分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分
式的混合运算，也要先，再，然后。

分式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减。

典例1 计算：$\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} )$

解 $\dfrac{2x^2+2}{x^2-2x+1} ÷ ( x-1 + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$= \dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2-2x+1}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} ) = \dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$= \dfrac{1}{x-1}$。

规律方法 (1)对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
(2)在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
举一反三 计算：$(x - 4 + \frac{9}{x+2}) ÷ \frac{(x-1)^2}{x^2 -4}$

解 $(x - 4 + \frac{9}{x+2}) ÷ \frac{(x-1)^2}{x^2 -4}$
$=(\frac{x^2-2x-8}{x+2}+\frac{9}{x+2})÷\frac{(x-1)^2}{x^2-4}$
$=\frac{x^2-2x+1}{x+2}·\frac{x^2-4}{(x-1)^2}$
$=\frac{(x-1)^2}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=x-2$。

典例2 为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000 m的观光隧道.现有甲、乙两个工程队，若甲工程队单独做需要x天完成；若乙工程队单独做需要$y(0＜x＜y)$天完成.
(1)求甲工程队与乙工程队的工作效率之差；
(2)若甲、乙两工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？

解 (1)由题意，得甲工程队的工作效率为$\dfrac{1000}{x}$(m/天)，乙工程队的工作效率为$\dfrac{1000}{y}$(m/天)，所以，甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\dfrac{1000}{x} - \dfrac{1000}{y} = \dfrac{1000(y-x)}{xy}$(m/天)。
(2)甲、乙两工程队合作共需要的天数为$1000 ÷ ( \dfrac{1000}{x} + \dfrac{1000}{y} ) = \dfrac{xy}{x+y}$。

举一反三 已知A,B两地相距$s$ km，小刚从A地到B地需要$m$ h，小军从B地到A地，需要$n$ h，若他们同时出发相向而行，需要多长时间才能相遇？
典例解析
典例1
解 $\dfrac{2x^2+2}{x^2-2x+1} ÷ ( x-1 + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} )$
$= \dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} ÷ ( \dfrac{x^2-2x+1}{x-1} + \dfrac{x^2+2x+1}{x-1} ) = \dfrac{2(x^2+1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{2(x^2+1)}$
$= \dfrac{1}{x-1}$。
典例2
解 (1)由题意，得甲工程队的工作效率
为$\dfrac{1000}{x}$(m/天)，乙工程队的工作效率为$\dfrac{1000}{y}$(m/天)，所以，甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\dfrac{1000}{x} - \dfrac{1000}{y} = \dfrac{1000(y-x)}{xy}$(m/天)。
(2)甲、乙两工程队合作共需要的天数为$1000 ÷ ( \dfrac{1000}{x} + \dfrac{1000}{y} ) = \dfrac{xy}{x+y}$。

解 根据题意知，小刚的速度为$\frac{s}{m}$(km/h)，小军的速度为$\frac{s}{n}$(km/h)，
所以两人相遇需要的时间为$\frac{s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{mn}{m+n}$(h)。