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1. 下列式子是代数式的是，不是代数式的是（填序号）。
①$a^2 - b^2$；②$9a$；③$x + 1 = 2$；④$8 ＞ -3$；⑤$0$；⑥$c = 2π r$；⑦$\frac{1}{a}$；⑧$m$。
①$a^2 - b^2$；②$9a$；③$x + 1 = 2$；④$8 ＞ -3$；⑤$0$；⑥$c = 2π r$；⑦$\frac{1}{a}$；⑧$m$。
答案
解：
根据代数式的定义，单独的一个数、单独的一个字母，以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式，含有等号、不等号的式子不属于代数式。
是代数式的是①②⑤⑦⑧，不是代数式的是③④⑥。
根据代数式的定义，单独的一个数、单独的一个字母，以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式，含有等号、不等号的式子不属于代数式。
是代数式的是①②⑤⑦⑧，不是代数式的是③④⑥。
解析
【分析】
解题时首先要明确代数式的核心定义：单独的一个数、单独的一个字母，或是用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；其中最关键的判断要点是：含有等号、不等号的式子分别是等式和不等式，不属于代数式。接下来只需逐个对应定义判断每个式子即可，先排除带等号、不等号的式子，再筛选剩余的式子是否符合代数式要求。
【解析】
根据代数式的定义逐一分析每个式子：
①$a^2 - b^2$是用减号连接表示数的字母的式子，属于代数式；
②$9a$是用乘号连接数和字母的式子，属于代数式；
③$x + 1 = 2$含有等号，是等式，不属于代数式；
④$8 ＞ -3$含有大于号，是不等式，不属于代数式；
⑤$0$是单独的数字，属于代数式；
⑥$c = 2π r$含有等号，是等式，不属于代数式；
⑦$\frac{1}{a}$是用除号连接数和字母的式子，属于代数式；
⑧$m$是单独的字母，属于代数式。
【答案】
是代数式的是①②⑤⑦⑧，不是代数式的是③④⑥
【知识点】
代数式的定义，等式的识别，不等式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对代数式定义的理解和区分，只要牢记代数式不含等号、不等号的特征，就能快速准确完成判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确代数式的核心定义：单独的一个数、单独的一个字母，或是用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；其中最关键的判断要点是：含有等号、不等号的式子分别是等式和不等式，不属于代数式。接下来只需逐个对应定义判断每个式子即可，先排除带等号、不等号的式子，再筛选剩余的式子是否符合代数式要求。
【解析】
根据代数式的定义逐一分析每个式子：
①$a^2 - b^2$是用减号连接表示数的字母的式子，属于代数式；
②$9a$是用乘号连接数和字母的式子，属于代数式；
③$x + 1 = 2$含有等号，是等式，不属于代数式；
④$8 ＞ -3$含有大于号，是不等式，不属于代数式；
⑤$0$是单独的数字，属于代数式；
⑥$c = 2π r$含有等号，是等式，不属于代数式；
⑦$\frac{1}{a}$是用除号连接数和字母的式子，属于代数式；
⑧$m$是单独的字母，属于代数式。
【答案】
是代数式的是①②⑤⑦⑧，不是代数式的是③④⑥
【知识点】
代数式的定义，等式的识别，不等式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对代数式定义的理解和区分，只要牢记代数式不含等号、不等号的特征，就能快速准确完成判断。
【难度系数】
0.8
2. 用代数式表示“a的5倍与b的差的平方”，正确的是()
A.$5a - b^2$
B.$5(a - b)^2$
C.$(5a - b)^2$
D.$(a - 5b)^2$
A.$5a - b^2$
B.$5(a - b)^2$
C.$(5a - b)^2$
D.$(a - 5b)^2$
答案
C
解析
【分析】
解这道题的核心是理清文字描述对应的运算顺序，按照“先读先算，谁的平方就对谁整体平方”的思路拆解：首先明确运算的先后步骤：第一步计算a的5倍，第二步计算这个结果与b的差，第三步对得到的差整体求平方，注意对一个式子整体运算时，要给这个式子加上括号避免运算顺序错误。
【解析】
我们分步拆解文字表述：
1. 先求“a的5倍”：根据乘法的意义，a的5倍可表示为$5a$；
2. 再求“a的5倍与b的差”：即用上一步的结果减去b，可表示为$5a - b$；
3. 最后求“差的平方”：平方的运算对象是前面得到的整个差，因此要给$5a - b$加上括号后再平方，最终表示为$(5a - b)^2$。
对应选项可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；代数式运算顺序
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题关键是准确理解文字描述的运算优先级，明确平方的运算对象，避免因漏加括号导致运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是理清文字描述对应的运算顺序，按照“先读先算，谁的平方就对谁整体平方”的思路拆解：首先明确运算的先后步骤：第一步计算a的5倍，第二步计算这个结果与b的差，第三步对得到的差整体求平方，注意对一个式子整体运算时，要给这个式子加上括号避免运算顺序错误。
【解析】
我们分步拆解文字表述：
1. 先求“a的5倍”：根据乘法的意义，a的5倍可表示为$5a$；
2. 再求“a的5倍与b的差”：即用上一步的结果减去b，可表示为$5a - b$；
3. 最后求“差的平方”：平方的运算对象是前面得到的整个差，因此要给$5a - b$加上括号后再平方，最终表示为$(5a - b)^2$。
对应选项可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；代数式运算顺序
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题关键是准确理解文字描述的运算优先级，明确平方的运算对象，避免因漏加括号导致运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
3.用a元购买5件单价为x元的文具，
如果还有剩余，应找回元。
如果还有剩余，应找回元。
答案
$\boldsymbol{a-5x}$
解析
【分析】
解题时先明确找零的基本数量关系：找回的钱数=付出的总钱数-购买商品的总花费。首先需要计算出5件文具的总花费，已知文具单价为x元，数量为5件，根据“总价=单价×数量”可算出总花费，再用带去的总钱数a元减去总花费，就能得到应找回的钱数。
【解析】
第一步：计算5件文具的总花费
已知文具单价为x元，购买数量为5件，根据总价计算公式：总价=单价×数量，可得5件文具的总花费为$5× x=5x$元。
第二步：计算应找回的钱数
已知付出的总钱数为a元，且消费后有剩余，根据“剩余钱数=总钱数-消费金额”，可得应找回的钱数为$a - 5x$元。
【答案】
$a-5x$
【知识点】
1. 列代数式
2. 用字母表示数量关系
3. 总价计算关系
【点评】
本题结合生活中消费找零的常见场景，考查对实际问题中数量关系的分析能力和代数式的规范书写能力，属于基础题型，掌握常见的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确找零的基本数量关系：找回的钱数=付出的总钱数-购买商品的总花费。首先需要计算出5件文具的总花费，已知文具单价为x元，数量为5件，根据“总价=单价×数量”可算出总花费，再用带去的总钱数a元减去总花费，就能得到应找回的钱数。
【解析】
第一步：计算5件文具的总花费
已知文具单价为x元，购买数量为5件，根据总价计算公式：总价=单价×数量，可得5件文具的总花费为$5× x=5x$元。
第二步：计算应找回的钱数
已知付出的总钱数为a元，且消费后有剩余，根据“剩余钱数=总钱数-消费金额”，可得应找回的钱数为$a - 5x$元。
【答案】
$a-5x$
【知识点】
1. 列代数式
2. 用字母表示数量关系
3. 总价计算关系
【点评】
本题结合生活中消费找零的常见场景，考查对实际问题中数量关系的分析能力和代数式的规范书写能力，属于基础题型，掌握常见的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.为了帮助地震灾区重建家园，某单位全体员工积极捐款，共计3365元，其中7名主管人均捐款a元，则除主管外该单位员工共捐款元(用含a的代数式表示)。
答案
解：
7名主管人均捐款a元，主管的总捐款为7a元，
用全体员工的总捐款额减去主管的总捐款额，可得除主管外该单位员工共捐款$(3365 - 7a)$元。
7名主管人均捐款a元，主管的总捐款为7a元，
用全体员工的总捐款额减去主管的总捐款额，可得除主管外该单位员工共捐款$(3365 - 7a)$元。
解析
【分析】
要求除主管外员工的捐款总额，需先明确数量关系：其余员工捐款总额=全体员工总捐款额-主管总捐款额。首先根据“人均捐款×人数=总捐款”算出7名主管的总捐款，再代入上述关系即可列出对应的代数式。
【解析】
7名主管人均捐款a元，主管的总捐款为7a元，用全体员工的总捐款额减去主管的总捐款额，可得除主管外该单位员工共捐款$(3365 - 7a)$元。
【答案】
$(3365 - 7a)$
【知识点】
用字母表示数，列代数式
【点评】
本题属于基础题型，考查实际问题中数量关系的梳理与代数式的书写，解题关键是明确各数量之间的和差关系，计算主管总捐款后代入即可求解。
【难度系数】
0.9
要求除主管外员工的捐款总额，需先明确数量关系：其余员工捐款总额=全体员工总捐款额-主管总捐款额。首先根据“人均捐款×人数=总捐款”算出7名主管的总捐款，再代入上述关系即可列出对应的代数式。
【解析】
7名主管人均捐款a元，主管的总捐款为7a元，用全体员工的总捐款额减去主管的总捐款额，可得除主管外该单位员工共捐款$(3365 - 7a)$元。
【答案】
$(3365 - 7a)$
【知识点】
用字母表示数，列代数式
【点评】
本题属于基础题型，考查实际问题中数量关系的梳理与代数式的书写，解题关键是明确各数量之间的和差关系，计算主管总捐款后代入即可求解。
【难度系数】
0.9
5.为了鼓励居民合理安排用电时间，某县实行居民峰谷用电，居民家庭在峰时段(8:00—21:00)用电的价格是每千瓦时0.55元，谷时段(21:00—次日8:00)用电的价格是每千瓦时0.35元.若某户居民某月用电120千瓦时，其中峰时段用电a千瓦时.
(1)请用含a的代数式表示该户居民这个月应缴纳的电费.
(2)利用上述代数式计算当a=80时，应缴纳电费多少元？
(1)请用含a的代数式表示该户居民这个月应缴纳的电费.
(2)利用上述代数式计算当a=80时，应缴纳电费多少元？
答案
解：
(1) 谷时段用电量为$(120-a)$千瓦时，
该户居民这个月应缴纳的电费为：
$0.55a + 0.35(120-a)$
$=0.55a + 42 - 0.35a$
$=(0.2a + 42)$元
(2) 当$a=80$时，
$0.2a + 42 = 0.2×80 + 42 = 16 + 42 = 58$（元）
答：(1) 该户居民这个月应缴纳的电费为$(0.2a+42)$元；(2) 当$a=80$时，应缴纳电费58元。
(1) 谷时段用电量为$(120-a)$千瓦时，
该户居民这个月应缴纳的电费为：
$0.55a + 0.35(120-a)$
$=0.55a + 42 - 0.35a$
$=(0.2a + 42)$元
(2) 当$a=80$时，
$0.2a + 42 = 0.2×80 + 42 = 16 + 42 = 58$（元）
答：(1) 该户居民这个月应缴纳的电费为$(0.2a+42)$元；(2) 当$a=80$时，应缴纳电费58元。
解析
【分析】
解题可分两步思考：第(1)问先明确总电费由峰时段电费和谷时段电费两部分组成，首先根据总用电量120千瓦时、峰时段用电a千瓦时，求出谷时段的用电量，再分别用对应时段的电价乘以用电量得到两部分电费，相加后化简代数式即可得到总电费的表达式；第(2)问属于代数式求值问题，直接将a=80代入第(1)问得到的化简后代数式，按照运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 谷时段用电量为总用电量减去峰时段用电量，即$(120-a)$千瓦时，
该户居民这个月应缴纳的总电费为峰时段电费加谷时段电费：
$\begin{aligned}&0.55a + 0.35(120-a)\\=&0.55a + 42 - 0.35a\\=&(0.2a + 42)元\end{aligned}$
(2) 当$a=80$时，将其代入化简后的电费代数式计算：
$0.2a + 42 = 0.2×80 + 42 = 16 + 42 = 58$（元）
【答案】
(1) 该户居民这个月应缴纳的电费为$(0.2a+42)$元；
(2) 当$a=80$时，应缴纳电费58元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；整式的加减
【点评】
本题结合生活中峰谷用电计费的实际场景出题，属于基础应用类题目，核心是理清不同计费时段的用电量、单价与总费用之间的数量关系，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第(1)问先明确总电费由峰时段电费和谷时段电费两部分组成，首先根据总用电量120千瓦时、峰时段用电a千瓦时，求出谷时段的用电量，再分别用对应时段的电价乘以用电量得到两部分电费，相加后化简代数式即可得到总电费的表达式；第(2)问属于代数式求值问题，直接将a=80代入第(1)问得到的化简后代数式，按照运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 谷时段用电量为总用电量减去峰时段用电量，即$(120-a)$千瓦时，
该户居民这个月应缴纳的总电费为峰时段电费加谷时段电费：
$\begin{aligned}&0.55a + 0.35(120-a)\\=&0.55a + 42 - 0.35a\\=&(0.2a + 42)元\end{aligned}$
(2) 当$a=80$时，将其代入化简后的电费代数式计算：
$0.2a + 42 = 0.2×80 + 42 = 16 + 42 = 58$（元）
【答案】
(1) 该户居民这个月应缴纳的电费为$(0.2a+42)$元；
(2) 当$a=80$时，应缴纳电费58元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；整式的加减
【点评】
本题结合生活中峰谷用电计费的实际场景出题，属于基础应用类题目，核心是理清不同计费时段的用电量、单价与总费用之间的数量关系，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 提升题在教科书第二章《有理数的运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法. 现定义一种新运算：$a \oplus b = \boldsymbol{□}$. 定义的内容被遮盖住了，观察下列各式，并解答问题.
$2 \oplus 4 = 2 × 3 + 4 = 10$；
$3 \oplus (-1) = 3 × 3 - 1 = 8$；
$(-9) \oplus 5 = (-9) × 3 + 5 = -22$；
$(-4) \oplus (-6) = (-4) × 3 - 6 = -18$.
(1) 请你补全定义内容：$a \oplus b = \_\_\_\_\_\_$（用含$a,b$的代数式表示）.
(2) 先计算$(-7) \oplus 2$和$2 \oplus (-7)$，再说明新定义的运算“$\oplus$”是否满足交换律，即$a \oplus b = b \oplus a$是否成立.
(3) 若$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$，求$m$的值.
$2 \oplus 4 = 2 × 3 + 4 = 10$；
$3 \oplus (-1) = 3 × 3 - 1 = 8$；
$(-9) \oplus 5 = (-9) × 3 + 5 = -22$；
$(-4) \oplus (-6) = (-4) × 3 - 6 = -18$.
(1) 请你补全定义内容：$a \oplus b = \_\_\_\_\_\_$（用含$a,b$的代数式表示）.
(2) 先计算$(-7) \oplus 2$和$2 \oplus (-7)$，再说明新定义的运算“$\oplus$”是否满足交换律，即$a \oplus b = b \oplus a$是否成立.
(3) 若$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$，求$m$的值.
答案
解：
(1) $3a + b$
(2) 计算：
$(-7) \oplus 2 = 3×(-7) + 2 = -21 + 2 = -19$
$2 \oplus (-7) = 3×2 + (-7) = 6 - 7 = -1$
因为$-19 ≠ -1$，所以$a \oplus b = b \oplus a$不成立，新定义的运算“$\oplus$”不满足交换律。
(3) 根据新运算定义，将$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$转化为：
$3m + (-8) = 3×11 + m$
即 $3m - 8 = 33 + m$
移项得：$3m - m = 33 + 8$
合并同类项得：$2m = 41$
系数化为1得：$m = \frac{41}{2}$
答：$m$的值为$\frac{41}{2}$。
(1) $3a + b$
(2) 计算：
$(-7) \oplus 2 = 3×(-7) + 2 = -21 + 2 = -19$
$2 \oplus (-7) = 3×2 + (-7) = 6 - 7 = -1$
因为$-19 ≠ -1$，所以$a \oplus b = b \oplus a$不成立，新定义的运算“$\oplus$”不满足交换律。
(3) 根据新运算定义，将$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$转化为：
$3m + (-8) = 3×11 + m$
即 $3m - 8 = 33 + m$
移项得：$3m - m = 33 + 8$
合并同类项得：$2m = 41$
系数化为1得：$m = \frac{41}{2}$
答：$m$的值为$\frac{41}{2}$。
解析
【分析】
(1) 观察给出的4个运算示例，对比⊕前后两个数与运算结果的关系：可以发现运算结果都是第一个数乘3，再加上第二个数，由此即可归纳出a⊕b的代数式表达式。
(2) 要判断新运算是否满足交换律，首先根据新定义的运算法则分别计算$(-7) \oplus 2$和$2 \oplus (-7)$的结果，再对比两个结果是否相等，若不相等则说明不满足交换律。
(3) 先根据新运算的定义，将等式$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$左右两边都转化为常规代数式，得到关于m的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出m的值。
【解析】
(1) 观察各式规律：$2 \oplus 4 = 2×3 + 4$，$3 \oplus (-1) = 3×3 + (-1)$，$(-9) \oplus 5 = (-9)×3 + 5$，$(-4) \oplus (-6) = (-4)×3 + (-6)$，可得$a \oplus b = 3a + b$。
(2) 按照新定义计算：
$(-7) \oplus 2 = 3×(-7) + 2 = -21 + 2 = -19$
$2 \oplus (-7) = 3×2 + (-7) = 6 - 7 = -1$
因为$-19 ≠ -1$，所以$a \oplus b = b \oplus a$不成立，即新定义的运算“$\oplus$”不满足交换律。
(3) 根据新运算定义展开等式两边：
左边：$m \oplus (-8) = 3m + (-8) = 3m - 8$
右边：$11 \oplus m = 3×11 + m = 33 + m$
可得方程：$3m - 8 = 33 + m$
移项得：$3m - m = 33 + 8$
合并同类项得：$2m = 41$
系数化为1得：$m = \frac{41}{2}$
【答案】
(1) $3a + b$
(2) $(-7) \oplus 2=-19$，$2 \oplus (-7)=-1$，新运算“$\oplus$”不满足交换律
(3) $m=\frac{41}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查观察归纳能力，同时结合有理数运算和一元一次方程的知识综合考查，解题核心是准确理解新运算规则，将新运算转化为已学的常规运算求解，注意不能直接套用原有运算的运算律。
【难度系数】
0.65
(1) 观察给出的4个运算示例，对比⊕前后两个数与运算结果的关系：可以发现运算结果都是第一个数乘3，再加上第二个数，由此即可归纳出a⊕b的代数式表达式。
(2) 要判断新运算是否满足交换律，首先根据新定义的运算法则分别计算$(-7) \oplus 2$和$2 \oplus (-7)$的结果，再对比两个结果是否相等，若不相等则说明不满足交换律。
(3) 先根据新运算的定义，将等式$m \oplus (-8) = 11 \oplus m$左右两边都转化为常规代数式，得到关于m的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出m的值。
【解析】
(1) 观察各式规律：$2 \oplus 4 = 2×3 + 4$，$3 \oplus (-1) = 3×3 + (-1)$，$(-9) \oplus 5 = (-9)×3 + 5$，$(-4) \oplus (-6) = (-4)×3 + (-6)$，可得$a \oplus b = 3a + b$。
(2) 按照新定义计算：
$(-7) \oplus 2 = 3×(-7) + 2 = -21 + 2 = -19$
$2 \oplus (-7) = 3×2 + (-7) = 6 - 7 = -1$
因为$-19 ≠ -1$，所以$a \oplus b = b \oplus a$不成立，即新定义的运算“$\oplus$”不满足交换律。
(3) 根据新运算定义展开等式两边：
左边：$m \oplus (-8) = 3m + (-8) = 3m - 8$
右边：$11 \oplus m = 3×11 + m = 33 + m$
可得方程：$3m - 8 = 33 + m$
移项得：$3m - m = 33 + 8$
合并同类项得：$2m = 41$
系数化为1得：$m = \frac{41}{2}$
【答案】
(1) $3a + b$
(2) $(-7) \oplus 2=-19$，$2 \oplus (-7)=-1$，新运算“$\oplus$”不满足交换律
(3) $m=\frac{41}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查观察归纳能力，同时结合有理数运算和一元一次方程的知识综合考查，解题核心是准确理解新运算规则，将新运算转化为已学的常规运算求解，注意不能直接套用原有运算的运算律。
【难度系数】
0.65
