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6.如图,将一张正方形纸片剪成4个形状、大小一样的小正方形,然后将其中一个小正方形再剪成4个小正方形,如此循环下去.
(1)完成下表.
(2)剪第$n$次共有$S_n$个正方形,请用含$n$的代数式表示$S_n=$
(3)若原正方形的边长为1,则剪第$n$次所得的最小正方形的边长是
(1)完成下表.
(2)剪第$n$次共有$S_n$个正方形,请用含$n$的代数式表示$S_n=$
$3n+1$
.(3)若原正方形的边长为1,则剪第$n$次所得的最小正方形的边长是
$\frac{1}{2^n}$
(用含$n$的代数式表示).答案
6.(1)10 13 16 (2)$3n+1$ (3)$\frac{1}{2^n}$
解析
【分析】
解决这类规律探索题，首先从最初的几次操作入手，寻找变化的共性：①数量变化：初始有1个正方形，每剪1次，就会把1个正方形变成4个，相当于总数量增加3个，因此每次剪完的正方形总数是在前一次的基础上加3；②边长变化：每剪1次，小正方形的边长都是上一次小正方形边长的$\frac{1}{2}$，据此可逐步推导各问结果。
【解析】
(1) 先列举前几次剪完的正方形数量：
剪0次（未剪）：1个；
剪1次：$1 + 3×1 = 4$个；
剪2次：$1 + 3×2 = 7$个；
剪3次：$1 + 3×3 = 10$个；
剪4次：$1 + 3×4 = 13$个；
剪5次：$1 + 3×5 = 16$个；
因此表格对应的数依次为10、13、16。
(2) 根据上述规律，剪第$n$次时，正方形总数$S_n$=初始数量 + $n$次增加的数量，即$S_n=1+3n=3n+1$。
(3) 原正方形边长为1：
剪1次时，最小正方形边长为$1÷2=\frac{1}{2^1}$；
剪2次时，最小正方形边长为$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{2^2}$；
以此类推，剪第$n$次时，最小正方形的边长为$\frac{1}{2^n}$。
【答案】
(1) 10，13，16；(2) $3n+1$；(3) $\frac{1}{2^n}$
【知识点】
图形规律探索，列代数式，乘方的应用
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先通过简单的操作案例总结出变化的固定规律，再将规律推广到一般情形，能有效考查归纳推理和代数表达能力。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探索题，首先从最初的几次操作入手，寻找变化的共性：①数量变化：初始有1个正方形，每剪1次，就会把1个正方形变成4个，相当于总数量增加3个，因此每次剪完的正方形总数是在前一次的基础上加3；②边长变化：每剪1次，小正方形的边长都是上一次小正方形边长的$\frac{1}{2}$，据此可逐步推导各问结果。
【解析】
(1) 先列举前几次剪完的正方形数量：
剪0次（未剪）：1个；
剪1次：$1 + 3×1 = 4$个；
剪2次：$1 + 3×2 = 7$个；
剪3次：$1 + 3×3 = 10$个；
剪4次：$1 + 3×4 = 13$个；
剪5次：$1 + 3×5 = 16$个；
因此表格对应的数依次为10、13、16。
(2) 根据上述规律，剪第$n$次时，正方形总数$S_n$=初始数量 + $n$次增加的数量，即$S_n=1+3n=3n+1$。
(3) 原正方形边长为1：
剪1次时，最小正方形边长为$1÷2=\frac{1}{2^1}$；
剪2次时，最小正方形边长为$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{2^2}$；
以此类推，剪第$n$次时，最小正方形的边长为$\frac{1}{2^n}$。
【答案】
(1) 10，13，16；(2) $3n+1$；(3) $\frac{1}{2^n}$
【知识点】
图形规律探索，列代数式，乘方的应用
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先通过简单的操作案例总结出变化的固定规律，再将规律推广到一般情形，能有效考查归纳推理和代数表达能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,按一定规律用正方体石墩垒石梯.请观察规律,并解答下列问题.
(1)完成下表.
(2)当垒到第n级石梯时,共用正方体石墩多少块(用含n的代数式表示)?当n=100时,共用正方体石墩多少块?
(1)完成下表.
(2)当垒到第n级石梯时,共用正方体石墩多少块(用含n的代数式表示)?当n=100时,共用正方体石墩多少块?
答案
7.(1)第1级石梯中正方体石墩的块数为$\frac{3×1×(1+1)}{2}=3$;第2级石梯中正方体石墩的块数为$\frac{3×2×(2+1)}{2}=9$;第3级石梯中正方体石墩的块数为$\frac{3×3×(3+1)}{2}=18$;第4级石梯中正方体石墩的块数为$\frac{3×4×(4+1)}{2}=30$.
| 石梯级数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石墩块数 $S_n$ | 3 | 9 | 18 | 30 |
(2)按照(1)中总结的规律:当垒到第 $n$ 级石梯时,共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块.
当 $n=100$ 时,$\frac{3n(n+1)}{2}=\frac{3×100×(100+1)}{2}=15\ 150$.
即当垒到第 $n$ 级石梯时,共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块;
当 $n=100$ 时,共用正方体石墩 15 150 块.
| 石梯级数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石墩块数 $S_n$ | 3 | 9 | 18 | 30 |
(2)按照(1)中总结的规律:当垒到第 $n$ 级石梯时,共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块.
当 $n=100$ 时,$\frac{3n(n+1)}{2}=\frac{3×100×(100+1)}{2}=15\ 150$.
即当垒到第 $n$ 级石梯时,共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块;
当 $n=100$ 时,共用正方体石墩 15 150 块.
解析
【分析】
解决本题首先从简单的石梯级数入手，先计算出前4级石梯对应的石墩数量完成表格填写；再观察石墩数量和对应级数的运算关系，归纳出通用的含n的代数式；最后将n=100代入代数式计算即可得到结果。思考时可以先拆分已算出的石墩数特征，发现石墩总数是3乘以前n个正整数的和，再结合正整数求和公式推导通用表达式即可。
【解析】
(1) 分别计算前4级石梯的石墩块数：
当$n=1$时，$S_1=\frac{3×1×(1+1)}{2}=3$；
当$n=2$时，$S_2=\frac{3×2×(2+1)}{2}=9$；
当$n=3$时，$S_3=\frac{3×3×(3+1)}{2}=18$；
当$n=4$时，$S_4=\frac{3×4×(4+1)}{2}=30$；
将结果填入对应表格即可。
(2) 观察(1)中结果的运算规律，可归纳得到第n级石梯的石墩总数为$\frac{3n(n+1)}{2}$块。
将$n=100$代入代数式计算：
$\frac{3×100×(100+1)}{2}=\frac{3×100×101}{2}=15150$。
【答案】
(1)
| 石梯级数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石墩块数 $S_n$ | 3 | 9 | 18 | 30 |
(2) 垒到第n级石梯时共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块；当$n=100$时，共用正方体石墩15150块。
【知识点】
图形规律探索，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探索类题目，解题核心是通过观察前几项的数值特征，归纳出数量与序号之间的通用运算关系，既考查学生的观察归纳能力，也考查代数式的运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从简单的石梯级数入手，先计算出前4级石梯对应的石墩数量完成表格填写；再观察石墩数量和对应级数的运算关系，归纳出通用的含n的代数式；最后将n=100代入代数式计算即可得到结果。思考时可以先拆分已算出的石墩数特征，发现石墩总数是3乘以前n个正整数的和，再结合正整数求和公式推导通用表达式即可。
【解析】
(1) 分别计算前4级石梯的石墩块数：
当$n=1$时，$S_1=\frac{3×1×(1+1)}{2}=3$；
当$n=2$时，$S_2=\frac{3×2×(2+1)}{2}=9$；
当$n=3$时，$S_3=\frac{3×3×(3+1)}{2}=18$；
当$n=4$时，$S_4=\frac{3×4×(4+1)}{2}=30$；
将结果填入对应表格即可。
(2) 观察(1)中结果的运算规律，可归纳得到第n级石梯的石墩总数为$\frac{3n(n+1)}{2}$块。
将$n=100$代入代数式计算：
$\frac{3×100×(100+1)}{2}=\frac{3×100×101}{2}=15150$。
【答案】
(1)
| 石梯级数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石墩块数 $S_n$ | 3 | 9 | 18 | 30 |
(2) 垒到第n级石梯时共用正方体石墩$\frac{3n(n+1)}{2}$块；当$n=100$时，共用正方体石墩15150块。
【知识点】
图形规律探索，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探索类题目，解题核心是通过观察前几项的数值特征，归纳出数量与序号之间的通用运算关系，既考查学生的观察归纳能力，也考查代数式的运算能力。
【难度系数】
0.7
