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4. ★★★ 如图，$\odot O$的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$，$C$是$\odot O$上一点，点$D$平分$\overset{\frown}{BC}$，$DE=2\ \mathrm{cm}$，则弦$AC=$
6 cm
。答案
4.6 cm
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先根据直径长度求出圆的半径，明确圆心O是AB的中点；2. 由D平分$\overset{\frown}{BC}$，结合垂径定理推论，可得出OD垂直平分BC，即E是BC中点，OD⊥BC；3. 由此可得OE是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$\odot O$的半径$OD=5\ \mathrm{cm}$，且O为AB的中点
$\because$点D平分$\overset{\frown}{BC}$，OD是$\odot O$的半径
$\therefore$OD垂直平分BC，即E为BC的中点
$\therefore$OE是$△ ABC$的中位线，可得$AC=2OE$
$\because$$DE=2\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$OE=OD-DE=5-2=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$AC=2×3=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规几何题，解题核心是通过弧中点的性质推导线段的位置和数量关系，识别出中位线是解题的关键，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 先根据直径长度求出圆的半径，明确圆心O是AB的中点；2. 由D平分$\overset{\frown}{BC}$，结合垂径定理推论，可得出OD垂直平分BC，即E是BC中点，OD⊥BC；3. 由此可得OE是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$\odot O$的半径$OD=5\ \mathrm{cm}$，且O为AB的中点
$\because$点D平分$\overset{\frown}{BC}$，OD是$\odot O$的半径
$\therefore$OD垂直平分BC，即E为BC的中点
$\therefore$OE是$△ ABC$的中位线，可得$AC=2OE$
$\because$$DE=2\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$OE=OD-DE=5-2=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore$$AC=2×3=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规几何题，解题核心是通过弧中点的性质推导线段的位置和数量关系，识别出中位线是解题的关键，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口的中心在一条直线上.图①是正确使用该工具时的示意图.如图②，$\odot O$为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在$\odot O$上，直线$l$过点$O$，且$l⊥ AB$于点$D$，交$\odot O$于点$C$.若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，则这个紫砂壶的壶口半径$r$的长为 （
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{20}{5}\ \mathrm{cm}$
A
）A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{20}{5}\ \mathrm{cm}$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线平分弦，可求出弦AB一半的长度。再设壶口半径为r，用r表示出直角三角形ODB的直角边OD的长度，最后在直角三角形中根据勾股定理列方程，即可求解半径r。
【解析】
解：
∵直线$l$过圆心$O$，且$l⊥ AB$于点$D$，$AB=8\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，得 $BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$
∵$CD=2\ \mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$
代入数值得：$(r-2)^2 + 4^2 = r^2$
展开整理：$r^2 -4r +4 +16 = r^2$
化简得：$-4r +20 = 0$
解得：$r=5$
即这个紫砂壶的壶口半径为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题以传统手工制作为背景，考查垂径定理的实际应用，解题核心是构造出由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理列方程求解，是圆中线段计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线平分弦，可求出弦AB一半的长度。再设壶口半径为r，用r表示出直角三角形ODB的直角边OD的长度，最后在直角三角形中根据勾股定理列方程，即可求解半径r。
【解析】
解：
∵直线$l$过圆心$O$，且$l⊥ AB$于点$D$，$AB=8\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，得 $BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$
∵$CD=2\ \mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：
$OD^2 + BD^2 = OB^2$
代入数值得：$(r-2)^2 + 4^2 = r^2$
展开整理：$r^2 -4r +4 +16 = r^2$
化简得：$-4r +20 = 0$
解得：$r=5$
即这个紫砂壶的壶口半径为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题以传统手工制作为背景，考查垂径定理的实际应用，解题核心是构造出由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理列方程求解，是圆中线段计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
6. ★★★ 如图，AB是$\odot O$的弦，$OC ⊥ AB$，垂足为C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，$OD=\frac{1}{3}OC$，若$AB=8$，则$\odot O$的半径为
5
。答案
6.5
解析
【分析】
首先看到题目涉及圆的弦、垂直于弦的线段、折叠这几个要素，优先调用垂径定理和折叠的性质解题。第一步：根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可直接算出弦AB的一半AC的长度；第二步：利用折叠的对称性，折叠后劣弧到弦AB的距离和折叠前相等，可得CD等于半径减OC的长度；第三步：结合OD和OC的比例关系，得到半径和OC的数量关系，最后在直角三角形OAC中用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，$OC=x$。
1. 由垂径定理，$OC⊥ AB$，$AB=8$，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$r^2=4^2+x^2$ ①。
2. 由折叠的性质可知，劣弧$AB$沿$AB$折叠后，$CD$的长度等于原劣弧$AB$到弦$AB$的距离，即$CD=r-x$。
已知$OD=\frac{1}{3}OC$，且$OC=OD+CD$，代入得：
$x=\frac{1}{3}x+(r-x)$
整理得$r=\frac{5}{3}x$，即$x=\frac{3r}{5}$ ②。
3. 将②代入①：
$r^2=16+(\frac{3r}{5})^2$
$r^2-\frac{9r^2}{25}=16$
$\frac{16r^2}{25}=16$
$r^2=25$，结合半径为正，得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆章节的典型综合题，解题的核心是通过折叠的对称性质得到半径和OC的数量关系，再结合垂径构造的直角三角形列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
首先看到题目涉及圆的弦、垂直于弦的线段、折叠这几个要素，优先调用垂径定理和折叠的性质解题。第一步：根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可直接算出弦AB的一半AC的长度；第二步：利用折叠的对称性，折叠后劣弧到弦AB的距离和折叠前相等，可得CD等于半径减OC的长度；第三步：结合OD和OC的比例关系，得到半径和OC的数量关系，最后在直角三角形OAC中用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，$OC=x$。
1. 由垂径定理，$OC⊥ AB$，$AB=8$，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$r^2=4^2+x^2$ ①。
2. 由折叠的性质可知，劣弧$AB$沿$AB$折叠后，$CD$的长度等于原劣弧$AB$到弦$AB$的距离，即$CD=r-x$。
已知$OD=\frac{1}{3}OC$，且$OC=OD+CD$，代入得：
$x=\frac{1}{3}x+(r-x)$
整理得$r=\frac{5}{3}x$，即$x=\frac{3r}{5}$ ②。
3. 将②代入①：
$r^2=16+(\frac{3r}{5})^2$
$r^2-\frac{9r^2}{25}=16$
$\frac{16r^2}{25}=16$
$r^2=25$，结合半径为正，得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆章节的典型综合题，解题的核心是通过折叠的对称性质得到半径和OC的数量关系，再结合垂径构造的直角三角形列方程求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径的圆与$AB$交于点$D$,则$AD$的长为（
A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{21}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$
C
）A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{21}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题思路：要求圆中弦$AD$的长，可利用垂径定理，过圆心$C$作$AD$的垂线得到$AD$的中点，将求$AD$转化为求2倍的半弦长。首先由勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ABC$斜边$AB$的长度，再用三角形面积相等求出斜边上的高（即弦$AD$的弦心距），最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到$AD$的长度。
【解析】
解：过点$C$作$CE ⊥ AB$于点$E$，
根据垂径定理可得：$AE=ED$，即$AD=2AE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，
解得：$CE=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
$\therefore AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题核心是利用垂径定理作弦心距，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，结合面积法求高的技巧可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路：要求圆中弦$AD$的长，可利用垂径定理，过圆心$C$作$AD$的垂线得到$AD$的中点，将求$AD$转化为求2倍的半弦长。首先由勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ABC$斜边$AB$的长度，再用三角形面积相等求出斜边上的高（即弦$AD$的弦心距），最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到$AD$的长度。
【解析】
解：过点$C$作$CE ⊥ AB$于点$E$，
根据垂径定理可得：$AE=ED$，即$AD=2AE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，
解得：$CE=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
$\therefore AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题核心是利用垂径定理作弦心距，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，结合面积法求高的技巧可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
8. 如图，A是$\odot O$上的一点，$OA$与$BC$交于点$D$，已知弦$BC=6\sqrt{3}$，$\sqrt{3}OD=BD$，$∠ ODC=30°$，则半径$OA$的长为（
A.$2\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{3}+2$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
A
）A.$2\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{3}+2$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
8.A
解析
【分析】
遇到圆中弦与半径相交的问题，可通过设未知数结合三角形余弦定理建立等量关系求解。首先设OD的长度为x，根据已知条件表示出BD的长度，结合∠ODC与∠ODB互补得到∠ODB=150°，在△OBD中用余弦定理写出半径R与x的关系；再结合BC的总长表示出DC的长度，在△ODC中用余弦定理也写出R与x的关系，联立两个式子求解x，即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：设$OD=x$，$\odot O$的半径$OA=OB=OC=R$。
1. 由$\sqrt{3}OD=BD$，可得$BD=\sqrt{3}x$；
2. $\because ∠ ODC=30°$，$\therefore ∠ ODB=180°-30°=150°$，
在$△ OBD$中，由余弦定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2 - 2· OD· BD· \cos∠ ODB$
代入$\cos150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$BD=\sqrt{3}x$，化简得：
$R^2 = x^2 + (\sqrt{3}x)^2 - 2· x· \sqrt{3}x· (-\frac{\sqrt{3}}{2})=7x^2$---①
3. $\because BC=6\sqrt{3}$，$\therefore DC=BC-BD=6\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，
在$△ ODC$中，$∠ ODC=30°$，由余弦定理得：
$OC^2 = OD^2 + DC^2 - 2· OD· DC· \cos∠ ODC$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$DC=6\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，化简得：
$R^2=7x^2-54x+108$---②
4. 联立①②，得$7x^2=7x^2-54x+108$，解得$x=2$，
将$x=2$代入①，得$R^2=7×2^2=28$，$\therefore R=2\sqrt{7}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；余弦定理；补角性质
【点评】
本题是圆与三角形计算的综合题，解题核心是利用圆的半径相等的性质，结合余弦定理在两个关联三角形中建立方程联立求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.6
遇到圆中弦与半径相交的问题，可通过设未知数结合三角形余弦定理建立等量关系求解。首先设OD的长度为x，根据已知条件表示出BD的长度，结合∠ODC与∠ODB互补得到∠ODB=150°，在△OBD中用余弦定理写出半径R与x的关系；再结合BC的总长表示出DC的长度，在△ODC中用余弦定理也写出R与x的关系，联立两个式子求解x，即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：设$OD=x$，$\odot O$的半径$OA=OB=OC=R$。
1. 由$\sqrt{3}OD=BD$，可得$BD=\sqrt{3}x$；
2. $\because ∠ ODC=30°$，$\therefore ∠ ODB=180°-30°=150°$，
在$△ OBD$中，由余弦定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2 - 2· OD· BD· \cos∠ ODB$
代入$\cos150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$BD=\sqrt{3}x$，化简得：
$R^2 = x^2 + (\sqrt{3}x)^2 - 2· x· \sqrt{3}x· (-\frac{\sqrt{3}}{2})=7x^2$---①
3. $\because BC=6\sqrt{3}$，$\therefore DC=BC-BD=6\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，
在$△ ODC$中，$∠ ODC=30°$，由余弦定理得：
$OC^2 = OD^2 + DC^2 - 2· OD· DC· \cos∠ ODC$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$DC=6\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，化简得：
$R^2=7x^2-54x+108$---②
4. 联立①②，得$7x^2=7x^2-54x+108$，解得$x=2$，
将$x=2$代入①，得$R^2=7×2^2=28$，$\therefore R=2\sqrt{7}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；余弦定理；补角性质
【点评】
本题是圆与三角形计算的综合题，解题核心是利用圆的半径相等的性质，结合余弦定理在两个关联三角形中建立方程联立求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.6
