20. 超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,,观测点设在到迎泽大街(直线AO)的距离(线段PO的长)为120米的点P处.这时,一辆小轿车由点A向点O匀速行驶,测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒,且$∠ APO=60°$,$∠ BPO=45°$.(参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732$)
(1)求点A,B之间的距离(精确到0.1米);
(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度,并说明理由.

20.[解](1)在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$∠ APO=60°$，
所以$∠ PAO=30°.$
因为$PO=120$米，
所以$AP=2PO=240$(米).
根据勾股定理，
得$AO=\sqrt{AP^2-PO^2}=120\sqrt{3}$(米).
在$\mathrm{Rt}△ BPO$中，$∠ BPO=45°$，
所以$∠ PBO=45°$，
所以$BO=PO=120$米，
所以$AB=AO-BO=120\sqrt{3}-120\approx87.8$(米).
即点A,B之间的距离约为87.8米.
(2)超过了.理由如下：
车速为$\frac{87.8}{5}=17.56$(米/秒)，
限速为$\frac{60×1000}{3600}\approx16.67$(米/秒).
因为$17.56＞16.67$，
所以此车超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度.

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：(1)要求AB的距离，观察图形可知$AB=AO-BO$，因此只需分别求出AO、BO的长度即可。已知$PO⊥AO$，$△ APO$和$△ BPO$都是直角三角形，结合已知的$∠APO=60°$、$∠BPO=45°$以及$PO=120$米，利用特殊直角三角形的性质和勾股定理就能分别求出AO和BO，作差得到AB的长度。(2)判断是否超速，需要先计算出小轿车的行驶速度，再将限速的单位换算为和车速一致的单位（米/秒），比较两者大小即可得出结论，注意换算时要统一单位。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$∠ APO=60°$，
所以$∠ PAO=30°.$
因为$PO=120$米，
所以$AP=2PO=240$(米).
根据勾股定理，
得$AO=\sqrt{AP^2-PO^2}=120\sqrt{3}$(米).
在$\mathrm{Rt}△ BPO$中，$∠ BPO=45°$，
所以$∠ PBO=45°$，
所以$BO=PO=120$米，
所以$AB=AO-BO=120\sqrt{3}-120\approx87.8$(米).
(2) 此车超过了限制速度，理由如下：
车速为$\frac{87.8}{5}=17.56$(米/秒)，
限速为$\frac{60×1000}{3600}\approx16.67$(米/秒).
因为$17.56＞16.67$，
所以此车超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度。
【答案】
(1) 点A、B之间的距离约为87.8米；
(2) 此车超过了每小时60千米的限制速度。
【知识点】
特殊直角三角形性质，勾股定理，速度单位换算
【点评】
本题结合交通安全的实际场景考查数学知识的应用，解题的关键是从图形中提取直角三角形模型，利用特殊角的性质求解线段长度，同时要注意速度单位的统一换算，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=2x+2$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$,$B$,一次函数$y=-x+5$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$,$D$,这两个函数图象交于点$P$.

(1)求点$P$坐标；
(2)求$△ PBC$的面积；
(3)设点$E$在$x$轴上,且与点$C$,$D$构成等腰三角形,请写出所有符合条件的点$E$的坐标.

21.[解](1)由题意，得$\begin{cases}y=2x+2,\\y=-x+5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=4,\end{cases}$
所以点P的坐标为$(1,4).$
(2)因为一次函数$y=2x+2$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B，
所以点$A(-1,0),B(0,2)$，所以$OA=1,OB=2.$
因为一次函数$y=-x+5$的图象与x轴交于点C，所以点$C(5,0)$，
所以$OC=5$，所以$AC=6$，
所以$S_{△ PBC}=S_{△ PAC}-S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=6.$
(3)因为一次函数$y=-x+5$的图象与y轴交于点D，
所以点$D(0,5)$，所以$OD=5.$
由(2)知$OC=5$，
所以$CD=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}.$
当$DE=CE$时，点E与原点重合，即$E(0,0)$；
当$DE=DC=5\sqrt{2}$时，$EO=\sqrt{DE^2-DO^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-5^2}=5$，即$E(-5,0)$；
当$DC=CE=5\sqrt{2}$时，$EO=5\sqrt{2}-5$或$5+5\sqrt{2}$，即$E(5-5\sqrt{2},0)$或$(5+5\sqrt{2},0).$
所以符合条件的点E的坐标为$(0,0)$或$(-5,0)$或$(5-5\sqrt{2},0)$或$(5+5\sqrt{2},0).$

【分析】
(1) 两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个一次函数的表达式，解二元一次方程组即可得到点P的坐标。
(2) 直接求△PBC的面积不容易找到对应底和高，可采用割补法：先求出A、B、C三点坐标，计算△PAC和△ABC的面积，二者的差就是△PBC的面积，两个三角形同底为AC，高分别为点P、点B的纵坐标长度。
(3) 首先求出D点坐标，算出CD的长度，等腰三角形需分三类讨论：①DE=CE，②DE=DC，③DC=CE，结合x轴上点的坐标特征（纵坐标为0）和勾股定理分别计算对应E点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 联立两个一次函数的解析式，得：
$\begin{cases}y=2x+2\\y=-x+5\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，即点P的坐标为$(1,4)$。
(2) 对于一次函数$y=2x+2$，令$y=0$，解得$x=-1$，即$A(-1,0)$；令$x=0$，解得$y=2$，即$B(0,2)$。
对于一次函数$y=-x+5$，令$y=0$，解得$x=5$，即$C(5,0)$。
可得$AC=5-(-1)=6$，
$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}× AC× y_P=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× y_B=\frac{1}{2}×6×2=6$，
因此$S_{△ PBC}=S_{△ PAC}-S_{△ ABC}=12-6=6$。
(3) 对于一次函数$y=-x+5$，令$x=0$，解得$y=5$，即$D(0,5)$。
在Rt△COD中，由勾股定理得$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，设点E坐标为$(e,0)$，分三类讨论：
① 当$DE=CE$时，CD的垂直平分线与x轴的交点为原点，即$e=0$，得$E(0,0)$；
② 当$DE=DC=5\sqrt{2}$时，在Rt△DOE中，$OE=\sqrt{DE^2-OD^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-5^2}=5$，E在O左侧时$e=-5$，得$E(-5,0)$，E在O右侧为点C，无法构成三角形，舍去；
③ 当$DC=CE=5\sqrt{2}$时，$|e-5|=5\sqrt{2}$，解得$e=5+5\sqrt{2}$或$e=5-5\sqrt{2}$，即$E(5+5\sqrt{2},0)$或$(5-5\sqrt{2},0)$。
【答案】
(1) $P(1,4)$
(2) $△ PBC$的面积为$6$
(3) 符合条件的点E的坐标为$(0,0)$、$(-5,0)$、$(5-5\sqrt{2},0)$、$(5+5\sqrt{2},0)$
【知识点】
一次函数交点求解，坐标系面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问属于基础题型，第三问需要结合等腰三角形的性质分类讨论，避免漏解，对逻辑的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6