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18.某校五个绿化小组一天的植树棵数分别为13,15,7,9,12.根据组内离差平方和最小原则,把这五个绿化小组一天的植树棵数分为两组.
答案
18.[解]将数据按从小到大排列，可得7,9,12,13,15.
将它们分成两组共有4种情况，分别计算组内离差平方和(结果保留小数点后两位)，如表所示.
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 18.75 | 18.75 |
| 第2个间隔 | 2 | 4.67 | 6.67 |
| 第3个间隔 | 12.67 | 2 | 14.67 |
| 第4个间隔 | 22.75 | 0 | 22.75 |
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此.按组内离差平方和最小的分法为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}.$
将它们分成两组共有4种情况，分别计算组内离差平方和(结果保留小数点后两位)，如表所示.
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 18.75 | 18.75 |
| 第2个间隔 | 2 | 4.67 | 6.67 |
| 第3个间隔 | 12.67 | 2 | 14.67 |
| 第4个间隔 | 22.75 | 0 | 22.75 |
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此.按组内离差平方和最小的分法为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}.$
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确组内离差平方和越小，代表组内数据的差异越小，因此数值接近的数放在同一组更合理。解题可按以下思路推进：第一步先把5个植树棵数从小到大排序，排除数值跨度大的无效分组；第二步枚举所有可行的两组划分方式，5个数分两组仅存在1个+4个、2个+3个两类情况，共4种分法；第三步分别计算每种分组下两组的离差平方和（离差平方和为组内每个数据与组平均数的差的平方之和），再计算总离差平方和，总和最小的分组就是所求结果。
【解析】
步骤1：将已知数据从小到大排序，得：7，9，12，13，15。
步骤2：枚举4种分组方式，分别计算总离差平方和：
① 分组为$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$：
第一组平均数为7，离差平方和=$(7-7)^2=0$；
第二组平均数=$(9+12+13+15)÷4=12.25$，离差平方和=$(9-12.25)^2+(12-12.25)^2+(13-12.25)^2+(15-12.25)^2=18.75$；
总离差平方和=$0+18.75=18.75$。
② 分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$：
第一组平均数=$(7+9)÷2=8$，离差平方和=$(7-8)^2+(9-8)^2=2$；
第二组平均数=$(12+13+15)÷3=\frac{40}{3}$，离差平方和=$(12-\frac{40}{3})^2+(13-\frac{40}{3})^2+(15-\frac{40}{3})^2\approx4.67$；
总离差平方和=$2+4.67=6.67$。
③ 分组为$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$：
第一组平均数=$(7+9+12)÷3=\frac{28}{3}$，离差平方和=$(7-\frac{28}{3})^2+(9-\frac{28}{3})^2+(12-\frac{28}{3})^2\approx12.67$；
第二组平均数=$(13+15)÷2=14$，离差平方和=$(13-14)^2+(15-14)^2=2$；
总离差平方和=$12.67+2=14.67$。
④ 分组为$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$：
第一组平均数=$(7+9+12+13)÷4=10.25$，离差平方和=$(7-10.25)^2+(9-10.25)^2+(12-10.25)^2+(13-10.25)^2=22.75$；
第二组离差平方和=$(15-15)^2=0$；
总离差平方和=$22.75+0=22.75$。
步骤3：比较4种分组的总离差平方和，可得$6.67＜14.67＜18.75＜22.75$，即分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$时总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 平均数计算
3. 最优分组选择
【点评】
本题结合离差平方和的实际含义考查数据处理能力，需要先筛选合理的分组方式，再通过计算比较得到最优结果，解题时要注意平均数计算和平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先要明确组内离差平方和越小，代表组内数据的差异越小，因此数值接近的数放在同一组更合理。解题可按以下思路推进：第一步先把5个植树棵数从小到大排序，排除数值跨度大的无效分组；第二步枚举所有可行的两组划分方式，5个数分两组仅存在1个+4个、2个+3个两类情况，共4种分法；第三步分别计算每种分组下两组的离差平方和（离差平方和为组内每个数据与组平均数的差的平方之和），再计算总离差平方和，总和最小的分组就是所求结果。
【解析】
步骤1：将已知数据从小到大排序，得：7，9，12，13，15。
步骤2：枚举4种分组方式，分别计算总离差平方和：
① 分组为$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$：
第一组平均数为7，离差平方和=$(7-7)^2=0$；
第二组平均数=$(9+12+13+15)÷4=12.25$，离差平方和=$(9-12.25)^2+(12-12.25)^2+(13-12.25)^2+(15-12.25)^2=18.75$；
总离差平方和=$0+18.75=18.75$。
② 分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$：
第一组平均数=$(7+9)÷2=8$，离差平方和=$(7-8)^2+(9-8)^2=2$；
第二组平均数=$(12+13+15)÷3=\frac{40}{3}$，离差平方和=$(12-\frac{40}{3})^2+(13-\frac{40}{3})^2+(15-\frac{40}{3})^2\approx4.67$；
总离差平方和=$2+4.67=6.67$。
③ 分组为$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$：
第一组平均数=$(7+9+12)÷3=\frac{28}{3}$，离差平方和=$(7-\frac{28}{3})^2+(9-\frac{28}{3})^2+(12-\frac{28}{3})^2\approx12.67$；
第二组平均数=$(13+15)÷2=14$，离差平方和=$(13-14)^2+(15-14)^2=2$；
总离差平方和=$12.67+2=14.67$。
④ 分组为$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$：
第一组平均数=$(7+9+12+13)÷4=10.25$，离差平方和=$(7-10.25)^2+(9-10.25)^2+(12-10.25)^2+(13-10.25)^2=22.75$；
第二组离差平方和=$(15-15)^2=0$；
总离差平方和=$22.75+0=22.75$。
步骤3：比较4种分组的总离差平方和，可得$6.67＜14.67＜18.75＜22.75$，即分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$时总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 平均数计算
3. 最优分组选择
【点评】
本题结合离差平方和的实际含义考查数据处理能力，需要先筛选合理的分组方式，再通过计算比较得到最优结果，解题时要注意平均数计算和平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
19.如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，过点O作$EF⊥ AC$，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若$OE=\frac{3}{2}$，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由.
(1)若$OE=\frac{3}{2}$，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由.
答案
19.[解](1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AB// CD$，$AO=CO$，所以$∠ EAO=∠ FCO$，
又因为$∠ AOE=∠ COF$，
所以$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
所以$OE=OF=\frac{3}{2}$，所以$EF=2OE=3$，
即EF的长为3.
(2)四边形AECF是菱形.理由如下：
由(1)知$△ AOE≌△ COF$，
所以$AE=CF$，
又因为$AE// CF$，
所以四边形AECF是平行四边形.
又因为$EF⊥ AC$，
所以四边形AECF是菱形.
所以$AB// CD$，$AO=CO$，所以$∠ EAO=∠ FCO$，
又因为$∠ AOE=∠ COF$，
所以$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
所以$OE=OF=\frac{3}{2}$，所以$EF=2OE=3$，
即EF的长为3.
(2)四边形AECF是菱形.理由如下：
由(1)知$△ AOE≌△ COF$，
所以$AE=CF$，
又因为$AE// CF$，
所以四边形AECF是平行四边形.
又因为$EF⊥ AC$，
所以四边形AECF是菱形.
解析
【分析】
（1）求EF的长时，已知OE的长度，可先利用平行四边形的性质：对角线互相平分、对边平行，得到AO=CO、∠EAO=∠FCO，结合对顶角相等证明△AOE和△COF全等，推出OE=OF，即可得到EF=2OE，代入数值计算即可。
（2）判断四边形AECF的形状时，先由（1）的全等结论得到AE=CF，结合AE//CF可先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC的条件，利用菱形的判定定理即可得出最终形状。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AB// CD$，$AO=CO$，所以$∠EAO=∠FCO$，
又因为$∠AOE=∠COF$，
所以$△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$，
所以$OE=OF=\frac{3}{2}$，所以$EF=2OE=2×\frac{3}{2}=3$。
(2) 四边形AECF是菱形，理由如下：
由(1)知$△AOE≌△COF$，
所以$AE=CF$，
又因为$AE// CF$，
所以四边形AECF是平行四边形，
又因为$EF⊥AC$，
所以四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{四边形AECF是菱形}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定方法以及菱形的判定定理，按步骤推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）求EF的长时，已知OE的长度，可先利用平行四边形的性质：对角线互相平分、对边平行，得到AO=CO、∠EAO=∠FCO，结合对顶角相等证明△AOE和△COF全等，推出OE=OF，即可得到EF=2OE，代入数值计算即可。
（2）判断四边形AECF的形状时，先由（1）的全等结论得到AE=CF，结合AE//CF可先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC的条件，利用菱形的判定定理即可得出最终形状。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AB// CD$，$AO=CO$，所以$∠EAO=∠FCO$，
又因为$∠AOE=∠COF$，
所以$△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$，
所以$OE=OF=\frac{3}{2}$，所以$EF=2OE=2×\frac{3}{2}=3$。
(2) 四边形AECF是菱形，理由如下：
由(1)知$△AOE≌△COF$，
所以$AE=CF$，
又因为$AE// CF$，
所以四边形AECF是平行四边形，
又因为$EF⊥AC$，
所以四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{四边形AECF是菱形}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定方法以及菱形的判定定理，按步骤推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
