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20.如图,一个底面积为$10π \ \mathrm{cm}^2$的圆柱形物体,现打算把其放进如图的长方体的盒子中,它能放进去吗?为什么?
答案
20.解:该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中. 理由: 设圆柱形物体的底面直径为$d\ \mathrm{cm}$, 则 $π(\dfrac{d}{2})^2=10π$, 且 $d＞0$, $\therefore d=\sqrt{40}$. $\because 6＜\sqrt{40}＜7$, 同时 $2＜5$, $\therefore$ 该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中.
解析
【分析】
要判断圆柱能否放入长方体盒子，只需对比两个核心条件：一是圆柱的底面直径是否小于长方体盒子的长和宽，确保圆柱底面可以平放在盒底；二是圆柱的高度是否小于盒子的高度。解题时先根据圆柱底面积求出底面直径，再估算直径的大小，最后将圆柱的直径、高分别和长方体的长、宽、高对比，即可得出结论。
【解析】
解：设圆柱形物体的底面直径为$d\ \mathrm{cm}$，根据圆柱底面积公式可得：
$π·(\dfrac{d}{2})^2=10π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{d^2}{4}=10$，即$d^2=40$。
因为$d＞0$，所以$d=\sqrt{40}$。
估算$\sqrt{40}$的取值范围：由于$\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，因此$6＜\sqrt{40}＜7$。
对比尺寸：长方体盒子的长为10cm、宽为7cm，均大于$\sqrt{40}\mathrm{cm}$，圆柱底面可放入盒底；圆柱的高为2cm，小于盒子的高5cm，高度符合要求。
综上可得该圆柱形物体可以放进长方体盒子中。
【答案】
该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中。理由: 设圆柱形物体的底面直径为$d\ \mathrm{cm}$, 则 $π(\dfrac{d}{2})^2=10π$, 且 $d＞0$, $\therefore d=\sqrt{40}$。 $\because 6＜\sqrt{40}＜7$, 同时 $2＜5$, $\therefore$ 该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中。
【知识点】
圆柱底面积计算、无理数估算、实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查知识的应用能力，需要将实际放置问题转化为数学尺寸比较问题，解题关键是正确求出圆柱底面直径并准确估算无理数的取值范围，再逐一对比对应尺寸即可。
【难度系数】
0.7
要判断圆柱能否放入长方体盒子，只需对比两个核心条件：一是圆柱的底面直径是否小于长方体盒子的长和宽，确保圆柱底面可以平放在盒底；二是圆柱的高度是否小于盒子的高度。解题时先根据圆柱底面积求出底面直径，再估算直径的大小，最后将圆柱的直径、高分别和长方体的长、宽、高对比，即可得出结论。
【解析】
解：设圆柱形物体的底面直径为$d\ \mathrm{cm}$，根据圆柱底面积公式可得：
$π·(\dfrac{d}{2})^2=10π$
两边同时除以$π$得：$\dfrac{d^2}{4}=10$，即$d^2=40$。
因为$d＞0$，所以$d=\sqrt{40}$。
估算$\sqrt{40}$的取值范围：由于$\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，因此$6＜\sqrt{40}＜7$。
对比尺寸：长方体盒子的长为10cm、宽为7cm，均大于$\sqrt{40}\mathrm{cm}$，圆柱底面可放入盒底；圆柱的高为2cm，小于盒子的高5cm，高度符合要求。
综上可得该圆柱形物体可以放进长方体盒子中。
【答案】
该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中。理由: 设圆柱形物体的底面直径为$d\ \mathrm{cm}$, 则 $π(\dfrac{d}{2})^2=10π$, 且 $d＞0$, $\therefore d=\sqrt{40}$。 $\because 6＜\sqrt{40}＜7$, 同时 $2＜5$, $\therefore$ 该圆柱形物体可以放进长方体的盒子中。
【知识点】
圆柱底面积计算、无理数估算、实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查知识的应用能力，需要将实际放置问题转化为数学尺寸比较问题，解题关键是正确求出圆柱底面直径并准确估算无理数的取值范围，再逐一对比对应尺寸即可。
【难度系数】
0.7
21.已知$5+\sqrt{11}$的小数部分为$a$，$5-\sqrt{11}$的小数部分为$b$，求$a+b$和$a-b$的值。
答案
21.解:$\because 3＜\sqrt{11}＜4$,$\therefore 8＜5+\sqrt{11}＜9$. $\therefore a=5+\sqrt{11}-8=\sqrt{11}-3$, 同理 $b=4-\sqrt{11}$.
$\therefore a+b=\sqrt{11}-3+4-\sqrt{11}=1$,$a-b=(\sqrt{11}-3)-(4-\sqrt{11})=2\sqrt{11}-7$.
$\therefore a+b=\sqrt{11}-3+4-\sqrt{11}=1$,$a-b=(\sqrt{11}-3)-(4-\sqrt{11})=2\sqrt{11}-7$.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确：一个数的小数部分等于这个数减去它的整数部分，结果为大于等于0且小于1的数。解题第一步用“夹逼法”估算出$\sqrt{11}$的整数范围，再分别推导$5+\sqrt{11}$、$5-\sqrt{11}$的整数部分，进而求出$a$和$b$的表达式，最后代入代数式计算$a+b$和$a-b$即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore 8＜5+\sqrt{11}＜9$，即$5+\sqrt{11}$的整数部分是8，
$\therefore a=5+\sqrt{11}-8=\sqrt{11}-3$；
又$\because -4＜-\sqrt{11}＜-3$，
$\therefore 1＜5-\sqrt{11}＜2$，即$5-\sqrt{11}$的整数部分是1，
$\therefore b=5-\sqrt{11}-1=4-\sqrt{11}$；
则$a+b=(\sqrt{11}-3)+(4-\sqrt{11})=1$；
$a-b=(\sqrt{11}-3)-(4-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3-4+\sqrt{11}=2\sqrt{11}-7$。
【答案】
$a+b=1$，$a-b=2\sqrt{11}-7$
【知识点】
无理数的估算，实数的加减运算
【点评】
本题是实数章节的典型题型，核心考查无理数小数部分的求解方法，解题关键是利用夹逼法确定无理数的整数范围，进而得到含无理数的代数式的整数部分，求出小数后代入计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确：一个数的小数部分等于这个数减去它的整数部分，结果为大于等于0且小于1的数。解题第一步用“夹逼法”估算出$\sqrt{11}$的整数范围，再分别推导$5+\sqrt{11}$、$5-\sqrt{11}$的整数部分，进而求出$a$和$b$的表达式，最后代入代数式计算$a+b$和$a-b$即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore 8＜5+\sqrt{11}＜9$，即$5+\sqrt{11}$的整数部分是8，
$\therefore a=5+\sqrt{11}-8=\sqrt{11}-3$；
又$\because -4＜-\sqrt{11}＜-3$，
$\therefore 1＜5-\sqrt{11}＜2$，即$5-\sqrt{11}$的整数部分是1，
$\therefore b=5-\sqrt{11}-1=4-\sqrt{11}$；
则$a+b=(\sqrt{11}-3)+(4-\sqrt{11})=1$；
$a-b=(\sqrt{11}-3)-(4-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3-4+\sqrt{11}=2\sqrt{11}-7$。
【答案】
$a+b=1$，$a-b=2\sqrt{11}-7$
【知识点】
无理数的估算，实数的加减运算
【点评】
本题是实数章节的典型题型，核心考查无理数小数部分的求解方法，解题关键是利用夹逼法确定无理数的整数范围，进而得到含无理数的代数式的整数部分，求出小数后代入计算即可。
【难度系数】
0.7
22.如图，a，b，c分别是数轴上三个点A，B，C所表示的实数.试化简：$\sqrt{c^2}+|a+b|+\sqrt[3]{(a+b)^3}-|b - c|$. 
答案
22.解:由数轴可得 $c＞0$,$a+b＜0$,$b-c＜0$,
$\therefore$ 原式$=c-a-b+(a+b)+(b-c)=b$.
$\therefore$ 原式$=c-a-b+(a+b)+(b-c)=b$.
解析
【分析】
首先根据数轴上右边的数总大于左边的数，判断出a、b、c的大小关系，进而确定待化简式中各部分的符号；再结合算术平方根的性质（$\sqrt{x^2}=|x|$）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）、立方根的性质（$\sqrt[3]{x^3}=x$），分别化简每一项，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，
$\therefore c＞0$，$a+b＜0$，$b-c＜0$，
根据相关性质化简各项：
$\sqrt{c^2}=|c|=c$，
$|a+b|=-(a+b)=-a-b$，
$\sqrt[3]{(a+b)^3}=a+b$，
$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=c + (-a - b) + (a + b) - (c - b)\\&=c -a -b +a +b -c +b\\&=b\end{aligned}$
【答案】
$b$
【知识点】
数轴与实数大小，绝对值化简，根式的性质
【点评】
本题是实数化简的典型题，需要结合数轴判断代数式的正负，再灵活运用绝对值、算术平方根、立方根的相关性质进行化简，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上右边的数总大于左边的数，判断出a、b、c的大小关系，进而确定待化简式中各部分的符号；再结合算术平方根的性质（$\sqrt{x^2}=|x|$）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）、立方根的性质（$\sqrt[3]{x^3}=x$），分别化简每一项，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，
$\therefore c＞0$，$a+b＜0$，$b-c＜0$，
根据相关性质化简各项：
$\sqrt{c^2}=|c|=c$，
$|a+b|=-(a+b)=-a-b$，
$\sqrt[3]{(a+b)^3}=a+b$，
$|b-c|=-(b-c)=c-b$，
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=c + (-a - b) + (a + b) - (c - b)\\&=c -a -b +a +b -c +b\\&=b\end{aligned}$
【答案】
$b$
【知识点】
数轴与实数大小，绝对值化简，根式的性质
【点评】
本题是实数化简的典型题，需要结合数轴判断代数式的正负，再灵活运用绝对值、算术平方根、立方根的相关性质进行化简，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
23. 如图,小明设计了一种程序图,根据程序图解决下列问题.
(1)当$x=64$时,输出的$y$的值为
(2)当输出的$y$的值为$\sqrt[3]{2}$时,输入的$x$的值可以是
(3)小明输入$x$的值后,发现得不到$y$的值,你能解释其中的原因吗？
(1)当$x=64$时,输出的$y$的值为
$\sqrt[3]{4}$
.(2)当输出的$y$的值为$\sqrt[3]{2}$时,输入的$x$的值可以是
2或8(答案不唯一)
.(填写两个不同的$x$的值)(3)小明输入$x$的值后,发现得不到$y$的值,你能解释其中的原因吗？
答案
23.解:(1)$\sqrt[3]{4}$
(2)2 或 8(答案不唯一)
(3)$\because 1$ 的立方根永远是 1,$-1$ 的立方根永远是$-1$,$0$ 的立方根永远是 $0$,$\therefore$ 小明输入 $x$的值是 1 或$-1$ 或 0,就永远得不到 $y$ 的值.
(2)2 或 8(答案不唯一)
(3)$\because 1$ 的立方根永远是 1,$-1$ 的立方根永远是$-1$,$0$ 的立方根永远是 $0$,$\therefore$ 小明输入 $x$的值是 1 或$-1$ 或 0,就永远得不到 $y$ 的值.
解析
【分析】
解题首先要明确程序的运算逻辑：输入x后先计算它的立方根，判断该立方根是否为无理数，若是则直接输出结果；若不是，则将这个立方根作为新的x重新输入计算，直到得到无理数才输出。
(1) 对于x=64，按照流程逐步计算即可；
(2) 输出为$\sqrt[3]{2}$时可逆向推导：若第一次计算就得到$\sqrt[3]{2}$，可直接求出对应x；若第一次计算得到的是有理数，再次输入后才得到$\sqrt[3]{2}$，可进一步往前推对应x的值；
(3) 得不到y的值说明每次计算立方根的结果都是有理数，进入无限循环，找出立方根等于本身的有理数即可。
【解析】
(1) 当x=64时，先计算立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，4是有理数，因此将4作为新的输入值再次计算；
计算$\sqrt[3]{4}$，$\sqrt[3]{4}$是无理数，因此输出y的值为$\sqrt[3]{4}$。
(2) 若输出y=$\sqrt[3]{2}$：
① 若第一次计算立方根就得到$\sqrt[3]{2}$，则$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{2}$，解得x=2；
② 若第一次计算立方根得到的是有理数2，将2输入后得到$\sqrt[3]{2}$，则$\sqrt[3]{x}=2$，解得$x=2^3=8$；
因此输入的x可以是2或8（合理即可）。
(3) 因为0的立方根是0，1的立方根是1，-1的立方根是-1，这三个数的立方根都等于本身，且都是有理数。若输入的x是0、1或-1，每次计算立方根的结果都是自身，永远是有理数，无法满足输出条件，因此得不到y的值。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{4}$
(2)2或8（答案不唯一）
(3)当输入的x为1、-1或0时，它们的立方根都是本身，且均为有理数，永远无法满足输出条件，因此得不到y的值。
【知识点】
立方根的运算；无理数的判定；程序流程图逻辑
【点评】
本题结合程序流程图考查实数的相关运算与概念，既需要正向按照流程计算，也需要逆向推导多解情况，同时要注意0、±1这几个特殊数的立方根性质，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确程序的运算逻辑：输入x后先计算它的立方根，判断该立方根是否为无理数，若是则直接输出结果；若不是，则将这个立方根作为新的x重新输入计算，直到得到无理数才输出。
(1) 对于x=64，按照流程逐步计算即可；
(2) 输出为$\sqrt[3]{2}$时可逆向推导：若第一次计算就得到$\sqrt[3]{2}$，可直接求出对应x；若第一次计算得到的是有理数，再次输入后才得到$\sqrt[3]{2}$，可进一步往前推对应x的值；
(3) 得不到y的值说明每次计算立方根的结果都是有理数，进入无限循环，找出立方根等于本身的有理数即可。
【解析】
(1) 当x=64时，先计算立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，4是有理数，因此将4作为新的输入值再次计算；
计算$\sqrt[3]{4}$，$\sqrt[3]{4}$是无理数，因此输出y的值为$\sqrt[3]{4}$。
(2) 若输出y=$\sqrt[3]{2}$：
① 若第一次计算立方根就得到$\sqrt[3]{2}$，则$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{2}$，解得x=2；
② 若第一次计算立方根得到的是有理数2，将2输入后得到$\sqrt[3]{2}$，则$\sqrt[3]{x}=2$，解得$x=2^3=8$；
因此输入的x可以是2或8（合理即可）。
(3) 因为0的立方根是0，1的立方根是1，-1的立方根是-1，这三个数的立方根都等于本身，且都是有理数。若输入的x是0、1或-1，每次计算立方根的结果都是自身，永远是有理数，无法满足输出条件，因此得不到y的值。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{4}$
(2)2或8（答案不唯一）
(3)当输入的x为1、-1或0时，它们的立方根都是本身，且均为有理数，永远无法满足输出条件，因此得不到y的值。
【知识点】
立方根的运算；无理数的判定；程序流程图逻辑
【点评】
本题结合程序流程图考查实数的相关运算与概念，既需要正向按照流程计算，也需要逆向推导多解情况，同时要注意0、±1这几个特殊数的立方根性质，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
