常规题型，解题核心是先推导得到扇形的半径长度，再结合扇形、圆锥的相关性质代入公式计算，能较好地考查学生对几何公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
