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1.【新定义问题】对于符号“※”，我们作如下规定：$a※b=a^2 - b^2 + 2$. 如：$2※3=2^2 - 3^2 + 2=4 - 9 + 2=-3$.
(1)若$3※x=10$，求$x$的值；
(2)试求满足$(2x+1)※x=10$的$x$的值.
(1)若$3※x=10$，求$x$的值；
(2)试求满足$(2x+1)※x=10$的$x$的值.
答案
(1)$3※x=3^2 -x^2 +2=10$,
化简得 $x^2=1$,即 $x_1=1,x_2=-1.$
(2)由题意,得$(2x+1)^2 -x^2 +2=10$,
即 $3x^2 +4x=7$,
$\therefore x^2 +\frac{4}{3}x=\frac{7}{3},$
$\therefore x^2 +\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 =\frac{7}{3} + (\frac{2}{3})^2,$
$\therefore (x+\frac{2}{3})^2=\frac{25}{9},$
$\therefore x+\frac{2}{3}=\pm\frac{5}{3},$
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}.$
化简得 $x^2=1$,即 $x_1=1,x_2=-1.$
(2)由题意,得$(2x+1)^2 -x^2 +2=10$,
即 $3x^2 +4x=7$,
$\therefore x^2 +\frac{4}{3}x=\frac{7}{3},$
$\therefore x^2 +\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 =\frac{7}{3} + (\frac{2}{3})^2,$
$\therefore (x+\frac{2}{3})^2=\frac{25}{9},$
$\therefore x+\frac{2}{3}=\pm\frac{5}{3},$
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}.$
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题核心是准确理解题目给出的“※”运算规则：$a※b$等于第一个数的平方减去第二个数的平方再加2。解题时只需将对应数值或代数式代入运算规则，转化为熟悉的一元二次方程再求解即可：(1)将$a=3$、$b=x$代入规则，得到关于$x$的一元二次方程，直接化简求解；(2)将$a=2x+1$、$b=x$代入规则，整理为一元二次方程的标准形式，再用配方法求解。
【解析】
(1)根据新定义运算规则，将$a=3$，$b=x$代入$a※b=a^2 - b^2 + 2$得：
$\begin{aligned}3※x&=3^2 -x^2 +2=10\\9 -x^2 +2&=10\\x^2&=1\end{aligned}$
开方得：$x_1=1，x_2=-1$
(2)将$a=2x+1$，$b=x$代入运算规则得：
$\begin{aligned}(2x+1)^2 -x^2 +2&=10\\4x^2 +4x +1 -x^2 +2&=10\\3x^2 +4x&=7\end{aligned}$
将二次项系数化为1：$x^2 +\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{2}{3})^2$：
$\begin{aligned}x^2 +\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 &=\frac{7}{3} + (\frac{2}{3})^2\\(x+\frac{2}{3})^2&=\frac{25}{9}\end{aligned}$
开方得：$x+\frac{2}{3}=\pm\frac{5}{3}$
解得：$x_1=1，x_2=-\frac{7}{3}$
【答案】
(1) $x_1=1，x_2=-1$；(2) $x_1=1，x_2=-\frac{7}{3}$
【知识点】
新定义运算，配方法解一元二次方程
【点评】
本题以新运算为载体，重点考查对新定义的理解转化能力和一元二次方程解法的掌握，解题关键是严格按照新运算规则代入转化，避免错代运算顺序，属于常规基础题型，熟练掌握配方法解方程是得分的核心。
【难度系数】
0.75
本题属于新定义运算题型，解题核心是准确理解题目给出的“※”运算规则：$a※b$等于第一个数的平方减去第二个数的平方再加2。解题时只需将对应数值或代数式代入运算规则，转化为熟悉的一元二次方程再求解即可：(1)将$a=3$、$b=x$代入规则，得到关于$x$的一元二次方程，直接化简求解；(2)将$a=2x+1$、$b=x$代入规则，整理为一元二次方程的标准形式，再用配方法求解。
【解析】
(1)根据新定义运算规则，将$a=3$，$b=x$代入$a※b=a^2 - b^2 + 2$得：
$\begin{aligned}3※x&=3^2 -x^2 +2=10\\9 -x^2 +2&=10\\x^2&=1\end{aligned}$
开方得：$x_1=1，x_2=-1$
(2)将$a=2x+1$，$b=x$代入运算规则得：
$\begin{aligned}(2x+1)^2 -x^2 +2&=10\\4x^2 +4x +1 -x^2 +2&=10\\3x^2 +4x&=7\end{aligned}$
将二次项系数化为1：$x^2 +\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{2}{3})^2$：
$\begin{aligned}x^2 +\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 &=\frac{7}{3} + (\frac{2}{3})^2\\(x+\frac{2}{3})^2&=\frac{25}{9}\end{aligned}$
开方得：$x+\frac{2}{3}=\pm\frac{5}{3}$
解得：$x_1=1，x_2=-\frac{7}{3}$
【答案】
(1) $x_1=1，x_2=-1$；(2) $x_1=1，x_2=-\frac{7}{3}$
【知识点】
新定义运算，配方法解一元二次方程
【点评】
本题以新运算为载体，重点考查对新定义的理解转化能力和一元二次方程解法的掌握，解题关键是严格按照新运算规则代入转化，避免错代运算顺序，属于常规基础题型，熟练掌握配方法解方程是得分的核心。
【难度系数】
0.75
2.【整体思想】阅读下面的材料,并回答问题:
小明在用配方法解方程$4x^2 -12x -1=0$时,发现此题不需要化二次项系数为1,可直接配方,解法如下:
解:原方程可化为$(2x)^2 -6×2x -1=0$,
移项,得$(2x)^2 -6×2x=1$,
配方,得$(2x)^2 -2×3×2x +3^2=1+3^2$,
即$(2x -3)^2=10$,
开方,得$2x -3=±\sqrt{10}$,
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$.
此题把$2x$看成一个整体,利用整体思想解题.
请仿照上面的解法解下面的方程:
$49x^2 +42x -3=0.$
小明在用配方法解方程$4x^2 -12x -1=0$时,发现此题不需要化二次项系数为1,可直接配方,解法如下:
解:原方程可化为$(2x)^2 -6×2x -1=0$,
移项,得$(2x)^2 -6×2x=1$,
配方,得$(2x)^2 -2×3×2x +3^2=1+3^2$,
即$(2x -3)^2=10$,
开方,得$2x -3=±\sqrt{10}$,
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$.
此题把$2x$看成一个整体,利用整体思想解题.
请仿照上面的解法解下面的方程:
$49x^2 +42x -3=0.$
答案
原方程可化为$(7x)^2 +6×7x -3=0$,
移项,得$(7x)^2 +6×7x=3$,
配方,得$(7x)^2 +2×3×7x +3^2=3+3^2$,
即$(7x+3)^2=12$,
开方,得$7x+3=\pm2\sqrt{3}$,
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}.$
移项,得$(7x)^2 +6×7x=3$,
配方,得$(7x)^2 +2×3×7x +3^2=3+3^2$,
即$(7x+3)^2=12$,
开方,得$7x+3=\pm2\sqrt{3}$,
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}.$
解析
【分析】
观察待解方程的二次项系数49为7的平方，因此可以将$49x^2$转化为$(7x)^2$的形式，参照题干给出的整体思想解法，把$7x$看作一个整体，不需要先将二次项系数化为1，按照“变形为整体平方形式→移项→给等式两边同时加针对整体项的一次项系数一半的平方完成配方→写成完全平方形式→开平方→求解未知数$x$”的步骤逐步计算即可。
【解析】
原方程可化为$(7x)^2 + 6×7x - 3 = 0$，
移项，得$(7x)^2 + 6×7x = 3$，
配方，得$(7x)^2 + 2×3×7x + 3^2 = 3 + 3^2$，
即$(7x + 3)^2 = 12$，
开方，得$7x + 3 = ±2\sqrt{3}$，
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}$。
【答案】
$x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；整体思想；完全平方公式
【点评】
本题依托给出的示例考查一元二次方程的求解，核心是利用整体思想简化配方法的计算流程，避免了化二次项系数为1带来的分数运算，解题的关键是准确锁定可以看作整体的项，再按照配方法的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
观察待解方程的二次项系数49为7的平方，因此可以将$49x^2$转化为$(7x)^2$的形式，参照题干给出的整体思想解法，把$7x$看作一个整体，不需要先将二次项系数化为1，按照“变形为整体平方形式→移项→给等式两边同时加针对整体项的一次项系数一半的平方完成配方→写成完全平方形式→开平方→求解未知数$x$”的步骤逐步计算即可。
【解析】
原方程可化为$(7x)^2 + 6×7x - 3 = 0$，
移项，得$(7x)^2 + 6×7x = 3$，
配方，得$(7x)^2 + 2×3×7x + 3^2 = 3 + 3^2$，
即$(7x + 3)^2 = 12$，
开方，得$7x + 3 = ±2\sqrt{3}$，
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}$。
【答案】
$x_1=\frac{2\sqrt{3}-3}{7},x_2=\frac{-2\sqrt{3}-3}{7}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；整体思想；完全平方公式
【点评】
本题依托给出的示例考查一元二次方程的求解，核心是利用整体思想简化配方法的计算流程，避免了化二次项系数为1带来的分数运算，解题的关键是准确锁定可以看作整体的项，再按照配方法的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
