8. (1)如图①所示，A,B,C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，则∠BAC的正切值为。

(2)(凉山州中考)如图②所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为。

8. (1) 1 解析:如图①,连接 $BC$,由网格和勾股定理可得,$BC=\sqrt{1^2+2^2}=AC=\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore BC^2+AC^2=5+5=10=AB^2$,$\therefore ∠ ACB = 90°.\because AC = BC$,$\therefore ∠ CAB = ∠ CBA=45°$,$\therefore \tan∠ BAC=\tan 45°=1$.
(2) $\frac{1}{2}$ 解析:如图②,连接 $BD$,$\because BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$AD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore BD^2+AD^2=2+8=10=AB^2$,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore \tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.

9. (2024·深圳中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形, $\tan ∠ AOC = \dfrac{4}{3}$,且点A落在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$上,点B落在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}\ (k ≠ 0)$上,则$k=$.

9. 8 解析:过点 $A,B$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足分别为 $D,E$,如图.
$\because \tan∠ AOC=\frac{4}{3}$,$\therefore \frac{AD}{OD}=\frac{4}{3}$,$\therefore$ 设 $AD=4a$,则 $OD=3a$,$\therefore$ 点 $A(3a,4a).\because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 上,$\therefore 3a · 4a = 3$,$\therefore a=\frac{1}{2}$(负值已舍),则点 $A(\frac{3}{2},2)$,$\therefore AD=2,OD=\frac{3}{2}$,$\therefore OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\frac{5}{2}.\because$ 四边形 $AOCB$ 为菱形,$\therefore AB=OA=\frac{5}{2}$,$AB// CO$,$\therefore$ 点 $B(4,2).\because$ 点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne0)$ 上,$\therefore k=4×2=8$.

10. (2025·甘孜州中考)如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.延长DC交AB的延长线于点E.
(1)求证:AC平分$∠ DAE$;
(2)若$\tan E=\frac{5}{12},CE=12$,求$\odot O$的半径和CD的长.

10. (1) 如图,连接 $OC$,则 $OC=OA$,$\therefore ∠ EAC=∠ OCA.\because CD$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$,$\therefore CD ⊥ OC.\because AD ⊥ CD$,$\therefore AD// OC$,$\therefore ∠ DAC=∠ OCA$,$\therefore ∠ DAC=∠ EAC$,$\therefore AC$ 平分 $∠ DAE$.
(2) 如图,作 $OF ⊥ AD$ 于点 $F$,$∠ AFO = ∠ OCE = 90°$,$\because \tan E=\frac{5}{12}$,$CE=12$,$\therefore \frac{OC}{CE}=\frac{OC}{12}=\tan E=\frac{5}{12}$,$\therefore OA=OC=5.\because OC ⊥ CD$,$\therefore EO=\sqrt{OC^2+CE^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.\because AD// OC$,$\therefore ∠ OAF = ∠ EOC$,$\therefore △ OAF ∽ △ EOC$,$\therefore \frac{FO}{CE} = \frac{OA}{EO} =\frac{5}{13}$,$\therefore FO=\frac{5}{13} CE=\frac{5}{13}×12=\frac{60}{13}.\because ∠ OFD = ∠ D = ∠ OCD = 90°$,$\therefore$ 四边形 $OCDF$ 是矩形,$\therefore CD=FO=\frac{60}{13}$,$\therefore \odot O$ 的半径为 $5$,$CD$ 的长为 $\frac{60}{13}$.

11. 小明同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.
(1)实践探究:如图①,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,求$\tan \frac{A}{2}$的值.小明想构造包含$\frac{1}{2}∠ A$的直角三角形:延长$CA$至点$D$,使得$DA=AB$,连接$BD$,得到$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$,即转化为求$∠ D$的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.
(2)拓展延伸:如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$.
①$\tan 2A=$;
②求$\tan 3A$的值.

11. (1) $\because$ 在 Rt$△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}$.延长 $CA$ 至点 $D$,使得 $DA=AB$,$\therefore AD=AB=\sqrt{5}$,$∠ D=∠ ABD$,$\therefore ∠ BAC=2∠ D$,$CD=AD+AC=\sqrt{5}+2$,$\therefore \tan \frac{A}{2}=\tan D=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$.
(2)① $\frac{3}{4}$ 解析:如图,作线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $E$,连接 $BE$,则 $∠ BEC=2∠ A$,$AE=BE$,$∠ A=∠ ABE$.在 Rt$△ ABC$ 中,$\because ∠ C=90°$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$,$\therefore BC=1$,$AB=\sqrt{10}$.设 $AE=x$,则 $EC=3-x$.在 Rt$△ EBC$ 中,$x^2=(3-x)^2+1^2$,解得 $x=\frac{5}{3}$,即 $AE=BE=\frac{5}{3}$,$EC=\frac{4}{3}$.$\therefore \tan 2A=\tan∠ BEC=\frac{BC}{EC}=\frac{3}{4}$.故答案为 $\frac{3}{4}$.
② 如图,作线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $E$,连接 $BE$,作 $BM$ 交 $AC$ 于点 $M$,使 $∠ MBE=∠ ABE$,则 $∠ A=∠ ABE=∠ MBE$,$∠ BMC=∠ A+∠ MBA=3∠ A$.
由①知,$AE=BE=\frac{5}{3}$,$EC=\frac{4}{3}$,设 $EM=y$,则 $MC=EC-EM=\frac{4}{3}-y$.$\because ∠ BEC=2∠ A$,$∠ ABM=2∠ A$,$\therefore ∠ BEC=∠ ABM$.
又 $∠ MBE=∠ A$,$\therefore △ ABM∽△ BEM$,$\therefore \frac{AB}{BE}=\frac{BM}{EM}$,即 $\frac{\sqrt{10}}{\frac{5}{3}}=\frac{BM}{y}$,$\therefore BM=\frac{3\sqrt{10}}{5}y$.
在 Rt$△ MBC$ 中,有 $BM^2=CM^2+BC^2$,即 $(\frac{3\sqrt{10}}{5}y)^2=(\frac{4}{3}-y)^2+1$,整理得 $117y^2+120y-125=0$,解得 $y_1=\frac{25}{39}$,$y_2=-\frac{5}{3}$(不合题意,舍去),即 $EM=\frac{25}{39}$,$CM=\frac{4}{3}-\frac{25}{39}=\frac{9}{13}$.
$\therefore \tan 3A=\tan∠ BMC=\frac{BC}{MC}=\frac{1}{\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}$.