登录
22.小明从某市场得知如下信息：
|商品|甲商品|乙商品|
|----|----|----|
|进价单价/元|
35|5|
|售价单价/元|45|8|
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售.设小明购进甲商品x件,甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)小明用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品,求x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元,请说明小明有哪些可行的进货方案,并计算哪种进货方案的利润最大.
|商品|甲商品|乙商品|
|----|----|----|
|进价单价/元|
35|5||售价单价/元|45|8|
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售.设小明购进甲商品x件,甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)小明用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品,求x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元,请说明小明有哪些可行的进货方案,并计算哪种进货方案的利润最大.
答案
22.[解](1)因为小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，购进甲商品x件，则购进乙商品$(100-x)$件，
所以甲商品利润为$(45-35)x=10x$，乙商品利润为$(100-x)(8-5)=300-3x.$
因为甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元，
所以$y=10x+(300-3x)=7x+300.$
(2)因为用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品，
所以$35x+5(100-x)≤2000$，
所以$x≤50$，
又因为$x≥0$，
所以$0≤ x≤50.$
(3)因为甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，
所以$7x+300≥632.5$，
所以$x≥47.5$，
由(2)可知$0≤ x≤50$，
所以$47.5≤ x≤50$，
因为x为整数，
所以$x=48,49,50$，
所以进货方案有：
甲商品进48件，乙商品进52件；
甲商品进49件，乙商品进51件；
甲商品进50件，乙商品进50件.
因为$y=7x+300,7＞0$，
所以y随x的增大而增大，
所以当$x=50$时，y取得最大值.
所以当甲商品进50件，乙商品进50件时，利润最大.
所以甲商品利润为$(45-35)x=10x$，乙商品利润为$(100-x)(8-5)=300-3x.$
因为甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元，
所以$y=10x+(300-3x)=7x+300.$
(2)因为用不超过2000元资金一次性购进甲、乙两种商品，
所以$35x+5(100-x)≤2000$，
所以$x≤50$，
又因为$x≥0$，
所以$0≤ x≤50.$
(3)因为甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，
所以$7x+300≥632.5$，
所以$x≥47.5$，
由(2)可知$0≤ x≤50$，
所以$47.5≤ x≤50$，
因为x为整数，
所以$x=48,49,50$，
所以进货方案有：
甲商品进48件，乙商品进52件；
甲商品进49件，乙商品进51件；
甲商品进50件，乙商品进50件.
因为$y=7x+300,7＞0$，
所以y随x的增大而增大，
所以当$x=50$时，y取得最大值.
所以当甲商品进50件，乙商品进50件时，利润最大.
解析
【分析】
（1）求y与x的函数关系式时，先明确总利润=甲商品总利润+乙商品总利润。先计算单件甲、乙商品的利润，结合甲购进x件、总数量100件得到乙的购进数量，两者利润相加即可得到关系式。
（2）资金不超过2000元即总进价≤2000元，根据甲、乙的进价和购进数量列不等式求解，同时结合购进数量非负的实际要求，就能得到x的取值范围。
（3）利润不少于632.5元即y≥632.5，代入第一问的函数关系式列不等式，结合第二问的x范围，再根据商品数量为整数的要求得到x的可取数值，即可列出所有进货方案；再根据一次函数的增减性判断x取何值时利润最大，得到最优方案。
【解析】
(1) 已知购进甲商品x件，甲、乙商品共100件，则购进乙商品$(100-x)$件。
每件甲商品利润为$45-35=10$元，每件乙商品利润为$8-5=3$元。
总利润为甲、乙商品利润之和，因此：
$y=10x + 3(100-x) = 7x + 300$
(2) 总进货资金不超过2000元，列不等式：
$35x + 5(100-x) ≤ 2000$
化简得$30x ≤1500$，解得$x ≤50$
结合购进数量非负的要求$x≥0$，因此x的取值范围为$0≤x≤50$。
(3) 由利润不少于632.5元，得：
$7x + 300 ≥ 632.5$
解得$x≥47.5$
结合(2)的范围$0≤x≤50$，可得$47.5≤x≤50$。
因为x为商品数量，需为整数，因此x可取48、49、50，对应进货方案：
①购进甲商品48件，乙商品52件；
②购进甲商品49件，乙商品51件；
③购进甲商品50件，乙商品50件。
函数$y=7x+300$中，$7＞0$，y随x的增大而增大，因此$x=50$时y取得最大值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=7x+300}$
(2) $\boldsymbol{0≤x≤50}$
(3) 可行进货方案共3种：①甲商品48件，乙商品52件；②甲商品49件，乙商品51件；③甲商品50件，乙商品50件；其中购进甲商品50件、乙商品50件时利润最大。
【知识点】
一次函数实际应用；一元一次不等式应用；方案优化
【点评】
本题是贴近实际的销售类综合题，考察了函数建模、不等式求解的能力，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值限制，再利用一次函数增减性判断最优方案，整体侧重基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
（1）求y与x的函数关系式时，先明确总利润=甲商品总利润+乙商品总利润。先计算单件甲、乙商品的利润，结合甲购进x件、总数量100件得到乙的购进数量，两者利润相加即可得到关系式。
（2）资金不超过2000元即总进价≤2000元，根据甲、乙的进价和购进数量列不等式求解，同时结合购进数量非负的实际要求，就能得到x的取值范围。
（3）利润不少于632.5元即y≥632.5，代入第一问的函数关系式列不等式，结合第二问的x范围，再根据商品数量为整数的要求得到x的可取数值，即可列出所有进货方案；再根据一次函数的增减性判断x取何值时利润最大，得到最优方案。
【解析】
(1) 已知购进甲商品x件，甲、乙商品共100件，则购进乙商品$(100-x)$件。
每件甲商品利润为$45-35=10$元，每件乙商品利润为$8-5=3$元。
总利润为甲、乙商品利润之和，因此：
$y=10x + 3(100-x) = 7x + 300$
(2) 总进货资金不超过2000元，列不等式：
$35x + 5(100-x) ≤ 2000$
化简得$30x ≤1500$，解得$x ≤50$
结合购进数量非负的要求$x≥0$，因此x的取值范围为$0≤x≤50$。
(3) 由利润不少于632.5元，得：
$7x + 300 ≥ 632.5$
解得$x≥47.5$
结合(2)的范围$0≤x≤50$，可得$47.5≤x≤50$。
因为x为商品数量，需为整数，因此x可取48、49、50，对应进货方案：
①购进甲商品48件，乙商品52件；
②购进甲商品49件，乙商品51件；
③购进甲商品50件，乙商品50件。
函数$y=7x+300$中，$7＞0$，y随x的增大而增大，因此$x=50$时y取得最大值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=7x+300}$
(2) $\boldsymbol{0≤x≤50}$
(3) 可行进货方案共3种：①甲商品48件，乙商品52件；②甲商品49件，乙商品51件；③甲商品50件，乙商品50件；其中购进甲商品50件、乙商品50件时利润最大。
【知识点】
一次函数实际应用；一元一次不等式应用；方案优化
【点评】
本题是贴近实际的销售类综合题，考察了函数建模、不等式求解的能力，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值限制，再利用一次函数增减性判断最优方案，整体侧重基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
03综合实践
知识实践之旅
同学们，我们学习的数学知识如同散落各处的智慧拼图，每一块都蕴含着独特的力量！当你用二次根式计算手工制作材料的精确用量、借助勾股定理测量庭院树木的高度、通过平行四边形性质设计可变形的收纳架、用一次函数分析暑期阅读量变化趋势、用数据统计为家庭开支“把脉”时，数学便不再是课本上的符号，而是解决实际问题的超能力。这个暑假，快化身“数学探险家”，开启跨知识领域的挑战，感受知识融合的无限乐趣！
1. 测量家中长方形餐桌的长与宽，用勾股定理算出对角线长度；
2. 统计一周的饮食消费数据，绘制折线图分析消费规律；
3. 利用平行四边形的不稳定性，动手制作一个可伸缩的笔筒；
4. 结合一次函数，预测不同阅读时长下的书籍阅读进度。
知识实践之旅
同学们，我们学习的数学知识如同散落各处的智慧拼图，每一块都蕴含着独特的力量！当你用二次根式计算手工制作材料的精确用量、借助勾股定理测量庭院树木的高度、通过平行四边形性质设计可变形的收纳架、用一次函数分析暑期阅读量变化趋势、用数据统计为家庭开支“把脉”时，数学便不再是课本上的符号，而是解决实际问题的超能力。这个暑假，快化身“数学探险家”，开启跨知识领域的挑战，感受知识融合的无限乐趣！
1. 测量家中长方形餐桌的长与宽，用勾股定理算出对角线长度；
2. 统计一周的饮食消费数据，绘制折线图分析消费规律；
3. 利用平行四边形的不稳定性，动手制作一个可伸缩的笔筒；
4. 结合一次函数，预测不同阅读时长下的书籍阅读进度。
答案
解：
1. 测量计算实例：
实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，长方形四个内角均为直角，根据勾股定理，对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 消费统计实例：
一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。
以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，可得消费规律：工作日日均饮食消费约38元，消费波动较小；周末外出就餐频次高，饮食消费显著高于工作日，整体呈现工作日低平、周末抬升的变化趋势。
3. 可伸缩笔筒制作实例：
① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；
② 取4根长度一致的短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；
③ 在机构上下两个平行四边形的内侧分别粘贴适配的圆形硬纸板作为笔筒的底和活动托板，外侧包裹装饰防水纸，利用平行四边形的不稳定性，拉动侧边即可自由调整笔筒的高度，实现伸缩功能。
4. 阅读进度预测实例：
设某本书籍总页数为300页，实测每阅读1小时可读完20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，设一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。
代入不同时长预测：阅读3小时时，已读60页；阅读7.5小时时，已读150页（完成一半阅读进度）；阅读15小时时，可读完整本书。
1. 测量计算实例：
实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，长方形四个内角均为直角，根据勾股定理，对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 消费统计实例：
一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。
以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，可得消费规律：工作日日均饮食消费约38元，消费波动较小；周末外出就餐频次高，饮食消费显著高于工作日，整体呈现工作日低平、周末抬升的变化趋势。
3. 可伸缩笔筒制作实例：
① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；
② 取4根长度一致的短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；
③ 在机构上下两个平行四边形的内侧分别粘贴适配的圆形硬纸板作为笔筒的底和活动托板，外侧包裹装饰防水纸，利用平行四边形的不稳定性，拉动侧边即可自由调整笔筒的高度，实现伸缩功能。
4. 阅读进度预测实例：
设某本书籍总页数为300页，实测每阅读1小时可读完20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，设一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。
代入不同时长预测：阅读3小时时，已读60页；阅读7.5小时时，已读150页（完成一半阅读进度）；阅读15小时时，可读完整本书。
解析
【分析】
本题属于数学综合实践类题目，考查知识点的实际应用能力，四个任务的解题思路如下：
1. 计算餐桌对角线：长方形的内角均为直角，因此长、宽、对角线可构成直角三角形，先实际测量得到长与宽的数值，再代入勾股定理公式即可计算对角线长度；
2. 分析饮食消费规律：先连续收集一周的每日饮食消费数据，再按照折线图的绘制规范，以日期为横轴、消费金额为纵轴描点连线得到折线图，通过观察折线的波动特征总结消费规律；
3. 制作可伸缩笔筒：核心是利用平行四边形的不稳定性，通过铰接等长硬纸条制作可变形的平行四边形联动结构，加装底座、托板和装饰即可实现伸缩功能；
4. 预测阅读进度：阅读页数和阅读时长呈正比例一次函数关系，先实测得到单位时长的阅读页数，确定一次函数的解析式，再代入不同的阅读时长即可得到对应阅读进度。
【解析】
结合实际操作给出参考解题过程：
1. 餐桌对角线计算：实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，根据勾股定理（直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和），对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 饮食消费统计：记录一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，观察折线变化可得：工作日日均饮食消费约38元，波动较小；周末外出就餐多，消费明显高于工作日，整体呈现工作日平稳、周末升高的趋势。
3. 可伸缩笔筒制作：① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；② 取4根等长短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；③ 在机构上下平行四边形内侧分别粘贴适配圆形硬纸板作为笔筒底和活动托板，外侧包裹防水装饰纸，拉动侧边即可利用平行四边形不稳定性调整笔筒高度，实现伸缩。
4. 阅读进度预测：设某本书总页数为300页，实测每小时可读20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。代入不同时长可得：阅读3小时读60页；阅读7.5小时读150页，完成一半；阅读15小时读完全书。
【答案】
解：
1. 测量计算实例：
实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，长方形四个内角均为直角，根据勾股定理，对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 消费统计实例：
一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。
以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，可得消费规律：工作日日均饮食消费约38元，消费波动较小；周末外出就餐频次高，饮食消费显著高于工作日，整体呈现工作日低平、周末抬升的变化趋势。
3. 可伸缩笔筒制作实例：
① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；
② 取4根长度一致的短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；
③ 在机构上下两个平行四边形的内侧分别粘贴适配的圆形硬纸板作为笔筒的底和活动托板，外侧包裹装饰防水纸，利用平行四边形的不稳定性，拉动侧边即可自由调整笔筒的高度，实现伸缩功能。
4. 阅读进度预测实例：
设某本书籍总页数为300页，实测每阅读1小时可读完20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，设一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。
代入不同时长预测：阅读3小时时，已读60页；阅读7.5小时时，已读150页（完成一半阅读进度）；阅读15小时时，可读完整本书。
【知识点】
勾股定理应用、一次函数建模、统计数据整理
【点评】
本题打破了课本知识和生活场景的壁垒，将基础数学知识融入到测量、制作、数据分析等实际操作中，既可以巩固所学知识点，也能锻炼动手能力、逻辑分析能力和知识迁移应用能力，充分体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
本题属于数学综合实践类题目，考查知识点的实际应用能力，四个任务的解题思路如下：
1. 计算餐桌对角线：长方形的内角均为直角，因此长、宽、对角线可构成直角三角形，先实际测量得到长与宽的数值，再代入勾股定理公式即可计算对角线长度；
2. 分析饮食消费规律：先连续收集一周的每日饮食消费数据，再按照折线图的绘制规范，以日期为横轴、消费金额为纵轴描点连线得到折线图，通过观察折线的波动特征总结消费规律；
3. 制作可伸缩笔筒：核心是利用平行四边形的不稳定性，通过铰接等长硬纸条制作可变形的平行四边形联动结构，加装底座、托板和装饰即可实现伸缩功能；
4. 预测阅读进度：阅读页数和阅读时长呈正比例一次函数关系，先实测得到单位时长的阅读页数，确定一次函数的解析式，再代入不同的阅读时长即可得到对应阅读进度。
【解析】
结合实际操作给出参考解题过程：
1. 餐桌对角线计算：实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，根据勾股定理（直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和），对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 饮食消费统计：记录一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，观察折线变化可得：工作日日均饮食消费约38元，波动较小；周末外出就餐多，消费明显高于工作日，整体呈现工作日平稳、周末升高的趋势。
3. 可伸缩笔筒制作：① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；② 取4根等长短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；③ 在机构上下平行四边形内侧分别粘贴适配圆形硬纸板作为笔筒底和活动托板，外侧包裹防水装饰纸，拉动侧边即可利用平行四边形不稳定性调整笔筒高度，实现伸缩。
4. 阅读进度预测：设某本书总页数为300页，实测每小时可读20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。代入不同时长可得：阅读3小时读60页；阅读7.5小时读150页，完成一半；阅读15小时读完全书。
【答案】
解：
1. 测量计算实例：
实际测得家中长方形餐桌长为120cm，宽为70cm，长方形四个内角均为直角，根据勾股定理，对角线长度为：
$l=\sqrt{120^2 + 70^2}=\sqrt{14400+4900}=\sqrt{19300}=10\sqrt{193}\approx138.9\ \mathrm{cm}$
2. 消费统计实例：
一周饮食消费数据如下：周一35元，周二28元，周三42元，周四30元，周五55元，周六80元，周日72元。
以日期为横轴、消费金额为纵轴绘制折线图，可得消费规律：工作日日均饮食消费约38元，消费波动较小；周末外出就餐频次高，饮食消费显著高于工作日，整体呈现工作日低平、周末抬升的变化趋势。
3. 可伸缩笔筒制作实例：
① 取8根长度相同的硬纸条，每4根首尾用铆钉铰接成1个平行四边形框架，共制作2个；
② 取4根长度一致的短硬纸条，将两个平行四边形框架的对应顶点用铆钉铰接，组成可联动变形的伸缩机构；
③ 在机构上下两个平行四边形的内侧分别粘贴适配的圆形硬纸板作为笔筒的底和活动托板，外侧包裹装饰防水纸，利用平行四边形的不稳定性，拉动侧边即可自由调整笔筒的高度，实现伸缩功能。
4. 阅读进度预测实例：
设某本书籍总页数为300页，实测每阅读1小时可读完20页，设累计阅读时长为x小时，已阅读页数为y，设一次函数解析式为$y=kx$，将$x=1,y=20$代入得$k=20$，即函数解析式为$y=20x$（$0≤ x≤15$）。
代入不同时长预测：阅读3小时时，已读60页；阅读7.5小时时，已读150页（完成一半阅读进度）；阅读15小时时，可读完整本书。
【知识点】
勾股定理应用、一次函数建模、统计数据整理
【点评】
本题打破了课本知识和生活场景的壁垒，将基础数学知识融入到测量、制作、数据分析等实际操作中，既可以巩固所学知识点，也能锻炼动手能力、逻辑分析能力和知识迁移应用能力，充分体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
