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[问题情境]$\sqrt{2}$有多大？如图①，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为$\sqrt{2}$。
[探究过程]
(1)因为$1.4^2=1.96,1.5^2=2.25$，所以$1.4＜\sqrt{2}＜1.5$.设$\sqrt{2}=1.4+x$，将边长为$\sqrt{2}$的正方形分成如图②所示的四部分.由面积公式，可得$x^2+2.8x+1.96=2$，因为$x$值很小，所以$x^2$更小，略去$x^2$，解得$x≈0.014$(精确到0.001)，即$\sqrt{2}≈$
[理解应用]
(2)黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面的探究“$\sqrt{2}$有多大？”的过程，请你写出探究“$\sqrt{5}$有多大？”的过程，然后计算出黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值.(结果均精确到0.001)
[操作实践]
(3)怎样画出$\sqrt{13}$？现有13个边长为1的小正方形，排列成图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼成一个新的大正方形.要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼成的新的大正方形，且大正方形的边长为$\sqrt{13}$.
[探究过程]
(1)因为$1.4^2=1.96,1.5^2=2.25$，所以$1.4＜\sqrt{2}＜1.5$.设$\sqrt{2}=1.4+x$，将边长为$\sqrt{2}$的正方形分成如图②所示的四部分.由面积公式，可得$x^2+2.8x+1.96=2$，因为$x$值很小，所以$x^2$更小，略去$x^2$，解得$x≈0.014$(精确到0.001)，即$\sqrt{2}≈$
1.414
.[理解应用]
(2)黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面的探究“$\sqrt{2}$有多大？”的过程，请你写出探究“$\sqrt{5}$有多大？”的过程，然后计算出黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值.(结果均精确到0.001)
[操作实践]
(3)怎样画出$\sqrt{13}$？现有13个边长为1的小正方形，排列成图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼成一个新的大正方形.要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼成的新的大正方形，且大正方形的边长为$\sqrt{13}$.
答案
[趣味探究]
解:(1)1.414
(2)$\because 2.2^2=4.84$,$2.3^2=5.29$,$\therefore 2.2＜\sqrt{5}＜2.3$,设$\sqrt{5}=2.2+x$.画出示意图
. 由面积公式可得 $x^2+4.4x+4.84=5$.$\because x$ 值很小,$\therefore x^2$ 更小.略去 $x^2$.解方程得 $x≈0.036$(精确到 0.001),即$\sqrt{5}≈2.236$. $\therefore$ 黄金分割数$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$.
(3)如图
,即为所求.解析
【分析】
(1) 已知√2可表示为1.4与x的和，题目已给出x≈0.014，直接将两数相加就能得到√2的近似值。
(2) 仿照估算√2的方法，首先找到两个相邻的一位小数，使它们的平方分别小于、大于5，确定√5的取值范围；再设√5等于较小的小数加x，结合正方形面积的拆分关系列方程，由于x的数值很小，x²可忽略不计，解一元一次方程得到x的近似值，进而求出√5的近似值，最后代入黄金分割数的表达式计算即可。
(3) 13个边长为1的小正方形总面积是13，因此拼成的大正方形面积为13，边长为√13。而√13是直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长，因此沿长3、宽2的矩形对角线分割图形，再拼接即可得到边长为√13的正方形。
【解析】
(1) 由题意得√2=1.4+x，且x≈0.014，因此√2≈1.4+0.014=1.414。
(2) 第一步估算√5的范围：
∵$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，且4.84＜5＜5.29，
∴$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$。
设$\sqrt{5}=2.2+x$（x为很小的正数），则边长为√5的正方形面积为$(2.2+x)^2=5$，展开得：
$x^2+4.4x+4.84=5$。
∵x值很小，$x^2$更小，可以忽略，
∴$4.4x≈5-4.84=0.16$，
解得$x≈0.16÷4.4≈0.036$，
因此$\sqrt{5}≈2.2+0.036=2.236$。
将$\sqrt{5}≈2.236$代入黄金分割数表达式：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\frac{2.236-1}{2}=0.618$。
(3) 分割与拼图结果如下：
【答案】
(1) $\boxed{1.414}$
(2) $\sqrt{5}≈\boxed{2.236}$，黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\boxed{0.618}$，估算过程示意图：
(3)
【知识点】
无理数估算；完全平方公式；图形割补
【点评】
本题将无理数估算和图形操作相结合，既考查了估算无理数大小的方法，又渗透了数形结合的思想，同时锻炼了动手操作能力，题目设置循序渐进，能有效巩固实数相关核心知识。
【难度系数】
0.7
(1) 已知√2可表示为1.4与x的和，题目已给出x≈0.014，直接将两数相加就能得到√2的近似值。
(2) 仿照估算√2的方法，首先找到两个相邻的一位小数，使它们的平方分别小于、大于5，确定√5的取值范围；再设√5等于较小的小数加x，结合正方形面积的拆分关系列方程，由于x的数值很小，x²可忽略不计，解一元一次方程得到x的近似值，进而求出√5的近似值，最后代入黄金分割数的表达式计算即可。
(3) 13个边长为1的小正方形总面积是13，因此拼成的大正方形面积为13，边长为√13。而√13是直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长，因此沿长3、宽2的矩形对角线分割图形，再拼接即可得到边长为√13的正方形。
【解析】
(1) 由题意得√2=1.4+x，且x≈0.014，因此√2≈1.4+0.014=1.414。
(2) 第一步估算√5的范围：
∵$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$，且4.84＜5＜5.29，
∴$2.2＜\sqrt{5}＜2.3$。
设$\sqrt{5}=2.2+x$（x为很小的正数），则边长为√5的正方形面积为$(2.2+x)^2=5$，展开得：
$x^2+4.4x+4.84=5$。
∵x值很小，$x^2$更小，可以忽略，
∴$4.4x≈5-4.84=0.16$，
解得$x≈0.16÷4.4≈0.036$，
因此$\sqrt{5}≈2.2+0.036=2.236$。
将$\sqrt{5}≈2.236$代入黄金分割数表达式：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\frac{2.236-1}{2}=0.618$。
(3) 分割与拼图结果如下：
【答案】
(1) $\boxed{1.414}$
(2) $\sqrt{5}≈\boxed{2.236}$，黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\boxed{0.618}$，估算过程示意图：
(3)
【知识点】
无理数估算；完全平方公式；图形割补
【点评】
本题将无理数估算和图形操作相结合，既考查了估算无理数大小的方法，又渗透了数形结合的思想，同时锻炼了动手操作能力，题目设置循序渐进，能有效巩固实数相关核心知识。
【难度系数】
0.7
