登录
8.“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果.将长方形区域分割成三角形的过程:在长方形内取一定数量的点，将长方形的4个顶点以及这些点之间进行连接(所有连线不相交产生新的点)，直到长方形内所有区域都变成三角形.
(1)若长方形内有4个点，则有
(2)若长方形内有n个点，则有多少个三角形(不计被分割的三角形)？
(1)若长方形内有4个点，则有
10
个三角形.(2)若长方形内有n个点，则有多少个三角形(不计被分割的三角形)？
答案
8.(1)10 (2)$(2n+2)$个
解析
【分析】
解决这类图形规律问题，我们可以从简单的已知情形入手分析：先分别数出长方形内有1个点、2个点时的三角形个数，对比数据找到“每增加1个内部点，三角形个数增加2”的变化规律，再推导得到n个点时的三角形数量表达式，最后代入n=4计算即可得到第一问的结果。
【解析】
我们先统计不同点数对应的三角形数量：
1. 当长方形内没有点（$n=0$）时，连接长方形的一条对角线，可分割出2个三角形，即$2=2×0+2$；
2. 观察图②，内部有1个点时，数得共有4个三角形，即$4=2×1+2$；
3. 观察图③，内部有2个点时，数得共有6个三角形，即$6=2×2+2$；
由此可总结规律：长方形内每增加1个点，三角形的个数就增加2个，因此当长方形内有n个点时，三角形的个数为$2n+2$。
(1) 当$n=4$时，代入表达式得：$2×4+2=10$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{(2n+2)}$个
【知识点】
图形规律探索，列代数式，图形计数
【点评】
本题属于图形类规律探究题，核心是通过对简单情形的计数、对比，归纳出数量随点数变化的通用规律，再利用规律求解问题，侧重考查观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律问题，我们可以从简单的已知情形入手分析：先分别数出长方形内有1个点、2个点时的三角形个数，对比数据找到“每增加1个内部点，三角形个数增加2”的变化规律，再推导得到n个点时的三角形数量表达式，最后代入n=4计算即可得到第一问的结果。
【解析】
我们先统计不同点数对应的三角形数量：
1. 当长方形内没有点（$n=0$）时，连接长方形的一条对角线，可分割出2个三角形，即$2=2×0+2$；
2. 观察图②，内部有1个点时，数得共有4个三角形，即$4=2×1+2$；
3. 观察图③，内部有2个点时，数得共有6个三角形，即$6=2×2+2$；
由此可总结规律：长方形内每增加1个点，三角形的个数就增加2个，因此当长方形内有n个点时，三角形的个数为$2n+2$。
(1) 当$n=4$时，代入表达式得：$2×4+2=10$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{(2n+2)}$个
【知识点】
图形规律探索，列代数式，图形计数
【点评】
本题属于图形类规律探究题，核心是通过对简单情形的计数、对比，归纳出数量随点数变化的通用规律，再利用规律求解问题，侧重考查观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
9.在由 $ m × n $（$ m × n ＞1 $）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形的个数 $ f $。
(1)当 $ m,n $ 互质（$ m,n $ 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表。
| $ m $ | $ n $ | $ m+n $ | $ f $ |
|---------|---------|-----------|---------|
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 1 | 3 | 4 | 3 |
| 2 | 3 | 5 | 4 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 4 | 7 |
(2)猜想：当 $ m,n $ 互质时，在 $ m × n $ 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 $ f $ 与 $ m,n $ 的关系式是
(3)当 $ m,n $ 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立。
(1)当 $ m,n $ 互质（$ m,n $ 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表。
| $ m $ | $ n $ | $ m+n $ | $ f $ |
|---------|---------|-----------|---------|
| 1 | 2 | 3 | 2 |
| 1 | 3 | 4 | 3 |
| 2 | 3 | 5 | 4 |
| 2 | 5 | 7 |
6
|| 3 | 4 | 7 |
6
|(2)猜想：当 $ m,n $ 互质时，在 $ m × n $ 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 $ f $ 与 $ m,n $ 的关系式是
$f=m+n-1$
（不需要证明）。(3)当 $ m,n $ 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立。
答案
9.(1)6 6
(2)$f=m+n-1$
(3)不成立,反例:$m=2,n=4,f=4$.画图略.
(2)$f=m+n-1$
(3)不成立,反例:$m=2,n=4,f=4$.画图略.
解析
【分析】
解题时先从已知的m、n、f的对应数据入手，观察三者的数量关系：首先对比前3组已知数据，可发现当m、n互质时，f的值等于m加n再减1；第一问的两个空既可直接用该规律计算，也可数对应网格中对角线穿过的小正方形个数得到结果。第二问根据多组数据的共同特征即可归纳出f与m、n的关系式。第三问验证不互质的情况时，选取一组有除1外其他公因数的m、n，画图数对角线穿过的正方形数，和猜想的关系式计算结果对比即可判断是否成立。
【解析】
(1) 观察已知的三组数据：
①m=1，n=2，f=2=1+2-1；
②m=1，n=3，f=3=1+3-1；
③m=2，n=3，f=4=2+3-1；
因为2和5互质，所以f=2+5-1=6；
因为3和4互质，所以f=3+4-1=6；
也可直接数对应网格中对角线穿过的小正方形个数，结果均为6。
(2) 结合上述多组互质的m、n对应的f值，可归纳得到关系式：$f=m+n-1$。
(3) 当m、n不互质时，猜想的关系式不成立。举例验证：取m=2，n=4，二者除1外还有公因数2，不互质，按关系式计算得$f=2+4-1=5$，实际画出2×4的矩形网格，数对角线穿过的小正方形个数为4，和计算结果不符，因此该关系式在m、n不互质时不成立。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；$\boxed{6}$
(2) $\boxed{f=m+n-1}$
(3) 不成立，反例：$m=2,n=4,f=4$，画图略。
【知识点】
规律探究，互质的概念，归纳猜想
【点评】
本题属于规律探索类题型，核心是从特殊案例中总结共性规律，同时要注意规律的适用条件，能有效提升观察分析、归纳总结和逻辑验证的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的m、n、f的对应数据入手，观察三者的数量关系：首先对比前3组已知数据，可发现当m、n互质时，f的值等于m加n再减1；第一问的两个空既可直接用该规律计算，也可数对应网格中对角线穿过的小正方形个数得到结果。第二问根据多组数据的共同特征即可归纳出f与m、n的关系式。第三问验证不互质的情况时，选取一组有除1外其他公因数的m、n，画图数对角线穿过的正方形数，和猜想的关系式计算结果对比即可判断是否成立。
【解析】
(1) 观察已知的三组数据：
①m=1，n=2，f=2=1+2-1；
②m=1，n=3，f=3=1+3-1；
③m=2，n=3，f=4=2+3-1；
因为2和5互质，所以f=2+5-1=6；
因为3和4互质，所以f=3+4-1=6；
也可直接数对应网格中对角线穿过的小正方形个数，结果均为6。
(2) 结合上述多组互质的m、n对应的f值，可归纳得到关系式：$f=m+n-1$。
(3) 当m、n不互质时，猜想的关系式不成立。举例验证：取m=2，n=4，二者除1外还有公因数2，不互质，按关系式计算得$f=2+4-1=5$，实际画出2×4的矩形网格，数对角线穿过的小正方形个数为4，和计算结果不符，因此该关系式在m、n不互质时不成立。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；$\boxed{6}$
(2) $\boxed{f=m+n-1}$
(3) 不成立，反例：$m=2,n=4,f=4$，画图略。
【知识点】
规律探究，互质的概念，归纳猜想
【点评】
本题属于规律探索类题型，核心是从特殊案例中总结共性规律，同时要注意规律的适用条件，能有效提升观察分析、归纳总结和逻辑验证的能力。
【难度系数】
0.7
