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7. 如图①，区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，检测车辆在该路段平均速度. 如图②，在限速区间AB内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度$v$(km/h)是行驶时间$t$(h)的反比例函数. 当$100＜v≤120$时，汽车通过该限速区间的时间可能是（
A.0.15 h
B.0.22 h
C.0.24 h
D.0.4 h
B
）A.0.15 h
B.0.22 h
C.0.24 h
D.0.4 h
答案
7. B
解析
【分析】
本题是反比例函数在区间测速场景的实际应用题，解题思路如下：①首先明确路程固定时，平均速度v和行驶时间t成反比例关系，可设反比例函数解析式为$v=\frac{k}{t}$；②结合图②给出的点坐标代入解析式，求出k值（即AB区间的总路程），得到完整的函数解析式；③根据题目给出的v的取值范围，结合反比例函数的单调性，求出对应t的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设v关于t的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{t}$（$k≠0,t＞0$）。
将$t=0.3$，$v=80$代入解析式，得：
$k=vt=80×0.3=24$
因此函数解析式为$v=\frac{24}{t}$，变形得$t=\frac{24}{v}$。
已知$100＜v≤120$，由于$t=\frac{24}{v}$随v的增大而减小，因此：
当$v=120$时，$t=\frac{24}{120}=0.2$；
当$v=100$时，$t=\frac{24}{100}=0.24$；
所以t的取值范围为$0.2≤ t＜0.24$。
对比选项：
A.0.15h＜0.2h，不符合；
B.0.2h≤0.22h＜0.24h，符合；
C.0.24h不在$t＜0.24$范围内，不符合；
D.0.4h＞0.24h，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数实际应用；待定系数法求解析式；取值范围计算
【点评】
本题结合生活中的区间测速场景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出反比例函数解析式，再根据已知变量的范围推导对应未知量的范围，要注意反比例函数的增减性对不等号方向的影响，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在区间测速场景的实际应用题，解题思路如下：①首先明确路程固定时，平均速度v和行驶时间t成反比例关系，可设反比例函数解析式为$v=\frac{k}{t}$；②结合图②给出的点坐标代入解析式，求出k值（即AB区间的总路程），得到完整的函数解析式；③根据题目给出的v的取值范围，结合反比例函数的单调性，求出对应t的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设v关于t的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{t}$（$k≠0,t＞0$）。
将$t=0.3$，$v=80$代入解析式，得：
$k=vt=80×0.3=24$
因此函数解析式为$v=\frac{24}{t}$，变形得$t=\frac{24}{v}$。
已知$100＜v≤120$，由于$t=\frac{24}{v}$随v的增大而减小，因此：
当$v=120$时，$t=\frac{24}{120}=0.2$；
当$v=100$时，$t=\frac{24}{100}=0.24$；
所以t的取值范围为$0.2≤ t＜0.24$。
对比选项：
A.0.15h＜0.2h，不符合；
B.0.2h≤0.22h＜0.24h，符合；
C.0.24h不在$t＜0.24$范围内，不符合；
D.0.4h＞0.24h，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数实际应用；待定系数法求解析式；取值范围计算
【点评】
本题结合生活中的区间测速场景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出反比例函数解析式，再根据已知变量的范围推导对应未知量的范围，要注意反比例函数的增减性对不等号方向的影响，避免出错。
【难度系数】
0.7
8. 拉面为山西四大面食之一.将一定体积的面团做成拉面,面条的总长度$y$(cm)与粗细(横截面积)$x$(cm²)之间的变化关系如图所示(双曲线的一支),如果将这个面团做成粗为0.16 cm²的拉面,则做出来的面条的总长度为
800
cm.答案
8. 800
解析
【分析】
由题意可知面团的体积是固定值，面条体积=横截面积×总长度，即$xy=V$（V为定值），因此y与x成反比例函数关系。解题时首先设出反比例函数解析式，再将图像上已知点P的坐标代入求出常数k，得到完整的函数解析式，最后将x=0.16代入解析式即可求出对应的面条总长度。
【解析】
设面条总长度y与横截面积x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0,x＞0$）。
将点$P(0.04,3200)$代入解析式得：
$3200=\frac{k}{0.04}$
解得$k=3200×0.04=128$，因此函数解析式为$y=\frac{128}{x}$。
当$x=0.16\mathrm{cm}^2$时，代入解析式得：
$y=\frac{128}{0.16}=800(\mathrm{cm})$
【答案】
800
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是抓住“面团体积不变”这一隐含条件，明确y与x的反比例关系，再通过待定系数法求解析式、代入求值即可解决问题。
【难度系数】
0.8
由题意可知面团的体积是固定值，面条体积=横截面积×总长度，即$xy=V$（V为定值），因此y与x成反比例函数关系。解题时首先设出反比例函数解析式，再将图像上已知点P的坐标代入求出常数k，得到完整的函数解析式，最后将x=0.16代入解析式即可求出对应的面条总长度。
【解析】
设面条总长度y与横截面积x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0,x＞0$）。
将点$P(0.04,3200)$代入解析式得：
$3200=\frac{k}{0.04}$
解得$k=3200×0.04=128$，因此函数解析式为$y=\frac{128}{x}$。
当$x=0.16\mathrm{cm}^2$时，代入解析式得：
$y=\frac{128}{0.16}=800(\mathrm{cm})$
【答案】
800
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是抓住“面团体积不变”这一隐含条件，明确y与x的反比例关系，再通过待定系数法求解析式、代入求值即可解决问题。
【难度系数】
0.8
9. 某公司将农副产品运往市场进行销售,记汽车行驶时间为 t(h),平均速度为 v(km/h)(汽车行驶速度不超过 100 km/h).根据经验,v,t 的一些对应值如下表:
(1) 根据表中的数据,求出平均速度 v(km/h)关于行驶时间 t(h)的函数表达式;
(2) 汽车上午7:30出发,能否在上午10:00之前到达市场?请说明理由;
(3) 若汽车到达市场的行驶时间 t 满足 $3.5 ≤ t ≤ 4$,求平均速度 v 的取值范围.
(1) 根据表中的数据,求出平均速度 v(km/h)关于行驶时间 t(h)的函数表达式;
(2) 汽车上午7:30出发,能否在上午10:00之前到达市场?请说明理由;
(3) 若汽车到达市场的行驶时间 t 满足 $3.5 ≤ t ≤ 4$,求平均速度 v 的取值范围.
答案
9. 解:(1) 根据表格中数据,可知 $v=\dfrac{k}{t}.\because\ v=75$ 时,$t=4$,$\therefore k=75× 4=300. \therefore\ v=\dfrac{300}{t}$；
(2) 不能,理由如下: $\because\ 10-7.5=2.5(\mathrm{h})$,$\therefore\ t=2.5$ 时,$v=\dfrac{300}{2.5}=120＞100. \therefore$ 汽车上午 7:30 出发,不能在上午10:00之前到达市场；
(3) $\because\ 3.5≤ t≤ 4$,$\therefore\ 75≤ v≤ \dfrac{600}{7}$.
$\therefore$ 平均速度 $v$ 的取值范围是 $75≤ v≤ \dfrac{600}{7}$.
(2) 不能,理由如下: $\because\ 10-7.5=2.5(\mathrm{h})$,$\therefore\ t=2.5$ 时,$v=\dfrac{300}{2.5}=120＞100. \therefore$ 汽车上午 7:30 出发,不能在上午10:00之前到达市场；
(3) $\because\ 3.5≤ t≤ 4$,$\therefore\ 75≤ v≤ \dfrac{600}{7}$.
$\therefore$ 平均速度 $v$ 的取值范围是 $75≤ v≤ \dfrac{600}{7}$.
解析
【分析】
(1) 观察表格中v和t的乘积为定值，可判断v是t的反比例函数，先设反比例函数一般形式$v=\frac{k}{t}$，再代入一组已知的v、t值求出k，即可得到函数表达式；
(2) 先计算上午7:30到10:00的时长，将时长代入函数表达式求出对应行驶速度，和汽车最高限速100km/h比较，若超过限速则无法在规定时间前到达；
(3) 反比例函数k＞0时，v随t的增大而减小，将t的两个边界值代入函数表达式，即可得到v的取值范围，注意不等号方向的变化。
【解析】
解：(1) 由表格数据可知v与t的乘积为定值，因此v是t的反比例函数，设$ v=\frac{k}{t}(k≠0) $。
将$ v=75 $，$ t=4 $代入解析式，得$ k=75×4=300 $，
因此平均速度v关于行驶时间t的函数表达式为$ v=\frac{300}{t} $。
(2) 不能在上午10:00之前到达市场，理由如下：
上午7:30到10:00的时间间隔为$ 10-7.5=2.5(\mathrm{h}) $，
将$ t=2.5 $代入$ v=\frac{300}{t} $，得$ v=\frac{300}{2.5}=120(\mathrm{km/h}) $，
∵ 汽车行驶速度不超过100km/h，$ 120＞100 $，
∴ 汽车上午7:30出发，不能在上午10:00之前到达市场。
(3) 在$ v=\frac{300}{t} $中，$ k=300＞0 $，因此当$ t＞0 $时，v随t的增大而减小，
当$ t=4 $时，$ v=\frac{300}{4}=75 $；
当$ t=3.5 $时，$ v=\frac{300}{3.5}=\frac{600}{7} $，
∵ $ 3.5≤ t≤4 $，
∴ 平均速度v的取值范围为$ 75≤ v≤\frac{600}{7} $。
【答案】
(1) $ v=\dfrac{300}{t} $；
(2) 不能，理由见解析；
(3) $ 75≤ v≤ \dfrac{600}{7} $
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合行程场景考查反比例函数的应用，解题关键是先判断函数类型并求出解析式，再结合实际限制条件和反比例函数的增减性分析问题，需注意求取值范围时不等号的方向变化。
【难度系数】
0.7
(1) 观察表格中v和t的乘积为定值，可判断v是t的反比例函数，先设反比例函数一般形式$v=\frac{k}{t}$，再代入一组已知的v、t值求出k，即可得到函数表达式；
(2) 先计算上午7:30到10:00的时长，将时长代入函数表达式求出对应行驶速度，和汽车最高限速100km/h比较，若超过限速则无法在规定时间前到达；
(3) 反比例函数k＞0时，v随t的增大而减小，将t的两个边界值代入函数表达式，即可得到v的取值范围，注意不等号方向的变化。
【解析】
解：(1) 由表格数据可知v与t的乘积为定值，因此v是t的反比例函数，设$ v=\frac{k}{t}(k≠0) $。
将$ v=75 $，$ t=4 $代入解析式，得$ k=75×4=300 $，
因此平均速度v关于行驶时间t的函数表达式为$ v=\frac{300}{t} $。
(2) 不能在上午10:00之前到达市场，理由如下：
上午7:30到10:00的时间间隔为$ 10-7.5=2.5(\mathrm{h}) $，
将$ t=2.5 $代入$ v=\frac{300}{t} $，得$ v=\frac{300}{2.5}=120(\mathrm{km/h}) $，
∵ 汽车行驶速度不超过100km/h，$ 120＞100 $，
∴ 汽车上午7:30出发，不能在上午10:00之前到达市场。
(3) 在$ v=\frac{300}{t} $中，$ k=300＞0 $，因此当$ t＞0 $时，v随t的增大而减小，
当$ t=4 $时，$ v=\frac{300}{4}=75 $；
当$ t=3.5 $时，$ v=\frac{300}{3.5}=\frac{600}{7} $，
∵ $ 3.5≤ t≤4 $，
∴ 平均速度v的取值范围为$ 75≤ v≤\frac{600}{7} $。
【答案】
(1) $ v=\dfrac{300}{t} $；
(2) 不能，理由见解析；
(3) $ 75≤ v≤ \dfrac{600}{7} $
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合行程场景考查反比例函数的应用，解题关键是先判断函数类型并求出解析式，再结合实际限制条件和反比例函数的增减性分析问题，需注意求取值范围时不等号的方向变化。
【难度系数】
0.7
10. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度$y(°C)$与时间$x(h)$之间的函数关系，其中线段$OB$，$BC$表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分$CD$表示恒温系统关闭阶段。请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少？
（2）求全天的温度$y$与时间$x$之间的函数表达式；
（3）若大棚内的温度低于$10°C$不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少？
（2）求全天的温度$y$与时间$x$之间的函数表达式；
（3）若大棚内的温度低于$10°C$不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
答案
10. 解:(1) 设直线 $OB$ 的函数表达式为:$y=kx$,根据题意,可得 $8=2k.\therefore\ k=4. \therefore$ 直线 $y=4x.\because$ 当 $x=5$ 时,$y=20. \therefore$ 恒定温度为 $20\ °\mathrm{C}$；
(2) 设 $10＜x≤ 24$ 时函数表达式为:$y=\dfrac{m}{x}$,根据题意,可得方程:$20=\dfrac{m}{10}$,$\therefore\ m=200. \therefore$ 函数表达式为:$y=\dfrac{200}{x}(10＜x≤ 24). \therefore$ 全天的温度与时间 $x$ 的函数表达式为 $y=\begin{cases}4x(0≤ x≤5),\\20(5＜x≤10),\\\dfrac{200}{x}(10＜x≤24);\end{cases}$
(3) $\because$ 当 $0≤ x≤ 5$ 时,$10=4x$,$\therefore\ x=2.5.\because$ 当 $10≤ x≤ 24$ 时,$10=\dfrac{200}{x}$,$\therefore\ x=20. \therefore$ 气温低于 $10\ °\mathrm{C}$ 的总时间为 $2.5+(24-20)=6.5(\mathrm{h}). \therefore$ 有利于水果生长的时间:$24-6.5=17.5(\mathrm{h})$.
(2) 设 $10＜x≤ 24$ 时函数表达式为:$y=\dfrac{m}{x}$,根据题意,可得方程:$20=\dfrac{m}{10}$,$\therefore\ m=200. \therefore$ 函数表达式为:$y=\dfrac{200}{x}(10＜x≤ 24). \therefore$ 全天的温度与时间 $x$ 的函数表达式为 $y=\begin{cases}4x(0≤ x≤5),\\20(5＜x≤10),\\\dfrac{200}{x}(10＜x≤24);\end{cases}$
(3) $\because$ 当 $0≤ x≤ 5$ 时,$10=4x$,$\therefore\ x=2.5.\because$ 当 $10≤ x≤ 24$ 时,$10=\dfrac{200}{x}$,$\therefore\ x=20. \therefore$ 气温低于 $10\ °\mathrm{C}$ 的总时间为 $2.5+(24-20)=6.5(\mathrm{h}). \therefore$ 有利于水果生长的时间:$24-6.5=17.5(\mathrm{h})$.
解析
【分析】
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：(1)求恒定温度即求BC段的温度值，先利用点A坐标求出线段OB对应的正比例函数解析式，再代入x=5即可得到恒定温度；(2)分三个区间分别求解析式：0≤x≤5段为正比例函数，可由第一问结果直接得到；5＜x≤10段温度恒定，为常值函数；10＜x≤24段为反比例函数，代入点C坐标即可求得解析式；(3)要计算有利于生长的时间，即温度≥10℃的时长，分别在正比例函数段和反比例函数段求出y=10时对应的x值，再计算符合要求的总时长即可。
【解析】
(1) 设直线OB的函数表达式为$y=kx$，将点$A(2,8)$代入得：$8=2k$，解得$k=4$，即直线OB的解析式为$y=4x$。
当$x=5$时，$y=4×5=20$，因此恒温系统设定的恒定温度为$20\ °\mathrm{C}$。
(2) 分三段讨论函数表达式：
①当$0\le x\le 5$时，函数表达式为$y=4x$；
②当$5＜x\le10$时，温度恒定不变，函数表达式为$y=20$；
③当$10＜x\le24$时，设反比例函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$，将点$C(10,20)$代入得：$20=\dfrac{m}{10}$，解得$m=200$，即该段函数表达式为$y=\dfrac{200}{x}$。
综上可得全天温度$y$与时间$x$的函数表达式。
(3) 求温度等于$10\ °\mathrm{C}$时对应的x值：
①在$0\le x\le5$段，令$4x=10$，解得$x=2.5$，即该段内$0\le x＜2.5$时温度低于$10\ °\mathrm{C}$；
②在$10＜x\le24$段，令$\dfrac{200}{x}=10$，解得$x=20$，即该段内$20＜x\le24$时温度低于$10\ °\mathrm{C}$；
低于$10\ °\mathrm{C}$的总时长为$2.5+(24-20)=6.5(\mathrm{h})$，因此有利于水果生长的时间为$24-6.5=17.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20\ °\mathrm{C}}$；
(2) $\boldsymbol{y=\begin{cases}4x(0\le x\le5)\\20(5＜x\le10)\\\dfrac{200}{x}(10＜x\le24)\end{cases}}$；
(3) $\boldsymbol{17.5}$小时
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题的关键是明确不同自变量区间对应的函数类型，找准对应点坐标代入求解解析式，再结合问题要求代入数值计算即可，属于函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：(1)求恒定温度即求BC段的温度值，先利用点A坐标求出线段OB对应的正比例函数解析式，再代入x=5即可得到恒定温度；(2)分三个区间分别求解析式：0≤x≤5段为正比例函数，可由第一问结果直接得到；5＜x≤10段温度恒定，为常值函数；10＜x≤24段为反比例函数，代入点C坐标即可求得解析式；(3)要计算有利于生长的时间，即温度≥10℃的时长，分别在正比例函数段和反比例函数段求出y=10时对应的x值，再计算符合要求的总时长即可。
【解析】
(1) 设直线OB的函数表达式为$y=kx$，将点$A(2,8)$代入得：$8=2k$，解得$k=4$，即直线OB的解析式为$y=4x$。
当$x=5$时，$y=4×5=20$，因此恒温系统设定的恒定温度为$20\ °\mathrm{C}$。
(2) 分三段讨论函数表达式：
①当$0\le x\le 5$时，函数表达式为$y=4x$；
②当$5＜x\le10$时，温度恒定不变，函数表达式为$y=20$；
③当$10＜x\le24$时，设反比例函数表达式为$y=\dfrac{m}{x}$，将点$C(10,20)$代入得：$20=\dfrac{m}{10}$，解得$m=200$，即该段函数表达式为$y=\dfrac{200}{x}$。
综上可得全天温度$y$与时间$x$的函数表达式。
(3) 求温度等于$10\ °\mathrm{C}$时对应的x值：
①在$0\le x\le5$段，令$4x=10$，解得$x=2.5$，即该段内$0\le x＜2.5$时温度低于$10\ °\mathrm{C}$；
②在$10＜x\le24$段，令$\dfrac{200}{x}=10$，解得$x=20$，即该段内$20＜x\le24$时温度低于$10\ °\mathrm{C}$；
低于$10\ °\mathrm{C}$的总时长为$2.5+(24-20)=6.5(\mathrm{h})$，因此有利于水果生长的时间为$24-6.5=17.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20\ °\mathrm{C}}$；
(2) $\boldsymbol{y=\begin{cases}4x(0\le x\le5)\\20(5＜x\le10)\\\dfrac{200}{x}(10＜x\le24)\end{cases}}$；
(3) $\boldsymbol{17.5}$小时
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题的关键是明确不同自变量区间对应的函数类型，找准对应点坐标代入求解解析式，再结合问题要求代入数值计算即可，属于函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
