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例1 化简下列各式：
(1) $\frac{a^2 bc}{ab}$； (2) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}$。
【思路导析】约去分子、分母中的公因式.分子、分母是单项式时,公因式应取系数的最大公约数,相同的字母取它们中最低次幂.若分子、分母都是多项式,则先对分子、分母进行因式分解,找到它们的公因式,再约分.
【请你解答】
(1) $\frac{a^2 bc}{ab}$； (2) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}$。
【思路导析】约去分子、分母中的公因式.分子、分母是单项式时,公因式应取系数的最大公约数,相同的字母取它们中最低次幂.若分子、分母都是多项式,则先对分子、分母进行因式分解,找到它们的公因式,再约分.
【请你解答】
答案
解：
(1) $\frac{a^2 bc}{ab} = \frac{ab · ac}{ab} = ac$
(2) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$
(1) $\frac{a^2 bc}{ab} = \frac{ab · ac}{ab} = ac$
(2) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$
解析
【分析】
要化简分式需通过约分完成，依据是分式的基本性质。对于(1)，分子分母都是单项式，先找公因式：取相同字母的最低次幂，本题分子分母共有的因式是ab，约去公因式即可得到最简结果；对于(2)，分子分母都是多项式，第一步先分别对分子分母因式分解：分子是平方差形式，用平方差公式分解，分母是完全平方形式，用完全平方公式分解，再找到公因式约去，得到最简分式。
【解析】
(1) 对分子拆分出与分母相同的公因式，再约分：
$\frac{a^2 bc}{ab} = \frac{ab · ac}{ab} = ac$
(2) 先因式分解分子、分母，再约去公因式：
分子$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$；分母$x^2-2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x-1)^2$，因此：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$
【答案】
(1) $ac$；(2) $\frac{x+1}{x-1}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，重点考查单项式型和多项式型分式的约分方法，解题关键是准确找出公因式，其中多项式型分式约分需要熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解公式，约分后结果需为最简分式。
【难度系数】
0.8
要化简分式需通过约分完成，依据是分式的基本性质。对于(1)，分子分母都是单项式，先找公因式：取相同字母的最低次幂，本题分子分母共有的因式是ab，约去公因式即可得到最简结果；对于(2)，分子分母都是多项式，第一步先分别对分子分母因式分解：分子是平方差形式，用平方差公式分解，分母是完全平方形式，用完全平方公式分解，再找到公因式约去，得到最简分式。
【解析】
(1) 对分子拆分出与分母相同的公因式，再约分：
$\frac{a^2 bc}{ab} = \frac{ab · ac}{ab} = ac$
(2) 先因式分解分子、分母，再约去公因式：
分子$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$；分母$x^2-2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x-1)^2$，因此：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$
【答案】
(1) $ac$；(2) $\frac{x+1}{x-1}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，重点考查单项式型和多项式型分式的约分方法，解题关键是准确找出公因式，其中多项式型分式约分需要熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解公式，约分后结果需为最简分式。
【难度系数】
0.8
例2 请找出下列各题的最简公分母：
(1)$\frac{1}{2x^2y^3}$，$\frac{1}{3x^4y^2}$，$\frac{1}{9xy^2}$；
(2)$\frac{y^2}{x^2 - xy}$，$\frac{x}{y - x}$，$\frac{1}{3y}$。
【思路导析】分母是多项式时，先将其因式分解，再找出各分母中不同的字母或因式，确定其最简公分母。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$\frac{1}{2x^2y^3}$，$\frac{1}{3x^4y^2}$，$\frac{1}{9xy^2}$；
(2)$\frac{y^2}{x^2 - xy}$，$\frac{x}{y - x}$，$\frac{1}{3y}$。
【思路导析】分母是多项式时，先将其因式分解，再找出各分母中不同的字母或因式，确定其最简公分母。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 取各分母系数2、3、9的最小公倍数18，
各分母中字母$x$的最高次幂为$x^4$，字母$y$的最高次幂为$y^3$，
因此最简公分母为$18x^4y^3$。
(2) 先将各分母因式分解：
$x^2 - xy = x(x - y)$，$y - x = -(x - y)$，第三个分母为$3y$，
取各分母系数的最小公倍数3，所有不同因式为$x$、$(x-y)$、$y$，
因此最简公分母为$3xy(x-y)$。
(1) 取各分母系数2、3、9的最小公倍数18，
各分母中字母$x$的最高次幂为$x^4$，字母$y$的最高次幂为$y^3$，
因此最简公分母为$18x^4y^3$。
(2) 先将各分母因式分解：
$x^2 - xy = x(x - y)$，$y - x = -(x - y)$，第三个分母为$3y$，
取各分母系数的最小公倍数3，所有不同因式为$x$、$(x-y)$、$y$，
因此最简公分母为$3xy(x-y)$。
解析
【分析】
找最简公分母分两类情况处理：1. 当分母都是单项式时，先求各分母系数的最小公倍数，再找出所有相同字母的最高次幂，将所有出现过的字母连同它的最高次幂与最小公倍数相乘即可；2. 当分母含有多项式时，首先将每个多项式分母因式分解，把每个因式看作单独的“字母”，再沿用单项式找最简公分母的方法计算即可。本题第(1)小问分母均为单项式，直接按单项式方法求解；第(2)小问分母含多项式，先因式分解再计算。
【解析】
(1) 先取各分母系数2、3、9的最小公倍数为18；
再找各分母中字母的最高次幂：x的最高次幂为$x^4$，y的最高次幂为$y^3$；
因此最简公分母为$18x^4y^3$。
(2) 先将各多项式分母因式分解：
$x^2 - xy = x(x - y)$，$y - x = -(x - y)$，第三个分母为$3y$；
取各分母系数的最小公倍数为3，所有不同因式为x、$(x-y)$、y，次数均为1次；
因此最简公分母为$3xy(x-y)$。
【答案】
(1)$18x^4y^3$；(2)$3xy(x-y)$
【知识点】
最简公分母的确定，提公因式法因式分解，最小公倍数计算
【点评】
本题是分式通分、加减运算的基础题型，重点考查最简公分母的找法，解题时要注意多项式分母必须先因式分解再找公共因式，避免因未变形导致错判相同因式。
【难度系数】
0.8
找最简公分母分两类情况处理：1. 当分母都是单项式时，先求各分母系数的最小公倍数，再找出所有相同字母的最高次幂，将所有出现过的字母连同它的最高次幂与最小公倍数相乘即可；2. 当分母含有多项式时，首先将每个多项式分母因式分解，把每个因式看作单独的“字母”，再沿用单项式找最简公分母的方法计算即可。本题第(1)小问分母均为单项式，直接按单项式方法求解；第(2)小问分母含多项式，先因式分解再计算。
【解析】
(1) 先取各分母系数2、3、9的最小公倍数为18；
再找各分母中字母的最高次幂：x的最高次幂为$x^4$，y的最高次幂为$y^3$；
因此最简公分母为$18x^4y^3$。
(2) 先将各多项式分母因式分解：
$x^2 - xy = x(x - y)$，$y - x = -(x - y)$，第三个分母为$3y$；
取各分母系数的最小公倍数为3，所有不同因式为x、$(x-y)$、y，次数均为1次；
因此最简公分母为$3xy(x-y)$。
【答案】
(1)$18x^4y^3$；(2)$3xy(x-y)$
【知识点】
最简公分母的确定，提公因式法因式分解，最小公倍数计算
【点评】
本题是分式通分、加减运算的基础题型，重点考查最简公分母的找法，解题时要注意多项式分母必须先因式分解再找公共因式，避免因未变形导致错判相同因式。
【难度系数】
0.8
例3 已知$\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$，求$A,B$的值.
【思路导析】等式右边两个分式的最简公分母是$(x-1)(x+2)$，与左边的分母相同，所以只要将等式的右边通分，然后根据“两个分式相等，若分母相等，则分子相等”构造关于$A,B$的二元一次方程组，即可求出$A,B$的值.
【示范解答】$\because \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2},$
$\therefore \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
$=\frac{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)}.$
$\therefore \begin{cases} A+B=3, \\ 2A-B=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=\frac{8}{3}, \\ B=\frac{1}{3}. \end{cases}$
变式探究
在学完最简分式概念后，老师在黑板上写了四个整式：$6,x+1,x^2-1,x-1$，要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有个.
【思路导析】等式右边两个分式的最简公分母是$(x-1)(x+2)$，与左边的分母相同，所以只要将等式的右边通分，然后根据“两个分式相等，若分母相等，则分子相等”构造关于$A,B$的二元一次方程组，即可求出$A,B$的值.
【示范解答】$\because \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2},$
$\therefore \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
$=\frac{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)}.$
$\therefore \begin{cases} A+B=3, \\ 2A-B=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=\frac{8}{3}, \\ B=\frac{1}{3}. \end{cases}$
变式探究
在学完最简分式概念后，老师在黑板上写了四个整式：$6,x+1,x^2-1,x-1$，要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有个.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题需先明确两个核心概念：一是分式的定义，即分母中含有字母的式子，因此组分式时分母必须是含x的整式（x+1、x²-1、x-1），常数6不能作为分母；二是最简分式的定义，即分子、分母没有公因式的分式。接下来按不同分母分类讨论，逐一判断对应分子能否和分母组成最简分式，最后统计总数即可。
【解析】
根据分式定义，可选分母为$x+1$、$x-1$、$x^2-1$（6为常数，作分母时式子为整式，不属于分式），结合最简分式“分子分母无公因式”的判定规则，分情况讨论：
1. 分母为$x+1$时：
可选分子为6、$x-1$、$x^2-1$，其中$\frac{6}{x+1}$、$\frac{x-1}{x+1}$无公因式，是最简分式；$\frac{x^2-1}{x+1}$含有公因式$x+1$，不是最简分式，共2个最简分式。
2. 分母为$x-1$时：
可选分子为6、$x+1$、$x^2-1$，其中$\frac{6}{x-1}$、$\frac{x+1}{x-1}$无公因式，是最简分式；$\frac{x^2-1}{x-1}$含有公因式$x-1$，不是最简分式，共2个最简分式。
3. 分母为$x^2-1$时：
可选分子为6、$x+1$、$x-1$，其中仅$\frac{6}{x^2-1}$无公因式，是最简分式，共1个最简分式。
合计最简分式总数为$2+2+1=5$个。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
分式的定义、最简分式判定、因式分解
【点评】
本题侧重对基础概念的应用，解题时需先筛选符合分式定义的组合，再判断是否为最简，分类讨论时要避免漏算或误将整式计入分式。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心概念：一是分式的定义，即分母中含有字母的式子，因此组分式时分母必须是含x的整式（x+1、x²-1、x-1），常数6不能作为分母；二是最简分式的定义，即分子、分母没有公因式的分式。接下来按不同分母分类讨论，逐一判断对应分子能否和分母组成最简分式，最后统计总数即可。
【解析】
根据分式定义，可选分母为$x+1$、$x-1$、$x^2-1$（6为常数，作分母时式子为整式，不属于分式），结合最简分式“分子分母无公因式”的判定规则，分情况讨论：
1. 分母为$x+1$时：
可选分子为6、$x-1$、$x^2-1$，其中$\frac{6}{x+1}$、$\frac{x-1}{x+1}$无公因式，是最简分式；$\frac{x^2-1}{x+1}$含有公因式$x+1$，不是最简分式，共2个最简分式。
2. 分母为$x-1$时：
可选分子为6、$x+1$、$x^2-1$，其中$\frac{6}{x-1}$、$\frac{x+1}{x-1}$无公因式，是最简分式；$\frac{x^2-1}{x-1}$含有公因式$x-1$，不是最简分式，共2个最简分式。
3. 分母为$x^2-1$时：
可选分子为6、$x+1$、$x-1$，其中仅$\frac{6}{x^2-1}$无公因式，是最简分式，共1个最简分式。
合计最简分式总数为$2+2+1=5$个。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
分式的定义、最简分式判定、因式分解
【点评】
本题侧重对基础概念的应用，解题时需先筛选符合分式定义的组合，再判断是否为最简，分类讨论时要避免漏算或误将整式计入分式。
【难度系数】
0.7
