19. (10分)(2026·苏州中考)如图,P是以AB为直径的$\odot O$外一点,C为$\odot O$上的一点,PA是$\odot O$的切线,$BC// OP$,D为OB的中点,连接DP交OC于E.
(1)求证:PC是$\odot O$的切线.
(2)若$OA=2$,$PA=4$.
①求BC的长;
②求$\tan∠ PEC$的值.

19. (1)
∵ PA 为⊙O 的切线,
∴ PA ⊥ OA,
∴ ∠PAO=90°.
∵ BC//OP,
∴ ∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB.
∵ OB=OC,
∴ ∠B=∠OCB,
∴ ∠AOP=∠COP.在△AOP 和△COP 中,{OA=OC, ∠AOP=∠COP, OP=OP,
∴ △AOP≌△COP(SAS),
∴ ∠PCO=∠PAO=90°.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ PC 为⊙O 的切线.
(2)①如图①,连接 AC.
∵ 在 Rt△APO 中,OA=2,PA=4,
∴ OP=√(OA²+PA²)=2√5,cos∠AOP=AO/OP=2/(2√5)=√5/5.
∵ ∠B=∠AOP,
∴ cos B=cos∠AOP=√5/5.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ AB=2OA=4,∠ACB=90°,
∴ BC=AB · cos B=4×√5/5=4√5/5.
②如图②,取 OC 的中点 F,连接 DF,则 OF=CF=1/2 OC=1/2×2=1.
∵ △AOP≌△COP,
∴ PA=PC=4.
∵ D,F 分别为 OB,OC 的中点,
∴ DF 是△OBC 的中位线,
∴ DF//BC,DF=1/2 BC=2√5/5.
∵ BC//OP,
∴ DF//OP,
∴ △DEF∽△PEO,
∴ EF/OE=DF/OP=(2√5/5)/(2√5)=1/5,
∴ EF=1/6 FO=1/6,
∴ CE=EF+CF=7/6,
∴ 在 Rt△PCE 中,tan∠PEC=PC/CE=4/(7/6)=24/7.
一题多解 如图③,过点 D 作 DG//OC,交 PO 的延长线于点 G.
∴ ∠ODG=∠BOC.
∵ BC//OP,
∴ ∠GOD=∠B,
∴ △ODG∽△BOC,
∴ OG/BC=DG/OC=OD/BO=1/2,
∴ OG=1/2 BC=2√5/5,DG=1/2 OC=1,
∴ PG=PO+OG=2√5 + 2√5/5=12√5/5.
∵ DG//OC,
∴ △POE∽△PGD,
∴ PO/PG=OE/DG,即 (2√5)/(12√5/5)=OE/1,
∴ OE=5/6,
∴ CE=OC-OE=2-5/6=7/6.由(1)知△AOP≌△COP,
∴ PA=PC=4,
∴ 在 Rt△PCE 中,tan∠PEC=PC/CE=4/(7/6)=24/7.

20. (14分)(扬州中考)问题呈现:
如图①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求$\tan∠ CPN$的值.
方法归纳:
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中$∠ CPN$不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得$MN// EC$,则$∠ DNM=∠ CPN$,连接DM,那么$∠ CPN$就变换到$\mathrm{Rt}△ DMN$中.
问题解决:
(1)直接写出图①中$\tan∠ CPN$的值为;
(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求$\cos∠ CPN$的值;
思维拓展:
(3)如图③,$AB⊥ BC$,$AB=4BC$,点M在AB上,且$AM=BC$,延长CB到N,使$BN=2BC$,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求$∠ CPN$的度数.

20. (1) 2 解析:
∵ DM=2√2,MN=√2,DN=√10,
∴ DM²+MN²=DN²,
∴ △DMN 为直角三角形,
∴ tan∠CPN=tan∠DNM=DM/MN=2√2/√2=2.
(2)解法一:如图①,取格点 D,连接 CD,DM,则 CD//AN,
∴ ∠CPN=∠DCM.又 DM=CM=√5,DC=√10,
∴ DM²+MC²=DC²,
∴ △DCM 为等腰直角三角形.
∵ DM=CM,DM ⊥ CM,
∴ ∠DCM=∠CDM=45°,
∴ cos∠CPN=cos∠DCM=√2/2.
解法二:如图①,取格点 E,连接 AE,EN,则 AE//CM,
∴ ∠CPN=∠EAN.又
∵ EA=EN=√5,AN=√10,
∴ EA²+EN²=AN²,
∴ △AEN 为等腰直角三角形.
∵ EA=EN,AE ⊥ EN,
∴ ∠ENA=∠EAN=45°,
∴ cos∠CPN=cos∠EAN=√2/2.
(3)构造网格如图②(设每个小正方形的边长为 1),取格点 Q,连接 AQ,QN,则 QN//CP,
∴ ∠CPN=∠ANQ.又 AQ=QN=√10,AN=2√5,
∴ AQ²+QN²=AN²,
∴ △AQN 为等腰直角三角形.
∵ AQ=QN,AQ ⊥ QN,
∴ ∠ANQ=∠QAN=45°,
∴ ∠CPN=45°.
难点突破 在网格中,求一个角的三角函数值,当其顶角为非格点时,往往可以利用网格进行平移的方法,将非格点问题转化为格点问题,然后构造直角三角形或结合面积法求解,而且平移的方法多种多样,如本题中第(3)问也可以用如图③、图④中所示方法去求解.