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1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的根的判别式的值是（
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。解题的第一步是先从题目给出的方程中找出对应的$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意系数要带上符号，再代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的理解与应用，解题时注意准确识别方程各项的系数，尤其是一次项系数的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。解题的第一步是先从题目给出的方程中找出对应的$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），注意系数要带上符号，再代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的判别式公式的理解与应用，解题时注意准确识别方程各项的系数，尤其是一次项系数的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.85
2.关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
2.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值来判定。首先从给定方程中确定带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础应用题，主要考查根的判别式的实际使用，只要能准确提取方程各项系数、牢记判别式取值和根的对应关系就能快速解题，属于必须得分的基础题型。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程根的情况，需通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值来判定。首先从给定方程中确定带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础应用题，主要考查根的判别式的实际使用，只要能准确提取方程各项系数、牢记判别式取值和根的对应关系就能快速解题，属于必须得分的基础题型。
【难度系数】
0.85
3.【教材P11例3变式】关于$x$的方程$x^2 - 2x + 2 = 0$的根是(
A.$x=1\pm\sqrt{3}$
B.$x=-1\pm\sqrt{3}$
C.无实根
D.$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
C
)A.$x=1\pm\sqrt{3}$
B.$x=-1\pm\sqrt{3}$
C.无实根
D.$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题是判断一元二次方程实数根的问题，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出题目中方程的$a、b、c$的值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实根；$\Delta=0$，有两个相等的实根；$\Delta＜0$，无实根，若判别式非负再用求根公式计算根的具体值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + 2 = 0$，可知$a=1$，$b=-2$，$c=2$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4$
因为$\Delta = -4 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确找出方程中对应系数、正确计算判别式的值，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题是判断一元二次方程实数根的问题，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找出题目中方程的$a、b、c$的值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实根；$\Delta=0$，有两个相等的实根；$\Delta＜0$，无实根，若判别式非负再用求根公式计算根的具体值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + 2 = 0$，可知$a=1$，$b=-2$，$c=2$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×2 = 4 - 8 = -4$
因为$\Delta = -4 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确找出方程中对应系数、正确计算判别式的值，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$没有实数根，则实数$m$的取值范围是（
A.$m＜1$
B.$m＞-1$
C.$m＞1$
D.$m＜-1$
C
）A.$m＜1$
B.$m＞-1$
C.$m＞1$
D.$m＜-1$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当判别式Δ＜0时，方程没有实数根；第二步，确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；第三步，将a、b、c代入Δ＜0列出关于m的不等式；第四步，解不等式得到m的取值范围，对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× m ＜ 0$
计算得：$4 - 4m ＜ 0$
移项得：$4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得：$m＞1$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的三种情况与判别式的对应关系，解题时注意准确识别方程各项系数，计算时避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当判别式Δ＜0时，方程没有实数根；第二步，确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；第三步，将a、b、c代入Δ＜0列出关于m的不等式；第四步，解不等式得到m的取值范围，对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1× m ＜ 0$
计算得：$4 - 4m ＜ 0$
移项得：$4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得：$m＞1$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的三种情况与判别式的对应关系，解题时注意准确识别方程各项系数，计算时避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根的情况为(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
)A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
5.B 点拨:$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$,故方程有两个不相等的实数根,故选B.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行判断。首先先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负性对应根的情况即可得出答案：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，对比一般形式$ax^2+bx+c=0$可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程中各项系数，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的三类情况。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行判断。首先先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负性对应根的情况即可得出答案：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，对比一般形式$ax^2+bx+c=0$可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程中各项系数，牢记判别式的计算规则和不同取值对应的根的三类情况。
【难度系数】
0.9
6. 用公式法解方程$x^2 - 2 = -3x$时，$a,b,c$的值依次是（
A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
B
）A.$0,-2,-3$
B.$1,3,-2$
C.$1,-3,-2$
D.$1,-2,-3$
答案
6.B
解析
【分析】
要确定公式法解方程时的a、b、c值，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，注意确定各项系数时要带上项前面的符号。解题步骤为先对原方程移项，把所有项都移到等号左侧，整理成一般形式后再对应提取a、b、c的值即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程：$x^2 - 2 = -3x$
移项（移项要变号），将等号右侧的$-3x$移到左侧，得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$
因此a、b、c的值依次是1、3、-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
3.等式移项规则
【点评】
本题属于公式法解方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，易错点是移项时忘记改变符号，或者确定系数时遗漏项前面的正负号，熟练掌握方程变形规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
要确定公式法解方程时的a、b、c值，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，注意确定各项系数时要带上项前面的符号。解题步骤为先对原方程移项，把所有项都移到等号左侧，整理成一般形式后再对应提取a、b、c的值即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程：$x^2 - 2 = -3x$
移项（移项要变号），将等号右侧的$-3x$移到左侧，得：
$x^2 + 3x - 2 = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$
因此a、b、c的值依次是1、3、-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
3.等式移项规则
【点评】
本题属于公式法解方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，易错点是移项时忘记改变符号，或者确定系数时遗漏项前面的正负号，熟练掌握方程变形规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
7. 下列一元二次方程中，根是
的是(
A.$2x^2 +4x -1=0$
B.$3x^2 +2x -1=0$
C.$-x^2 -2x +3=0$
D.$3x^2 -2x -1=0$
的是(D
)A.$2x^2 +4x -1=0$
B.$3x^2 +2x -1=0$
C.$-x^2 -2x +3=0$
D.$3x^2 -2x -1=0$
答案
7.D
解析
【分析】
本题可通过两种思路解题：一是对比一元二次方程求根公式的结构，将题干给出的根的表达式与求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a\ne0$）逐项对应，确定$a、b、c$的值，即可得到对应的一元二次方程；二是逐一写出各选项方程的求根表达式，和题干给出的式子对比，匹配的即为正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 分子的常数项$-b=2$，可得$b=-2$；
3. 根号内的常数项$-4ac=-4×3×(-1)$，代入$a=3$，可得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐个验证选项：
A选项$2x^2+4x-1=0$的求根表达式为$\frac{-4\pm\sqrt{16+8}}{4}$，与题干不符，排除；
B选项$3x^2+2x-1=0$的求根表达式为$\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}$，与题干不符，排除；
C选项$-x^2-2x+3=0$的求根表达式为$\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{-2}$，与题干不符，排除；
D选项表达式与题干一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解方程，一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程求根公式的基础应用题目，重点考查对求根公式结构的熟悉程度，既可以通过公式反推方程，也可以通过代入选项验证求解，解题的核心是准确记忆求根公式中各部分对应方程系数的关系。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路解题：一是对比一元二次方程求根公式的结构，将题干给出的根的表达式与求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a\ne0$）逐项对应，确定$a、b、c$的值，即可得到对应的一元二次方程；二是逐一写出各选项方程的求根表达式，和题干给出的式子对比，匹配的即为正确选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 分子的常数项$-b=2$，可得$b=-2$；
3. 根号内的常数项$-4ac=-4×3×(-1)$，代入$a=3$，可得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2-2x-1=0$，对应选项D。
也可逐个验证选项：
A选项$2x^2+4x-1=0$的求根表达式为$\frac{-4\pm\sqrt{16+8}}{4}$，与题干不符，排除；
B选项$3x^2+2x-1=0$的求根表达式为$\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}$，与题干不符，排除；
C选项$-x^2-2x+3=0$的求根表达式为$\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{-2}$，与题干不符，排除；
D选项表达式与题干一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解方程，一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程求根公式的基础应用题目，重点考查对求根公式结构的熟悉程度，既可以通过公式反推方程，也可以通过代入选项验证求解，解题的核心是准确记忆求根公式中各部分对应方程系数的关系。
【难度系数】
0.8
8.方程$(2x+1)(x+2)=1$化为一般形式为________，$b^2-4ac=\_\_\_\_\_\_＞0$，用求根公式求得$x_1=\_\_\_\_\_\_$，$x_2=\_\_\_\_\_\_$.
答案
8.$2x^2+5x+1=0$ $17$ $\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$ $\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的定义为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），第一步先将方程左侧的多项式乘积展开，再把右侧的常数移到左侧，合并同类项得到一般形式；接着从一般形式中提取对应系数$a、b、c$的值，代入判别式$b^2-4ac$计算结果；最后将系数和判别式的值代入求根公式，即可求出两个根。
【解析】
1. 化为一般形式：
先展开方程左边：$(2x+1)(x+2)=2x^2+4x+x+2=2x^2+5x+2$
原方程为$2x^2+5x+2=1$，移项合并同类项得：$2x^2+5x+1=0$，即为所求一般形式。
2. 计算判别式$b^2-4ac$：
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=2$，$b=5$，$c=1$
代入判别式得：$b^2-4ac=5^2-4×2×1=25-8=17$
3. 用求根公式求根：
一元二次方程求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将$a=2$、$b=5$、$b^2-4ac=17$代入得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$
因此$x_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
【答案】
$2x^2+5x+1=0$；$17$；$\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$；$\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程一般形式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，重点考查公式法解方程的基础步骤，解题时要注意多项式展开后移项需变号，确定系数时不要搞错符号，牢记求根公式的结构即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的定义为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），第一步先将方程左侧的多项式乘积展开，再把右侧的常数移到左侧，合并同类项得到一般形式；接着从一般形式中提取对应系数$a、b、c$的值，代入判别式$b^2-4ac$计算结果；最后将系数和判别式的值代入求根公式，即可求出两个根。
【解析】
1. 化为一般形式：
先展开方程左边：$(2x+1)(x+2)=2x^2+4x+x+2=2x^2+5x+2$
原方程为$2x^2+5x+2=1$，移项合并同类项得：$2x^2+5x+1=0$，即为所求一般形式。
2. 计算判别式$b^2-4ac$：
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=2$，$b=5$，$c=1$
代入判别式得：$b^2-4ac=5^2-4×2×1=25-8=17$
3. 用求根公式求根：
一元二次方程求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将$a=2$、$b=5$、$b^2-4ac=17$代入得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$
因此$x_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
【答案】
$2x^2+5x+1=0$；$17$；$\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$；$\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程一般形式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，重点考查公式法解方程的基础步骤，解题时要注意多项式展开后移项需变号，确定系数时不要搞错符号，牢记求根公式的结构即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.若关于$x$的方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根，则$m$的值可以为
4
.(任意给出一个符合条件的值即可)答案
9.4(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程存在实数根。首先提取题目中方程的对应系数$a、b、c$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内任选一个数值即可。
【解析】
已知方程$x^2 - mx + 3 = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=3$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta≥0$，代入公式得：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$
解得$m^2≥12$，即$\vert m\vert≥2\sqrt{3}\approx3.464$。
只需取满足$\vert m\vert≥3.464$的数值即可，例如$m=4$符合条件。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程根的判别式、不等式求解
【点评】
本题是基础类开放题，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题关键是准确代入系数计算判别式、列出并求解不等式，只要取值在$m$的合法范围内均算正确。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程存在实数根。首先提取题目中方程的对应系数$a、b、c$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内任选一个数值即可。
【解析】
已知方程$x^2 - mx + 3 = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=3$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta≥0$，代入公式得：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$
解得$m^2≥12$，即$\vert m\vert≥2\sqrt{3}\approx3.464$。
只需取满足$\vert m\vert≥3.464$的数值即可，例如$m=4$符合条件。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程根的判别式、不等式求解
【点评】
本题是基础类开放题，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题关键是准确代入系数计算判别式、列出并求解不等式，只要取值在$m$的合法范围内均算正确。
【难度系数】
0.8
10. 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$5(x^2 + 1) - 7x = 0$。
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$5(x^2 + 1) - 7x = 0$。
答案
10.解:(1)$a=2,b=3,c=-4$,$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-4)=9+32=41＞0$,
方程有两个不相等的实数根.
(2)整理,得 $5x^2-7x+5=0$,$a=5,b=-7,c=5$,$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$,方程没有实数根.
点拨:要确定一元二次方程根的情况,计算$b^2-4ac$即可.因此首先应将所给的方程整理成一元二次方程的一般形式,由此确定$a,b,c$的值.
方程有两个不相等的实数根.
(2)整理,得 $5x^2-7x+5=0$,$a=5,b=-7,c=5$,$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$,方程没有实数根.
点拨:要确定一元二次方程根的情况,计算$b^2-4ac$即可.因此首先应将所给的方程整理成一元二次方程的一般形式,由此确定$a,b,c$的值.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断，解题步骤为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的值，注意系数要带对应符号；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题第(1)问已是一般形式，可直接确定系数；第(2)问需要先去括号、移项整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，
代入判别式公式得：
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-4)=9+32=41＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将方程整理为一般形式：
去括号得$5x^2+5-7x=0$，
移项整理得$5x^2-7x+5=0$，
其中$a=5$，$b=-7$，$c=5$，
代入判别式公式得：
$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$，
因此该方程没有实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题时要注意先将方程化为一般形式再确定系数，确定$a、b、c$时要保留对应的符号，避免因符号错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断，解题步骤为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的值，注意系数要带对应符号；②代入判别式公式计算$\Delta$的值；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题第(1)问已是一般形式，可直接确定系数；第(2)问需要先去括号、移项整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，
代入判别式公式得：
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-4)=9+32=41＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将方程整理为一般形式：
去括号得$5x^2+5-7x=0$，
移项整理得$5x^2-7x+5=0$，
其中$a=5$，$b=-7$，$c=5$，
代入判别式公式得：
$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$，
因此该方程没有实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题时要注意先将方程化为一般形式再确定系数，确定$a、b、c$时要保留对应的符号，避免因符号错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
