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1. ★★★ (2025·杭州月考)如图，$\odot O$的直径$CD=20$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为$M$，$OM:OC=3:5$，则$AB$的长为 (
A.8
B.16
C.32
D.$2\sqrt{91}$
B
)A.8
B.16
C.32
D.$2\sqrt{91}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直径CD垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可知AB被CD平分，因此只需算出半弦长AM的长度再乘2即可得到AB的长。接下来先根据直径长度求出圆的半径，结合OM与OC的比例求出OM的长度，最后连接OA构造直角三角形，利用勾股定理计算AM的长度即可。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=20$
∴$OC=OA=\frac{1}{2}CD=10$
∵$OM:OC=3:5$
∴$OM=10×\frac{3}{5}=6$
∵$AB⊥ CD$，CD是$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$
在$\mathrm{Rt}△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
∴$AB=2AM=2×8=16$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握这一模型是解决同类弦长计算问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：直径CD垂直于弦AB，优先联想到垂径定理，可知AB被CD平分，因此只需算出半弦长AM的长度再乘2即可得到AB的长。接下来先根据直径长度求出圆的半径，结合OM与OC的比例求出OM的长度，最后连接OA构造直角三角形，利用勾股定理计算AM的长度即可。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=20$
∴$OC=OA=\frac{1}{2}CD=10$
∵$OM:OC=3:5$
∴$OM=10×\frac{3}{5}=6$
∵$AB⊥ CD$，CD是$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$
在$\mathrm{Rt}△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
∴$AB=2AM=2×8=16$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握这一模型是解决同类弦长计算问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. （2025·温州月考）如图，点P在$\odot O$的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径AB所在直线上，点C，E，F，H都在$\odot O$上，如果两个正方形的面积之和为18，$OP=\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径长是
3
。答案
2.3
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，结合正方形性质、圆上点到圆心距离等于半径的特点求解。首先以圆心O为原点，直径AB所在直线为x轴，设P点横坐标为p，可得$p^2=OP^2=2$；再根据正方形顶点位置可知两个正方形的对角线都在x轴上，设两个正方形对角线的一半长度分别为a、b，由面积和可推得$a^2+b^2=9$；最后将圆上的点C、H用含a、b、p的坐标表示，利用点在圆上满足到原点距离等于半径列方程，化简消参后即可求出半径r。
【解析】
解：以圆心O为原点，直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
设P点坐标为$(p,0)$，则$OP^2=p^2=(\sqrt{2})^2=2$。
设正方形PCDE的对角线DP长为$2a$，正方形PFGH的对角线PG长为$2b$。
根据“对角线为d的正方形面积为$\frac{d^2}{2}$”，结合两个正方形面积和为18，得：
$\frac{(2a)^2}{2}+\frac{(2b)^2}{2}=2a^2+2b^2=18$，化简得$a^2+b^2=9$。
由正方形的对称性得：点C坐标为$(p-a,a)$，点H坐标为$(p+b,b)$。
∵C、H都在$\odot O$上，设$\odot O$半径为$r$，
∴$OC^2=r^2$，$OH^2=r^2$，即：
$(p-a)^2+a^2=r^2$ ---①
$(p+b)^2+b^2=r^2$ ---②
由①=②得：
$(p-a)^2+a^2=(p+b)^2+b^2$
展开化简得：$p^2-2ap+2a^2=p^2+2bp+2b^2$
消去$p^2$整理得：$2(a^2-b^2)=2p(a+b)$
∵$a+b≠0$，两边同除以$2(a+b)$得：$a-b=p$
将①和②相加得：
$(p-a)^2+a^2+(p+b)^2+b^2=2r^2$
展开整理得：$2p^2+2p(b-a)+2(a^2+b^2)=2r^2$
两边同除以2得：$p^2+p(b-a)+a^2+b^2=r^2$
将$b-a=-(a-b)=-p$代入上式：
$r^2=p^2+p·(-p)+a^2+b^2=a^2+b^2$
∵$a^2+b^2=9$，
∴$r^2=9$，解得$r=3$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；圆的基本性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、圆的性质和代数化简能力，解题的关键是合理建立坐标系，准确表示出圆上点的坐标，再通过方程化简消去未知参数，找到半径和已知面积和的关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
我们可以通过建立平面直角坐标系，结合正方形性质、圆上点到圆心距离等于半径的特点求解。首先以圆心O为原点，直径AB所在直线为x轴，设P点横坐标为p，可得$p^2=OP^2=2$；再根据正方形顶点位置可知两个正方形的对角线都在x轴上，设两个正方形对角线的一半长度分别为a、b，由面积和可推得$a^2+b^2=9$；最后将圆上的点C、H用含a、b、p的坐标表示，利用点在圆上满足到原点距离等于半径列方程，化简消参后即可求出半径r。
【解析】
解：以圆心O为原点，直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
设P点坐标为$(p,0)$，则$OP^2=p^2=(\sqrt{2})^2=2$。
设正方形PCDE的对角线DP长为$2a$，正方形PFGH的对角线PG长为$2b$。
根据“对角线为d的正方形面积为$\frac{d^2}{2}$”，结合两个正方形面积和为18，得：
$\frac{(2a)^2}{2}+\frac{(2b)^2}{2}=2a^2+2b^2=18$，化简得$a^2+b^2=9$。
由正方形的对称性得：点C坐标为$(p-a,a)$，点H坐标为$(p+b,b)$。
∵C、H都在$\odot O$上，设$\odot O$半径为$r$，
∴$OC^2=r^2$，$OH^2=r^2$，即：
$(p-a)^2+a^2=r^2$ ---①
$(p+b)^2+b^2=r^2$ ---②
由①=②得：
$(p-a)^2+a^2=(p+b)^2+b^2$
展开化简得：$p^2-2ap+2a^2=p^2+2bp+2b^2$
消去$p^2$整理得：$2(a^2-b^2)=2p(a+b)$
∵$a+b≠0$，两边同除以$2(a+b)$得：$a-b=p$
将①和②相加得：
$(p-a)^2+a^2+(p+b)^2+b^2=2r^2$
展开整理得：$2p^2+2p(b-a)+2(a^2+b^2)=2r^2$
两边同除以2得：$p^2+p(b-a)+a^2+b^2=r^2$
将$b-a=-(a-b)=-p$代入上式：
$r^2=p^2+p·(-p)+a^2+b^2=a^2+b^2$
∵$a^2+b^2=9$，
∴$r^2=9$，解得$r=3$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；圆的基本性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、圆的性质和代数化简能力，解题的关键是合理建立坐标系，准确表示出圆上点的坐标，再通过方程化简消去未知参数，找到半径和已知面积和的关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
3. 如图,在$5×5$的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是$(-2,4)$,点C的坐标是$(1,3)$,那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 (
A.$(0,0)$
B.$(-1,2)$
C.$(-1,0)$
D.$(-1,-1)$
B
)A.$(0,0)$
B.$(-1,2)$
C.$(-1,0)$
D.$(-1,-1)$
答案
3.B
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，根据垂径定理的推论：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需找到两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。首先根据已知的A、C坐标确定网格坐标系，得到点B的坐标，再分别计算两条弦的垂直平分线，联立得到交点即为圆心；也可通过验证选项中点到A、B、C三点的距离是否相等快速判断。
【解析】
根据点A(-2,4)、C(1,3)的坐标规则，可得点B的坐标为(0,4)。
方法1：利用垂直平分线求交点
1. 求弦AB的垂直平分线：
AB为水平线段，中点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{4+4}{2})=(-1,4)$，其垂直平分线为竖直线$x=-1$，因此圆心横坐标必为-1，可排除A选项。
2. 求弦BC的垂直平分线：
B(0,4)、C(1,3)的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{4+3}{2})=(0.5,3.5)$，BC的斜率为$\frac{3-4}{1-0}=-1$，因此其垂直平分线的斜率为1（互相垂直的直线斜率乘积为-1）。
设BC垂直平分线解析式为$y=x+b$，代入中点坐标得$3.5=0.5+b$，解得$b=3$，即BC垂直平分线为$y=x+3$。
3. 求交点：
将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=-1+3=2$，即圆心坐标为$(-1,2)$。
方法2：验证选项
分别计算各选项点到A、B、C的距离平方：
选项B$(-1,2)$：到A的距离平方$(-2+1)^2+(4-2)^2=5$，到B的距离平方$(0+1)^2+(4-2)^2=5$，到C的距离平方$(1+1)^2+(3-2)^2=5$，三点到该点距离相等，符合圆心特征。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的推论；坐标与图形性质；一次函数的应用
【点评】
本题既可以通过垂直平分线交点的方法求解，也可以通过验证距离相等快速得到答案，灵活选择方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，根据垂径定理的推论：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需找到两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。首先根据已知的A、C坐标确定网格坐标系，得到点B的坐标，再分别计算两条弦的垂直平分线，联立得到交点即为圆心；也可通过验证选项中点到A、B、C三点的距离是否相等快速判断。
【解析】
根据点A(-2,4)、C(1,3)的坐标规则，可得点B的坐标为(0,4)。
方法1：利用垂直平分线求交点
1. 求弦AB的垂直平分线：
AB为水平线段，中点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{4+4}{2})=(-1,4)$，其垂直平分线为竖直线$x=-1$，因此圆心横坐标必为-1，可排除A选项。
2. 求弦BC的垂直平分线：
B(0,4)、C(1,3)的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{4+3}{2})=(0.5,3.5)$，BC的斜率为$\frac{3-4}{1-0}=-1$，因此其垂直平分线的斜率为1（互相垂直的直线斜率乘积为-1）。
设BC垂直平分线解析式为$y=x+b$，代入中点坐标得$3.5=0.5+b$，解得$b=3$，即BC垂直平分线为$y=x+3$。
3. 求交点：
将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=-1+3=2$，即圆心坐标为$(-1,2)$。
方法2：验证选项
分别计算各选项点到A、B、C的距离平方：
选项B$(-1,2)$：到A的距离平方$(-2+1)^2+(4-2)^2=5$，到B的距离平方$(0+1)^2+(4-2)^2=5$，到C的距离平方$(1+1)^2+(3-2)^2=5$，三点到该点距离相等，符合圆心特征。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理的推论；坐标与图形性质；一次函数的应用
【点评】
本题既可以通过垂直平分线交点的方法求解，也可以通过验证距离相等快速得到答案，灵活选择方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
