登录
12. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为$2m$（$m≥3$，$m$为正整数），则其弦是
$m^2+1$
.（结果用含$m$的式子表示）答案
12.$m^2+1$ 【点拨】因为 $m$ 为正整数,所以 $2m$ 为偶数,设其股是 $a$,则弦为 $a+2$. 根据勾股定理得 $(2m)^2 + a^2=(a+2)^2$,解得 $a=m^2 - 1$,所以弦是 $a+2=m^2 - 1 + 2=m^2 + 1$.
解析
【分析】
首先从题干提取关键信息：这类勾股数的勾为$2m$（$m≥3$的正整数），弦比股大2。我们可以先设股为$a$，那么弦就可以表示为$a+2$，再根据勾股定理“直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方”列出方程，求解得到股的表达式，进而推导得出弦的表达式即可。
【解析】
解：根据题意，设该勾股数的股为$a$，因为弦与股相差2，所以弦为$a+2$。
由勾股定理可得：
$(2m)^2 + a^2 = (a+2)^2$
展开等号右侧的完全平方：
$4m^2 + a^2 = a^2 + 4a + 4$
两边同时减去$a^2$，得：
$4m^2 = 4a + 4$
等式两边同时除以4化简，得：
$m^2 = a + 1$
解得股$a = m^2 - 1$，因此弦为：
$a + 2 = (m^2 - 1) + 2 = m^2 + 1$
【答案】
$m^2+1$
【知识点】
勾股定理，整式运算，解方程
【点评】
本题结合古代勾股数的研究背景，考查勾股定理的实际应用，需要学生准确提取题干中弦与股的数量关系，通过设未知数列方程求解，侧重对代数建模能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先从题干提取关键信息：这类勾股数的勾为$2m$（$m≥3$的正整数），弦比股大2。我们可以先设股为$a$，那么弦就可以表示为$a+2$，再根据勾股定理“直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方”列出方程，求解得到股的表达式，进而推导得出弦的表达式即可。
【解析】
解：根据题意，设该勾股数的股为$a$，因为弦与股相差2，所以弦为$a+2$。
由勾股定理可得：
$(2m)^2 + a^2 = (a+2)^2$
展开等号右侧的完全平方：
$4m^2 + a^2 = a^2 + 4a + 4$
两边同时减去$a^2$，得：
$4m^2 = 4a + 4$
等式两边同时除以4化简，得：
$m^2 = a + 1$
解得股$a = m^2 - 1$，因此弦为：
$a + 2 = (m^2 - 1) + 2 = m^2 + 1$
【答案】
$m^2+1$
【知识点】
勾股定理，整式运算，解方程
【点评】
本题结合古代勾股数的研究背景，考查勾股定理的实际应用，需要学生准确提取题干中弦与股的数量关系，通过设未知数列方程求解，侧重对代数建模能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
13. ★★ 新题型 动点探究题 如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果同时出发，则3 s时，△BPQ的面积为
18
cm²。答案
13.18 【点拨】根据题意设 $AB=3x$ cm$(x＞0)$,$BC=4x$ cm,$AC=5x$ cm. 因为周长为 36 cm,所以 $AB+BC+AC=36$ cm,即 $3x+4x+5x=36$,解得 $x=3$,所以 $AB=9$ cm,$BC=12$ cm,$AC=15$ cm. 所以 $AB^2 + BC^2=AC^2$,所以 $△ABC$ 是直角三角形,$∠ABC=90°$. 3 s 时,$BP=9 - 3×1=6$ (cm),$BQ=2×3=6$ (cm),所以 $S_{△PBQ}=\frac{1}{2}BP·BQ=\frac{1}{2}×6×6=18$(cm²).
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据AB、BC、CA的边长比例关系，设未知数结合周长求出三边的具体长度；第二步，利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，确定∠B为直角；第三步，根据点P、Q的运动速度和运动时间，分别计算出3秒时BP、BQ的长度；第四步，将BP、BQ作为直角三角形BPQ的两条直角边，代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设$AB=3x$ cm$(x＞0)$，则$BC=4x$ cm，$AC=5x$ cm。
已知△ABC周长为36 cm，因此：
$3x+4x+5x=36$
解得$x=3$
因此$AB=3×3=9$ cm，$BC=4×3=12$ cm，$AC=5×3=15$ cm。
验证：$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ABC=90°$。
运动3秒时，点P移动的距离为$1×3=3$ cm，因此$BP=AB-AP=9-3=6$ cm；
点Q移动的距离为$2×3=6$ cm，因此$BQ=6$ cm。
△BPQ为直角三角形，面积为：
$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18$ cm²
【答案】
18
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点路程计算
【点评】
本题将勾股定理逆定理与动点问题相结合，需要先通过边长比例和周长确定三角形的形状，再结合运动参数求出对应线段长度，最终完成面积计算，能够考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，根据AB、BC、CA的边长比例关系，设未知数结合周长求出三边的具体长度；第二步，利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，确定∠B为直角；第三步，根据点P、Q的运动速度和运动时间，分别计算出3秒时BP、BQ的长度；第四步，将BP、BQ作为直角三角形BPQ的两条直角边，代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设$AB=3x$ cm$(x＞0)$，则$BC=4x$ cm，$AC=5x$ cm。
已知△ABC周长为36 cm，因此：
$3x+4x+5x=36$
解得$x=3$
因此$AB=3×3=9$ cm，$BC=4×3=12$ cm，$AC=5×3=15$ cm。
验证：$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ABC=90°$。
运动3秒时，点P移动的距离为$1×3=3$ cm，因此$BP=AB-AP=9-3=6$ cm；
点Q移动的距离为$2×3=6$ cm，因此$BQ=6$ cm。
△BPQ为直角三角形，面积为：
$S_{△BPQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18$ cm²
【答案】
18
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点路程计算
【点评】
本题将勾股定理逆定理与动点问题相结合，需要先通过边长比例和周长确定三角形的形状，再结合运动参数求出对应线段长度，最终完成面积计算，能够考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14. ★★ 新题型 新定义题 定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知AM为直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.
(1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知AM为直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.
答案
14.【解】(1)点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
理由如下:因为 $AM^2 + BN^2=2.5^2 + 6^2=42.25$,$MN^2=6.5^2=42.25$,
所以 $AM^2 + NB^2=MN^2$,所以以 $AM,MN,NB$ 为边的三角形是一个直角三角形,所以点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(2)设 $BN=x$,则 $MN=30 - AM - BN=25 - x$.
①当 $MN$ 为斜边时,有 $MN^2=AM^2 + NB^2$,
即 $(25 - x)^2=25 + x^2$,解得 $x=12$;
②当 $BN$ 为斜边时,有 $BN^2=AM^2 + MN^2$,
即 $x^2=25 + (25 - x)^2$,解得 $x=13$.
综上所述,$BN$ 的长为 12 或 13.
理由如下:因为 $AM^2 + BN^2=2.5^2 + 6^2=42.25$,$MN^2=6.5^2=42.25$,
所以 $AM^2 + NB^2=MN^2$,所以以 $AM,MN,NB$ 为边的三角形是一个直角三角形,所以点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(2)设 $BN=x$,则 $MN=30 - AM - BN=25 - x$.
①当 $MN$ 为斜边时,有 $MN^2=AM^2 + NB^2$,
即 $(25 - x)^2=25 + x^2$,解得 $x=12$;
②当 $BN$ 为斜边时,有 $BN^2=AM^2 + MN^2$,
即 $x^2=25 + (25 - x)^2$,解得 $x=13$.
综上所述,$BN$ 的长为 12 或 13.
解析
【分析】
（1）要判断点M、N是否为线段AB的勾股分割点，只需依据定义验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形：先确定三条线段中的最长边，再计算两条较短边的平方和，判断其是否等于最长边的平方，若相等则符合勾股定理逆定理，满足勾股分割点的要求。
（2）已知AM为直角边，AB总长为30、AM=5，因此MN与BN的和为$30-5=25$，设$BN=x$，则$MN=25-x$。由于未明确斜边是哪条线段，需分两种情况讨论：①MN为斜边；②BN为斜边，分别根据勾股定理列方程求解即可，注意所求长度需符合线段为正的实际要求。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
已知$AM=2.5$，$MN=6.5$，$BN=6$，分别计算各边平方：
$AM^2 + BN^2 = 2.5^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25$，
$MN^2 = 6.5^2 = 42.25$，
可得$AM^2 + BN^2 = MN^2$，根据勾股定理的逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合勾股分割点的定义，因此点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，则$MN = AB - AM - BN = 30 - 5 - x = 25 - x$，已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，根据勾股定理得$MN^2 = AM^2 + BN^2$，
代入得：$(25 - x)^2 = 5^2 + x^2$，
展开整理得：$625 - 50x + x^2 = 25 + x^2$，
消去$x^2$后解得$x=12$；
② 当BN为斜边时，根据勾股定理得$BN^2 = AM^2 + MN^2$，
代入得：$x^2 = 5^2 + (25 - x)^2$，
展开整理得：$x^2 = 25 + 625 - 50x + x^2$，
消去$x^2$后解得$x=13$。
综上，BN的长为12或13。
【答案】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点；
(2) BN的长为12或13。
【知识点】
勾股定理逆定理，分类讨论思想，新定义求解
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“勾股分割点”的定义，结合勾股定理及其逆定理解题；第二问未明确斜边时需分类讨论，避免漏解，同时要注意验证所求线段长度是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
（1）要判断点M、N是否为线段AB的勾股分割点，只需依据定义验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形：先确定三条线段中的最长边，再计算两条较短边的平方和，判断其是否等于最长边的平方，若相等则符合勾股定理逆定理，满足勾股分割点的要求。
（2）已知AM为直角边，AB总长为30、AM=5，因此MN与BN的和为$30-5=25$，设$BN=x$，则$MN=25-x$。由于未明确斜边是哪条线段，需分两种情况讨论：①MN为斜边；②BN为斜边，分别根据勾股定理列方程求解即可，注意所求长度需符合线段为正的实际要求。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
已知$AM=2.5$，$MN=6.5$，$BN=6$，分别计算各边平方：
$AM^2 + BN^2 = 2.5^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25$，
$MN^2 = 6.5^2 = 42.25$，
可得$AM^2 + BN^2 = MN^2$，根据勾股定理的逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合勾股分割点的定义，因此点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，则$MN = AB - AM - BN = 30 - 5 - x = 25 - x$，已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为斜边时，根据勾股定理得$MN^2 = AM^2 + BN^2$，
代入得：$(25 - x)^2 = 5^2 + x^2$，
展开整理得：$625 - 50x + x^2 = 25 + x^2$，
消去$x^2$后解得$x=12$；
② 当BN为斜边时，根据勾股定理得$BN^2 = AM^2 + MN^2$，
代入得：$x^2 = 5^2 + (25 - x)^2$，
展开整理得：$x^2 = 25 + 625 - 50x + x^2$，
消去$x^2$后解得$x=13$。
综上，BN的长为12或13。
【答案】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点；
(2) BN的长为12或13。
【知识点】
勾股定理逆定理，分类讨论思想，新定义求解
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“勾股分割点”的定义，结合勾股定理及其逆定理解题；第二问未明确斜边时需分类讨论，避免漏解，同时要注意验证所求线段长度是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
15. ★★★ 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，设$AB$为最长边，当$a^2+b^2=c^2$时，$△ ABC$是直角三角形；当$a^2+b^2≠c^2$时，通过比较代数式$a^2+b^2$和$c^2$的大小，探究$△ ABC$的形状(按角分类).
(1)当$△ ABC$三边长分别为6,8,9时，$△ ABC$为
(2)猜想：当$a^2+b^2$
(3)当$a=2,b=4$时，探究$△ ABC$的形状，并求出对应的$c^2$的取值范围.
(1)当$△ ABC$三边长分别为6,8,9时，$△ ABC$为
锐角
三角形；当$△ ABC$三边长分别为6,8,11时，$△ ABC$为钝角
三角形.(2)猜想：当$a^2+b^2$
＞
$c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2$＜
$c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形.(3)当$a=2,b=4$时，探究$△ ABC$的形状，并求出对应的$c^2$的取值范围.
答案
15.【解】(1)锐角;钝角 【点拨】当一个直角三角形的两直角边长为 6,8 时,斜边长为 10. 因为 $9＜10$,所以当 $△ABC$ 三边长分别为 6,8,9 时,$△ABC$ 为锐角三角形;因为 $11＞10$,所以当 $△ABC$ 三边长分别为 6,8,11 时,$△ABC$ 为钝角三角形.
(2)$＞$;$＜$
(3)因为 $c$ 为最长边的长,$2+4=6$,所以 $4≤c＜6$.
①当 $a^2 + b^2＞c^2$,即 $c^2＜20$ 时,$△ABC$ 是锐角三角形,此时 $16≤c^2＜20$;
②当 $a^2 + b^2=c^2$,即 $c^2=20$ 时,$△ABC$ 是直角三角形;
③当 $a^2 + b^2＜c^2$,即 $c^2＞20$ 时,$△ABC$ 是钝角三角形,此时 $20＜c^2＜36$.
点方法 (3)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边的长 $c$ 的取值范围,然后分情况讨论即可得解.
(2)$＞$;$＜$
(3)因为 $c$ 为最长边的长,$2+4=6$,所以 $4≤c＜6$.
①当 $a^2 + b^2＞c^2$,即 $c^2＜20$ 时,$△ABC$ 是锐角三角形,此时 $16≤c^2＜20$;
②当 $a^2 + b^2=c^2$,即 $c^2=20$ 时,$△ABC$ 是直角三角形;
③当 $a^2 + b^2＜c^2$,即 $c^2＞20$ 时,$△ABC$ 是钝角三角形,此时 $20＜c^2＜36$.
点方法 (3)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边的长 $c$ 的取值范围,然后分情况讨论即可得解.
解析
【分析】
本题基于勾股定理逆定理拓展探究三角形按角分类的判断方法，解题思路如下：1. 第(1)问先计算两条短边6、8的平方和为100，对应直角三角形斜边长为10，再将给定的最长边分别与10比较，即可判断三角形形状；2. 第(2)问可直接根据第(1)问的结论归纳猜想；3. 第(3)问首先根据“c为最长边”和三角形三边关系确定c的取值范围，再分$a^2+b^2＞c^2$、$a^2+b^2=c^2$、$a^2+b^2＜c^2$三种情况讨论，对应得到不同形状下$c^2$的取值区间。
【解析】
(1) 当直角三角形两直角边长为6、8时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
①三边长为6、8、9时，最长边9＜10，此时$6^2+8^2=100＞9^2=81$，故为锐角三角形；
②三边长为6、8、11时，最长边11＞10，此时$6^2+8^2=100＜11^2=121$，故为钝角三角形。
(2) 结合(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形。
(3) 已知$c$为最长边，$a=2$，$b=4$，根据三角形三边关系得$4≤ c＜2+4=6$，因此$16≤ c^2＜36$。
计算得$a^2+b^2=2^2+4^2=20$，分三种情况讨论：
①当$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜20$时，$△ ABC$是锐角三角形，此时$16≤ c^2＜20$；
②当$a^2+b^2=c^2$，即$c^2=20$时，$△ ABC$是直角三角形；
③当$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$时，$△ ABC$是钝角三角形，此时$20＜c^2＜36$。
【答案】
(1) 锐角；钝角
(2) $＞$；$＜$
(3) 当$16≤ c^2＜20$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$c^2=20$时，$△ ABC$为直角三角形；当$20＜c^2＜36$时，$△ ABC$为钝角三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的拓展应用，解题关键是先确定最长边的取值范围，再通过比较两边平方和与最长边平方的大小关系判断三角形形状，重点考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
本题基于勾股定理逆定理拓展探究三角形按角分类的判断方法，解题思路如下：1. 第(1)问先计算两条短边6、8的平方和为100，对应直角三角形斜边长为10，再将给定的最长边分别与10比较，即可判断三角形形状；2. 第(2)问可直接根据第(1)问的结论归纳猜想；3. 第(3)问首先根据“c为最长边”和三角形三边关系确定c的取值范围，再分$a^2+b^2＞c^2$、$a^2+b^2=c^2$、$a^2+b^2＜c^2$三种情况讨论，对应得到不同形状下$c^2$的取值区间。
【解析】
(1) 当直角三角形两直角边长为6、8时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
①三边长为6、8、9时，最长边9＜10，此时$6^2+8^2=100＞9^2=81$，故为锐角三角形；
②三边长为6、8、11时，最长边11＞10，此时$6^2+8^2=100＜11^2=121$，故为钝角三角形。
(2) 结合(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形。
(3) 已知$c$为最长边，$a=2$，$b=4$，根据三角形三边关系得$4≤ c＜2+4=6$，因此$16≤ c^2＜36$。
计算得$a^2+b^2=2^2+4^2=20$，分三种情况讨论：
①当$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜20$时，$△ ABC$是锐角三角形，此时$16≤ c^2＜20$；
②当$a^2+b^2=c^2$，即$c^2=20$时，$△ ABC$是直角三角形；
③当$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$时，$△ ABC$是钝角三角形，此时$20＜c^2＜36$。
【答案】
(1) 锐角；钝角
(2) $＞$；$＜$
(3) 当$16≤ c^2＜20$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$c^2=20$时，$△ ABC$为直角三角形；当$20＜c^2＜36$时，$△ ABC$为钝角三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的拓展应用，解题关键是先确定最长边的取值范围，再通过比较两边平方和与最长边平方的大小关系判断三角形形状，重点考查分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
