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1. 如图29－3－22，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为$90°$的扇形.
(1)求这个扇形的面积;(结果保留π)
(2)在剩下的三块余料中,能否从余料③中剪出一个圆,将其作为底面,与该扇形围成一个圆锥?请说明理由;
(3)当$\odot O$的半径$R(R＞0)$为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(1)求这个扇形的面积;(结果保留π)
(2)在剩下的三块余料中,能否从余料③中剪出一个圆,将其作为底面,与该扇形围成一个圆锥?请说明理由;
(3)当$\odot O$的半径$R(R＞0)$为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
答案
1.解:(1)如答图29-3-3，
连接BC,由勾股定理求得
$AB=AC=\sqrt{2},S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπR^2}{360}=\frac{1}{2}π$.
(2)如答图29-3-3,连接AO并延长,与$\overset{\frown}{BC}$和$\odot O$分别交于点E,F.
$\therefore EF=AF-AE=2-\sqrt{2}$,
$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{nπR}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$.
设以该扇形为侧面的圆锥的底面圆的半径为r,
则$2πr=\frac{\sqrt{2}}{2}π$,
$\therefore$该圆锥的底面圆的直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because 2-\sqrt{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore$不能在余料③中剪出一个圆,将其作为底面,与该扇形围成圆锥.
(3)由勾股定理求得$R'=AB=AC=\sqrt{2}R$,
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{nπR'}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}πR$.
$\because 2πr=\frac{\sqrt{2}}{2}πR$,
$\therefore$圆锥的底面圆的直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$.
$\therefore EF=AF-AE=2R-\sqrt{2}R=(2-\sqrt{2})R$.
$\because 2-\sqrt{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$且$R＞0$,
$\therefore (2-\sqrt{2})R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R$,
即无论半径R为何值,都有$EF＜2r$.
$\therefore$不能在余料③中剪出一个圆,将其作为底面,与该扇形围成圆锥.
解析
【分析】
（1）要求扇形面积，已知圆心角为90°，只需先求出扇形的半径AB即可。由于∠BAC=90°，根据圆周角定理可知BC是⊙O的直径，长度为2，结合△ABC是等腰直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
（2）要判断能否从余料③中剪出圆作为圆锥底面，需明确两个量：一是围成圆锥所需的底面圆直径，二是余料③中能剪出的最大圆的直径。首先根据“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”，算出弧BC的长度，进而求出所需底面圆的直径；再求出余料③中可剪最大圆的直径（即原圆直径减去扇形半径的长度EF），比较两个直径的大小即可得出结论。
（3）将⊙O的半径替换为任意正数R，重复（2）的推导过程，判断两个直径的大小关系是否与R无关，即可验证结论是否仍然成立。
【解析】
(1) 如答图29-3-3，
连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC=2。
∵AB=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=AC=\sqrt{2}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入$n=90$，$R=\sqrt{2}$，得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$。
(2) 不能，理由如下：
连接AO并延长，与$\overset{\frown}{BC}$和$\odot O$分别交于点E、F。
AF是⊙O的直径，故$AF=2$，AE为扇形的半径，即$AE=\sqrt{2}$，因此余料③中可剪出的最大圆的直径为$EF=AF-AE=2-\sqrt{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长为$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
设圆锥底面圆半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，因此$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即底面圆直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵$2-\sqrt{2}\approx0.586＜\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，即余料③中最大可剪圆的直径小于所需底面圆的直径，因此不能剪出符合要求的圆。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
当⊙O半径为R时，直径$BC=2R$，同理在等腰Rt△ABC中，由勾股定理得$AB=AC=\sqrt{2}R$，即扇形半径为$\sqrt{2}R$。
$\overset{\frown}{BC}$的长为$l=\frac{90π×\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$。
设底面圆半径为r，由$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$，得底面直径$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$。
余料③中最大可剪圆的直径$EF=AF-AE=2R-\sqrt{2}R=(2-\sqrt{2})R$。
∵$2-\sqrt{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$R＞0$，
∴$(2-\sqrt{2})R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R$，即$EF＜2r$恒成立。
因此无论R取何正值，都不能在余料③中剪出符合要求的圆作为底面。
【答案】
(1) 扇形面积为$\frac{1}{2}π$；
(2) 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与该扇形围成圆锥；
(3) 当$\odot O$的半径$R(R＞0)$为任意值时，(2)中的结论仍然成立。
【知识点】
1. 扇形的弧长与面积计算
2. 圆锥的侧面展开图性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查扇形相关计算和圆锥的性质，核心解题点是理解圆锥底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，通过计算比较所需底面圆直径和余料可剪最大圆的直径得出结论，同时渗透了从特殊到一般的推导思维，需要熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.6
（1）要求扇形面积，已知圆心角为90°，只需先求出扇形的半径AB即可。由于∠BAC=90°，根据圆周角定理可知BC是⊙O的直径，长度为2，结合△ABC是等腰直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
（2）要判断能否从余料③中剪出圆作为圆锥底面，需明确两个量：一是围成圆锥所需的底面圆直径，二是余料③中能剪出的最大圆的直径。首先根据“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”，算出弧BC的长度，进而求出所需底面圆的直径；再求出余料③中可剪最大圆的直径（即原圆直径减去扇形半径的长度EF），比较两个直径的大小即可得出结论。
（3）将⊙O的半径替换为任意正数R，重复（2）的推导过程，判断两个直径的大小关系是否与R无关，即可验证结论是否仍然成立。
【解析】
(1) 如答图29-3-3，
连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC=2。
∵AB=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=AC=\sqrt{2}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入$n=90$，$R=\sqrt{2}$，得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$。
(2) 不能，理由如下：
连接AO并延长，与$\overset{\frown}{BC}$和$\odot O$分别交于点E、F。
AF是⊙O的直径，故$AF=2$，AE为扇形的半径，即$AE=\sqrt{2}$，因此余料③中可剪出的最大圆的直径为$EF=AF-AE=2-\sqrt{2}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得$\overset{\frown}{BC}$的长为$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
设圆锥底面圆半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，因此$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即底面圆直径为$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵$2-\sqrt{2}\approx0.586＜\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，即余料③中最大可剪圆的直径小于所需底面圆的直径，因此不能剪出符合要求的圆。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
当⊙O半径为R时，直径$BC=2R$，同理在等腰Rt△ABC中，由勾股定理得$AB=AC=\sqrt{2}R$，即扇形半径为$\sqrt{2}R$。
$\overset{\frown}{BC}$的长为$l=\frac{90π×\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$。
设底面圆半径为r，由$2π r=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$，得底面直径$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$。
余料③中最大可剪圆的直径$EF=AF-AE=2R-\sqrt{2}R=(2-\sqrt{2})R$。
∵$2-\sqrt{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$R＞0$，
∴$(2-\sqrt{2})R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R$，即$EF＜2r$恒成立。
因此无论R取何正值，都不能在余料③中剪出符合要求的圆作为底面。
【答案】
(1) 扇形面积为$\frac{1}{2}π$；
(2) 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与该扇形围成圆锥；
(3) 当$\odot O$的半径$R(R＞0)$为任意值时，(2)中的结论仍然成立。
【知识点】
1. 扇形的弧长与面积计算
2. 圆锥的侧面展开图性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查扇形相关计算和圆锥的性质，核心解题点是理解圆锥底面周长等于其侧面展开扇形的弧长，通过计算比较所需底面圆直径和余料可剪最大圆的直径得出结论，同时渗透了从特殊到一般的推导思维，需要熟练掌握相关公式并灵活运用。
【难度系数】
0.6
2.【问题情境】制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料. 如图29－3－23①，将一个底面圆的半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.
(1)【探索尝试】图29－3－23①中，圆锥底面圆的周长与其侧面展开图的弧长
(2)【解决问题】若要快速计算出n的值，请用含r，l的式子表示n；
(3)【拓展延伸】图29－3－23②是一种圆锥形纸质生日帽，AB＝6 cm，l＝6 cm，点C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值.
(1)【探索尝试】图29－3－23①中，圆锥底面圆的周长与其侧面展开图的弧长
相等
（填“相等”或“不相等”），若r＝3，l＝9，则n＝120
；(2)【解决问题】若要快速计算出n的值，请用含r，l的式子表示n；
(3)【拓展延伸】图29－3－23②是一种圆锥形纸质生日帽，AB＝6 cm，l＝6 cm，点C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值.
答案
2.解:(1)相等 120
(2)由圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的弧长，
得$2πr=\frac{nπl}{180},\therefore n=\frac{2πr×180}{πl}=\frac{360r}{l}$.
(3)$\because l=6\ \mathrm{cm},r=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore n=\frac{360×3}{6}=180$,
$\therefore$圆锥的侧面展开后得到的扇形的圆心角度数为$180°$.
如答图29-3-4,设展开后点A,C的对应点分别是点$A',C'$,连接$A'C,A'P,A'C'$,
易知彩带长度的最小值为$A'C+A'C'=2A'C,∠A'PC=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\because PA'=PB=6\ \mathrm{cm}$,点C是PB的中点，
$\therefore PC=\frac{1}{2}PB=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ A'PC$中，
$A'C=\sqrt{PA'^2+PC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
$\therefore$彩带长度的最小值为$2A'C=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆圆锥侧面展开的核心性质：圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，据此可直接判断第一空；再将r=3、l=9代入“底面周长=扇形弧长”的等量关系，即可求解n的值。
(2) 直接利用“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”的等量关系列等式，变形后即可推导出用r、l表示n的式子。
(3) 圆锥表面的最短路径问题需将侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求解。先根据已知的r和l计算展开图的圆心角，再找到A、C在展开图中的对应点，构造直角三角形用勾股定理计算最短路径长度，注意题目要求路径为A到C再返回A，总长度为单段最短长度的2倍。
【解析】
(1) 根据圆锥侧面展开的性质，圆锥底面圆的周长与其侧面展开图的弧长相等。
已知r=3，l=9，由$2πr=\frac{nπl}{180}$，代入数值得$2π×3=\frac{nπ×9}{180}$，约去π后解得n=120。
(2) 由圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$2πr=\frac{nπl}{180}$
约去π后整理得：$n=\frac{360r}{l}$。
(3) 由题可知圆锥底面半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，母线长l=6 cm，代入n的表达式得：
$n=\frac{360×3}{6}=180$，即侧面展开图的圆心角为180°。
将圆锥侧面展开，设点A、C的对应点分别为$A'$、$C'$，连接$A'C$、$A'C'$，彩带最短长度为$A'C+A'C'=2A'C$，此时$∠ A'PC=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵$PA'=l=6\ \mathrm{cm}$，C是PB中点，
∴$PC=\frac{1}{2}PB=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△A'PC$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{PA'^2+PC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∴彩带最短长度为$2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 相等 120
(2) $n=\frac{360r}{l}$
(3) 彩带长度的最小值为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开性质、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题围绕圆锥的侧面展开设置考点，既考查了基础的公式推导，又结合最短路径问题考查了空间图形转化为平面图形的解题思想，需熟练掌握圆锥各量与展开图各量的对应关系。
【难度系数】
0.6
(1) 首先回忆圆锥侧面展开的核心性质：圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，据此可直接判断第一空；再将r=3、l=9代入“底面周长=扇形弧长”的等量关系，即可求解n的值。
(2) 直接利用“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”的等量关系列等式，变形后即可推导出用r、l表示n的式子。
(3) 圆锥表面的最短路径问题需将侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求解。先根据已知的r和l计算展开图的圆心角，再找到A、C在展开图中的对应点，构造直角三角形用勾股定理计算最短路径长度，注意题目要求路径为A到C再返回A，总长度为单段最短长度的2倍。
【解析】
(1) 根据圆锥侧面展开的性质，圆锥底面圆的周长与其侧面展开图的弧长相等。
已知r=3，l=9，由$2πr=\frac{nπl}{180}$，代入数值得$2π×3=\frac{nπ×9}{180}$，约去π后解得n=120。
(2) 由圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$2πr=\frac{nπl}{180}$
约去π后整理得：$n=\frac{360r}{l}$。
(3) 由题可知圆锥底面半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，母线长l=6 cm，代入n的表达式得：
$n=\frac{360×3}{6}=180$，即侧面展开图的圆心角为180°。
将圆锥侧面展开，设点A、C的对应点分别为$A'$、$C'$，连接$A'C$、$A'C'$，彩带最短长度为$A'C+A'C'=2A'C$，此时$∠ A'PC=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵$PA'=l=6\ \mathrm{cm}$，C是PB中点，
∴$PC=\frac{1}{2}PB=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△A'PC$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{PA'^2+PC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∴彩带最短长度为$2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 相等 120
(2) $n=\frac{360r}{l}$
(3) 彩带长度的最小值为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开性质、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题围绕圆锥的侧面展开设置考点，既考查了基础的公式推导，又结合最短路径问题考查了空间图形转化为平面图形的解题思想，需熟练掌握圆锥各量与展开图各量的对应关系。
【难度系数】
0.6
