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1. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$，下列条件中，不能判定$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$a:b:c=5:12:13$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:5$
C.$a=9k,b=40k,c=41k(k＞0)$
D.$a=2,b=3,c=4$
D
）A.$a:b:c=5:12:13$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:5$
C.$a=9k,b=40k,c=41k(k＞0)$
D.$a=2,b=3,c=4$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题时可结合两种判定思路逐一验证选项：一是利用勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；二是利用三角形内角和为180°，若按比例计算出有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形，最终选出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设三边长分别为$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$（$k＞0$），计算得$(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
B选项：三角形内角和为$180°$，最大角的度数为$180°×\frac{5}{2+3+5}=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
C选项：计算得$(9k)^2+(40k)^2=81k^2+1600k^2=1681k^2=(41k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
D选项：最长边为$c=4$，计算得$a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$，$c^2=4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理的逆定理，也没有其他条件可证明存在直角，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题时需注意用勾股定理逆定理验证时，要先确定最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，避免因边的顺序搞错导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题时可结合两种判定思路逐一验证选项：一是利用勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；二是利用三角形内角和为180°，若按比例计算出有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形，最终选出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设三边长分别为$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$（$k＞0$），计算得$(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
B选项：三角形内角和为$180°$，最大角的度数为$180°×\frac{5}{2+3+5}=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
C选项：计算得$(9k)^2+(40k)^2=81k^2+1600k^2=1681k^2=(41k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
D选项：最长边为$c=4$，计算得$a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$，$c^2=4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理的逆定理，也没有其他条件可证明存在直角，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题时需注意用勾股定理逆定理验证时，要先确定最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，避免因边的顺序搞错导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在由小正方形组成的$3×2$网格中,每个小正方形的顶点称为格点.点$A,B,C,D,M,N$均在格点上,其中点$A,B,C,D$能与点$M,N$构成一个直角三角形的是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
D
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个点能与M、N构成直角三角形，我们可以设每个小正方形的边长为1，先计算出线段MN的长度平方，再分别计算各选项中的点与M、N连接后所得另外两条线段的长度平方，最后根据勾股定理的逆定理，判断是否存在两边的平方和等于第三边的平方，满足该条件即可构成直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，则各点坐标为：$M(0,1)$，$N(1,2)$，$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(3,1)$，$D(3,0)$。
首先计算MN的长度平方：
$MN^2=(1-0)^2+(2-1)^2=1+1=2$
分别计算各选项：
选项A（点A）：$MA^2=(0-0)^2+(0-1)^2=1$，$NA^2=(1-0)^2+(2-0)^2=5$，$1+2≠5$，$1+5≠2$，$2+5≠1$，不能构成直角三角形；
选项B（点B）：$MB^2=(2-0)^2+(0-1)^2=5$，$NB^2=(2-1)^2+(0-2)^2=5$，$2+5≠5$，$5+5≠2$，不能构成直角三角形；
选项C（点C）：$MC^2=(3-0)^2+(1-1)^2=9$，$NC^2=(3-1)^2+(1-2)^2=5$，$2+5≠9$，$2+9≠5$，$5+9≠2$，不能构成直角三角形；
选项D（点D）：$MD^2=(3-0)^2+(0-1)^2=10$，$ND^2=(3-1)^2+(0-2)^2=8$，$\because MN^2+ND^2=2+8=10=MD^2$，根据勾股定理的逆定理，可构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题的核心是熟练运用勾股定理及其逆定理，准确计算网格中线段的长度平方，通过验证三边平方的关系判断是否为直角三角形，计算时要注意避免坐标或运算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个点能与M、N构成直角三角形，我们可以设每个小正方形的边长为1，先计算出线段MN的长度平方，再分别计算各选项中的点与M、N连接后所得另外两条线段的长度平方，最后根据勾股定理的逆定理，判断是否存在两边的平方和等于第三边的平方，满足该条件即可构成直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，则各点坐标为：$M(0,1)$，$N(1,2)$，$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(3,1)$，$D(3,0)$。
首先计算MN的长度平方：
$MN^2=(1-0)^2+(2-1)^2=1+1=2$
分别计算各选项：
选项A（点A）：$MA^2=(0-0)^2+(0-1)^2=1$，$NA^2=(1-0)^2+(2-0)^2=5$，$1+2≠5$，$1+5≠2$，$2+5≠1$，不能构成直角三角形；
选项B（点B）：$MB^2=(2-0)^2+(0-1)^2=5$，$NB^2=(2-1)^2+(0-2)^2=5$，$2+5≠5$，$5+5≠2$，不能构成直角三角形；
选项C（点C）：$MC^2=(3-0)^2+(1-1)^2=9$，$NC^2=(3-1)^2+(1-2)^2=5$，$2+5≠9$，$2+9≠5$，$5+9≠2$，不能构成直角三角形；
选项D（点D）：$MD^2=(3-0)^2+(0-1)^2=10$，$ND^2=(3-1)^2+(0-2)^2=8$，$\because MN^2+ND^2=2+8=10=MD^2$，根据勾股定理的逆定理，可构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题的核心是熟练运用勾股定理及其逆定理，准确计算网格中线段的长度平方，通过验证三边平方的关系判断是否为直角三角形，计算时要注意避免坐标或运算错误。
【难度系数】
0.7
3. 新考法逆向思维法 已知△ABC中，AB=k，AC=k+1，BC=3，当k=
4
时，∠B=90°答案
3.4
解析
【分析】
要使∠B=90°，首先明确直角所对的边AC是直角三角形的斜边，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，把已知的三边长度代入公式列一元一次方程，求解后验证边长为正数即可得到k的值。
【解析】
∵ ∠B=90°，
∴ △ABC为直角三角形，且斜边为∠B的对边AC，
根据勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将AB=k，AC=k+1，BC=3代入上式：
$k^2 + 3^2 = (k+1)^2$，
展开右侧得：$k^2 + 9 = k^2 + 2k + 1$，
消去$k^2$后移项化简：$2k = 8$，
解得：$k=4$，
验证：k=4＞0，符合三角形边长为正的要求，结果有效。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的逆用；一元一次方程求解；直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理逆向应用的基础题，解题核心是先确定直角对应的斜边，再根据勾股定理建立方程求解，注意舍去不符合实际意义的负解。
【难度系数】
0.7
要使∠B=90°，首先明确直角所对的边AC是直角三角形的斜边，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，把已知的三边长度代入公式列一元一次方程，求解后验证边长为正数即可得到k的值。
【解析】
∵ ∠B=90°，
∴ △ABC为直角三角形，且斜边为∠B的对边AC，
根据勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将AB=k，AC=k+1，BC=3代入上式：
$k^2 + 3^2 = (k+1)^2$，
展开右侧得：$k^2 + 9 = k^2 + 2k + 1$，
消去$k^2$后移项化简：$2k = 8$，
解得：$k=4$，
验证：k=4＞0，符合三角形边长为正的要求，结果有效。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的逆用；一元一次方程求解；直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理逆向应用的基础题，解题核心是先确定直角对应的斜边，再根据勾股定理建立方程求解，注意舍去不符合实际意义的负解。
【难度系数】
0.7
4.如图，$△ ABC$中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，$P$为直线$AB$上一动点，连接$PC$，则线段$PC$的最小值是
$\frac{60}{13}$
。答案
4.$\frac{60}{13}$
解析
【分析】
解题思路可分三步：①首先根据△ABC的三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状；②根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小，此时PC是Rt△ABC斜边AB上的高；③利用直角三角形的两种面积计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求出PC的最小值。
【解析】
解：首先判断△ABC的形状：
∵ $AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
根据“垂线段最短”可知，当$PC⊥ AB$时，线段PC的长度最小，此时PC为斜边AB上的高。
由三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC = \frac{1}{2}× AB × PC$
代入数值：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× PC$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$60=13PC$，解得$PC=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理；垂线段最短；面积法求高
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是明确垂线段最短的性质，结合直角三角形的面积公式求解，熟练掌握勾股定理逆定理是判断三角形形状的前提。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：①首先根据△ABC的三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状；②根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小，此时PC是Rt△ABC斜边AB上的高；③利用直角三角形的两种面积计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求出PC的最小值。
【解析】
解：首先判断△ABC的形状：
∵ $AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
根据“垂线段最短”可知，当$PC⊥ AB$时，线段PC的长度最小，此时PC为斜边AB上的高。
由三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC = \frac{1}{2}× AB × PC$
代入数值：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× PC$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$60=13PC$，解得$PC=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理；垂线段最短；面积法求高
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是明确垂线段最短的性质，结合直角三角形的面积公式求解，熟练掌握勾股定理逆定理是判断三角形形状的前提。
【难度系数】
0.7
5. 下列各组数中,是勾股数的是 （
A.4,5,6
B.1,2,3
C.1.5,2,2.5
D.9,40,41
D
）A.4,5,6
B.1,2,3
C.1.5,2,2.5
D.9,40,41
答案
5.D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个判定要求：第一，三个数都必须是正整数；第二，三个数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一验证平方和的关系，就能快速得到答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：4、5、6都是正整数，计算得$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不满足勾股定理逆定理，不是勾股数；
选项B：1、2、3都是正整数，计算得$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$3^2 = 9$，$5 ≠ 9$，不满足勾股定理逆定理，不是勾股数；
选项C：1.5、2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，直接排除；
选项D：9、40、41都是正整数，计算得$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$41^2 = 1681$，满足$9^2 + 40^2 = 41^2$，属于勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于勾股数判定的基础题型，常见易错点是忽略勾股数必须为正整数的要求，误选含小数的选项。解题时先筛除非正整数的选项，再验证平方和关系，可提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个判定要求：第一，三个数都必须是正整数；第二，三个数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一验证平方和的关系，就能快速得到答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：4、5、6都是正整数，计算得$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不满足勾股定理逆定理，不是勾股数；
选项B：1、2、3都是正整数，计算得$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$3^2 = 9$，$5 ≠ 9$，不满足勾股定理逆定理，不是勾股数；
选项C：1.5、2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，直接排除；
选项D：9、40、41都是正整数，计算得$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$41^2 = 1681$，满足$9^2 + 40^2 = 41^2$，属于勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于勾股数判定的基础题型，常见易错点是忽略勾股数必须为正整数的要求，误选含小数的选项。解题时先筛除非正整数的选项，再验证平方和关系，可提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
6.[2025扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…。根据上述规律，写出第⑤组勾股数为
11,60,61
。答案
6.11,60,61
【点拨】通过观察得:第①组勾股数为 2×1+1=3,2×1²+2×1=4,2×1²+2×1+1=5,第②组勾股数为 2×2+1=5,2×2²+2×2=12,2×2²+2×2+1=13,第③组勾股数为 2×3+1=7,2×3²+2×3=24,2×3²+2×3+1=25,第④组勾股数为 2×4+1=9,2×4²+2×4=40,2×4²+2×4+1=41,所以第⑤组勾股数为 2×5+1=11,2×5²+2×5=60,2×5²+2×5+1=61.
【点拨】通过观察得:第①组勾股数为 2×1+1=3,2×1²+2×1=4,2×1²+2×1+1=5,第②组勾股数为 2×2+1=5,2×2²+2×2=12,2×2²+2×2+1=13,第③组勾股数为 2×3+1=7,2×3²+2×3=24,2×3²+2×3+1=25,第④组勾股数为 2×4+1=9,2×4²+2×4=40,2×4²+2×4+1=41,所以第⑤组勾股数为 2×5+1=11,2×5²+2×5=60,2×5²+2×5+1=61.
解析
【分析】
解题时先观察给出的4组勾股数的特征：每组第一个数是连续的奇数3、5、7、9，每组后两个数是相邻的正整数，且较小数+1=较大数。接下来建立每组数和组数n的对应关系：第n组的第一个数为2n+1，第二个数为2n²+2n，第三个数为2n²+2n+1。要求第⑤组勾股数，只需把n=5代入上述表达式计算即可，最后可验证三个数是否满足勾股定理确保结果正确。
【解析】
观察已知勾股数可得规律，第n组勾股数的三个数分别为：
第一个数：$2n+1$
第二个数：$2n^2+2n$
第三个数：$2n^2+2n+1$
验证规律：
n=1（第①组）：$2×1+1=3$，$2×1²+2×1=4$，$2×1²+2×1+1=5$，符合已知；
n=2（第②组）：$2×2+1=5$，$2×2²+2×2=12$，$2×2²+2×2+1=13$，符合已知；
n=3、n=4也均符合已知规律。
求第⑤组勾股数，即n=5时：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$2×5²+2×5=2×25+10=60$
第三个数：$60+1=61$
最后验证：$11²+60²=121+3600=3721=61²$，满足勾股数要求。
【答案】
11,60,61
【知识点】
规律探究，勾股数
【点评】
本题结合中国传统数学文化考查勾股数的规律探索，解题关键是先观察已知勾股数的数字特征，推导得出每组数与组数的对应关系，代入计算后可通过勾股定理验证结果是否正确，侧重培养观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察给出的4组勾股数的特征：每组第一个数是连续的奇数3、5、7、9，每组后两个数是相邻的正整数，且较小数+1=较大数。接下来建立每组数和组数n的对应关系：第n组的第一个数为2n+1，第二个数为2n²+2n，第三个数为2n²+2n+1。要求第⑤组勾股数，只需把n=5代入上述表达式计算即可，最后可验证三个数是否满足勾股定理确保结果正确。
【解析】
观察已知勾股数可得规律，第n组勾股数的三个数分别为：
第一个数：$2n+1$
第二个数：$2n^2+2n$
第三个数：$2n^2+2n+1$
验证规律：
n=1（第①组）：$2×1+1=3$，$2×1²+2×1=4$，$2×1²+2×1+1=5$，符合已知；
n=2（第②组）：$2×2+1=5$，$2×2²+2×2=12$，$2×2²+2×2+1=13$，符合已知；
n=3、n=4也均符合已知规律。
求第⑤组勾股数，即n=5时：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$2×5²+2×5=2×25+10=60$
第三个数：$60+1=61$
最后验证：$11²+60²=121+3600=3721=61²$，满足勾股数要求。
【答案】
11,60,61
【知识点】
规律探究，勾股数
【点评】
本题结合中国传统数学文化考查勾股数的规律探索，解题关键是先观察已知勾股数的数字特征，推导得出每组数与组数的对应关系，代入计算后可通过勾股定理验证结果是否正确，侧重培养观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图,某港口$P$位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于$A,B$处,且相距20海里,已知甲船沿
北偏西$40°$方向航行,则乙船的航行方向是 (
A.北偏东$50°$
B.北偏东$45°$
C.南偏东$50°$
D.南偏东$60°$
北偏西$40°$方向航行,则乙船的航行方向是 (
A
)A.北偏东$50°$
B.北偏东$45°$
C.南偏东$50°$
D.南偏东$60°$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先根据速度和时间计算出两条船航行的路程，也就是PA、PB的长度，再结合AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△APB的形状，得到∠APB的度数，最后结合甲船的航行方向，计算乙船和正北方向的夹角，即可确定乙船的航行方向。
【解析】
由题意得：1小时后甲船航行的路程为$PA=12×1=12$（海里），乙船航行的路程为$PB=16×1=16$（海里），已知$AB=20$海里。
$\because 12^2+16^2=144+256=400$，$20^2=400$，
$\therefore PA^2+PB^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ APB$是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
又$\because$甲船沿北偏西$40°$方向航行，即PA与正北方向的夹角为$40°$，
$\therefore$PB与正北方向的夹角为$90°-40°=50°$，即乙船沿北偏东$50°$方向航行。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理，方向角
【点评】
本题是实际应用类题目，将行程问题与几何知识结合，核心是通过勾股定理的逆定理判断直角，再结合角度关系推导方向，解题时要注意方向角的描述规则，避免方向判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先根据速度和时间计算出两条船航行的路程，也就是PA、PB的长度，再结合AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△APB的形状，得到∠APB的度数，最后结合甲船的航行方向，计算乙船和正北方向的夹角，即可确定乙船的航行方向。
【解析】
由题意得：1小时后甲船航行的路程为$PA=12×1=12$（海里），乙船航行的路程为$PB=16×1=16$（海里），已知$AB=20$海里。
$\because 12^2+16^2=144+256=400$，$20^2=400$，
$\therefore PA^2+PB^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ APB$是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
又$\because$甲船沿北偏西$40°$方向航行，即PA与正北方向的夹角为$40°$，
$\therefore$PB与正北方向的夹角为$90°-40°=50°$，即乙船沿北偏东$50°$方向航行。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理，方向角
【点评】
本题是实际应用类题目，将行程问题与几何知识结合，核心是通过勾股定理的逆定理判断直角，再结合角度关系推导方向，解题时要注意方向角的描述规则，避免方向判断错误。
【难度系数】
0.7
8.[2026徐州期中] 如图,把一块$△ ABC$土地划出一个$△ ACD$后,测得$CD=3$米,$AD=4$米,$BC=12$米,$AB=13$米,其中$∠ ACB=90°$.
(1)判断$△ ACD$的形状,并说明理由;
(2)求图中阴影部分土地的面积.
(1)判断$△ ACD$的形状,并说明理由;
(2)求图中阴影部分土地的面积.
答案
8.【解】(1)$△ACD$是直角三角形.
理由:因为$∠ACB=90°,BC=12$ 米,$AB=13$ 米,
所以由勾股定理得 $AC=5$ 米. 又因为 $CD=3$ 米,$AD=4$米,所以 $AD^2+CD^2=25=AC^2$,所以$△ACD$是直角三角形,$∠ADC=90°$.
(2)图中阴影部分土地的面积 $=\frac{1}{2}AC×BC-\frac{1}{2}AD×CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24$(平方米).
点方法 求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和或差的问题,解题时要利用题目信息构造出直角三角形,如角度,三边长度等.
理由:因为$∠ACB=90°,BC=12$ 米,$AB=13$ 米,
所以由勾股定理得 $AC=5$ 米. 又因为 $CD=3$ 米,$AD=4$米,所以 $AD^2+CD^2=25=AC^2$,所以$△ACD$是直角三角形,$∠ADC=90°$.
(2)图中阴影部分土地的面积 $=\frac{1}{2}AC×BC-\frac{1}{2}AD×CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24$(平方米).
点方法 求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和或差的问题,解题时要利用题目信息构造出直角三角形,如角度,三边长度等.
解析
【分析】
(1)要判断△ACD的形状，已知CD、AD的长度，只需要先求出第三条边AC的长度，再用勾股定理的逆定理验证即可。AC是Rt△ABC的直角边，已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度。
(2)阴影部分是不规则图形，可采用割补法求解：阴影面积等于大直角三角形ABC的面积减去空白直角三角形ACD的面积，代入对应边长计算即可。
【解析】
(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-12^2=25$，
∴AC=5米（边长为正，舍去负结果）。
又
∵CD=3米，AD=4米，
∴$AD^2+CD^2=4^2+3^2=25=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°。
(2)阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$（平方米），
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$（平方米），
∴阴影部分面积$=30-6=24$（平方米）。
【答案】
(1)△ACD是直角三角形，理由见解析；
(2)阴影部分土地的面积为24平方米。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用，求解不规则图形面积时通常采用割补法，将其转化为规则图形的面积和差计算，解题时需注意定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
(1)要判断△ACD的形状，已知CD、AD的长度，只需要先求出第三条边AC的长度，再用勾股定理的逆定理验证即可。AC是Rt△ABC的直角边，已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度。
(2)阴影部分是不规则图形，可采用割补法求解：阴影面积等于大直角三角形ABC的面积减去空白直角三角形ACD的面积，代入对应边长计算即可。
【解析】
(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-12^2=25$，
∴AC=5米（边长为正，舍去负结果）。
又
∵CD=3米，AD=4米，
∴$AD^2+CD^2=4^2+3^2=25=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°。
(2)阴影部分面积$=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$（平方米），
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$（平方米），
∴阴影部分面积$=30-6=24$（平方米）。
【答案】
(1)△ACD是直角三角形，理由见解析；
(2)阴影部分土地的面积为24平方米。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用，求解不规则图形面积时通常采用割补法，将其转化为规则图形的面积和差计算，解题时需注意定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
9.[华师一附中自主招生] 已知$a,b,c$分别是$△ ABC$的三边长，且满足$2a^4 + 2b^4 + c^4 = 2a^2c^2 + 2b^2c^2$，则$△ ABC$是（
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
B
）A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案
9.B 【点拨】因为 $2a^4 + 2b^4 + c^4 = 2a^2c^2 + 2b^2c^2$,等式两边同时乘以 2,可得 $4a^4 + 4b^4 + 2c^4 = 4a^2c^2 + 4b^2c^2$,整理得 $4a^4 - 4a^2c^2 + c^4 + 4b^4 - 4b^2c^2 + c^4 = 0$,所以 $(2a^2 - c^2)^2 + (2b^2 - c^2)^2 = 0$,所以 $2a^2 - c^2 = 0,2b^2 - c^2 = 0$,所以易得 $a = b$,且 $a^2 + b^2 = c^2$,所以$△ABC$为等腰直角三角形.
解析
【分析】
本题给出三角形三边满足的高次等式，要判断三角形形状，解题核心是通过代数变形得到三边的数量关系。观察等式中含$a^4$、$b^4$、$c^4$及$a^2c^2$、$b^2c^2$项，符合完全平方公式的结构特征，但现有系数无法直接配方，因此先将等式两边同时乘2，拆分项后凑成两个完全平方的和，再利用“非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，推导出a、b、c的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
已知$2a^4 + 2b^4 + c^4 = 2a^2c^2 + 2b^2c^2$，
等式两边同时乘以2，得：
$4a^4 + 4b^4 + 2c^4 = 4a^2c^2 + 4b^2c^2$，
移项并整理，将式子拆分为两组完全平方式：
$(4a^4 - 4a^2c^2 + c^4) + (4b^4 - 4b^2c^2 + c^4) = 0$，
根据完全平方公式化简得：
$(2a^2 - c^2)^2 + (2b^2 - c^2)^2 = 0$，
因为平方数具有非负性，即$(2a^2 - c^2)^2≥0$，$(2b^2 - c^2)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}2a^2 - c^2 = 0 \\2b^2 - c^2 = 0 \end{cases}$，
解得$c^2=2a^2$，$c^2=2b^2$，所以$a^2=b^2$，
又因为a、b是三角形的边长，均为正数，因此$a=b$，
将$c^2=2a^2$代入$a^2 + b^2$，得$a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = c^2$，满足勾股定理的逆定理，说明$∠ C$为直角，
因此$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数变形与三角形判定结合的典型题型，解题的关键是观察等式结构，通过乘2的技巧凑出完全平方形式，再结合非负数性质推导边长关系，解题时需注意三角形边长为正的隐含条件，避免漏判或错判三角形形状。
【难度系数】
0.5
本题给出三角形三边满足的高次等式，要判断三角形形状，解题核心是通过代数变形得到三边的数量关系。观察等式中含$a^4$、$b^4$、$c^4$及$a^2c^2$、$b^2c^2$项，符合完全平方公式的结构特征，但现有系数无法直接配方，因此先将等式两边同时乘2，拆分项后凑成两个完全平方的和，再利用“非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，推导出a、b、c的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
已知$2a^4 + 2b^4 + c^4 = 2a^2c^2 + 2b^2c^2$，
等式两边同时乘以2，得：
$4a^4 + 4b^4 + 2c^4 = 4a^2c^2 + 4b^2c^2$，
移项并整理，将式子拆分为两组完全平方式：
$(4a^4 - 4a^2c^2 + c^4) + (4b^4 - 4b^2c^2 + c^4) = 0$，
根据完全平方公式化简得：
$(2a^2 - c^2)^2 + (2b^2 - c^2)^2 = 0$，
因为平方数具有非负性，即$(2a^2 - c^2)^2≥0$，$(2b^2 - c^2)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}2a^2 - c^2 = 0 \\2b^2 - c^2 = 0 \end{cases}$，
解得$c^2=2a^2$，$c^2=2b^2$，所以$a^2=b^2$，
又因为a、b是三角形的边长，均为正数，因此$a=b$，
将$c^2=2a^2$代入$a^2 + b^2$，得$a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = c^2$，满足勾股定理的逆定理，说明$∠ C$为直角，
因此$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数变形与三角形判定结合的典型题型，解题的关键是观察等式结构，通过乘2的技巧凑出完全平方形式，再结合非负数性质推导边长关系，解题时需注意三角形边长为正的隐含条件，避免漏判或错判三角形形状。
【难度系数】
0.5
10. 新考法倍长中线法 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=10$，$BC$边上的中线$AD=4$，则$△ ABC$的面积为（
A.30
B.24
C.20
D.48
B
）A.30
B.24
C.20
D.48
答案
10.B 【点拨】延长 $AD$ 到 $E$,使 $DE=AD$,连接 $CE$. 因为 $AD$ 为 $BC$ 边上的中线,所以 $DC=BD$. 又因为 $∠ADB=∠EDC$,所以 $△ADB≌△EDC$,所以 $CE=AB=6$,$S_{△ADB}=S_{△EDC}$,所以 $S_{△ABC}=S_{△ACE}$. 又因为 $AE=2AD=8$,$AC=10$,所以 $AC^2=AE^2 + CE^2$,所以 $△ACE$ 为直角三角形,$∠E=90°$,所以 $S_{△ABC}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}CE·AE=\frac{1}{2}×6×8=24$.
解析
【分析】
本题已知三角形的两边长和第三边上的中线长，求三角形面积，看到中线条件可优先考虑倍长中线法构造全等三角形：首先延长中线AD到E，使DE=AD，连接CE，通过证明三角形全等将AB转化为CE，把已知的AB、AD、AC三条边集中到△ACE中，再用勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形，最后根据面积关系求出△ABC的面积。
【解析】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADB和△EDC中：
$\{\begin{array}{l} AD=ED\\ ∠ ADB=∠ EDC\\ BD=CD\end{array} $
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB=6，$S_{△ ADB}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}+S_{△ ADB}=S_{△ ADC}+S_{△ EDC}=S_{△ ACE}$。
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=2AD=8，
又
∵AC=10，CE=6，
∴$CE^2+AE^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AC^2$，
∴△ACE是直角三角形，且$∠ E=90°$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× CE× AE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
即$S_{△ ABC}=24$。
【答案】
B
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形综合应用的典型题，核心考查倍长中线构造全等的辅助线技巧，通过全等实现边和面积的转化，再结合勾股定理逆定理判断直角三角形求解面积，熟练掌握倍长中线法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
本题已知三角形的两边长和第三边上的中线长，求三角形面积，看到中线条件可优先考虑倍长中线法构造全等三角形：首先延长中线AD到E，使DE=AD，连接CE，通过证明三角形全等将AB转化为CE，把已知的AB、AD、AC三条边集中到△ACE中，再用勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形，最后根据面积关系求出△ABC的面积。
【解析】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADB和△EDC中：
$\{\begin{array}{l} AD=ED\\ ∠ ADB=∠ EDC\\ BD=CD\end{array} $
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB=6，$S_{△ ADB}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}+S_{△ ADB}=S_{△ ADC}+S_{△ EDC}=S_{△ ACE}$。
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=2AD=8，
又
∵AC=10，CE=6，
∴$CE^2+AE^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AC^2$，
∴△ACE是直角三角形，且$∠ E=90°$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× CE× AE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
即$S_{△ ABC}=24$。
【答案】
B
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形综合应用的典型题，核心考查倍长中线构造全等的辅助线技巧，通过全等实现边和面积的转化，再结合勾股定理逆定理判断直角三角形求解面积，熟练掌握倍长中线法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
11. 新考法等角代换法 如图所示的是$3×2$的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段$AB,CD$的端点均在格点上，且交于点$O$，则$∠BOD$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
11.B 【点拨】设小正方形的边长为 1. 如图,取格点 $E$,连接 $AE,BE$,易知 $AE//CD$,所以 $∠BAE=∠BOD$. 由勾股定理得 $AB^2=1^2 + 2^2=5$,$EB^2=1^2 + 2^2=5$,$AE^2=1^2 + 3^2=10$,所以 $AB^2 + BE^2=AE^2$,$AB=BE$. 所以 $△ABE$ 是等腰直角三角形. 所以 $∠BAE=45°$. 所以 $∠BOD=45°$.
点方法 解决此类网格中线段的夹角问题,关键在于作辅助线构造格点三角形,将待求的“线段夹角”转化为“三角形的内角”,借助网格特征,利用勾股定理求出三角形的三边,确定三角形的形状,从而求出三角形内角的度数,最终完成夹角的求解.
解析
【分析】
要求网格中两条相交线段的夹角∠BOD，可采用等角代换的思路：首先通过平移其中一条线段，将待求夹角转化为容易计算的三角形内角。我们可以找合适的格点作CD的平行线，把∠BOD转化为平行线与AB的夹角，再构造格点三角形，借助勾股定理计算三角形三边长度，判断三角形的形状，即可求出对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，取格点E，连接AE、BE。
由网格特征可得AE//CD，根据平行线的同位角相等，可知∠BAE=∠BOD。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2=1^2 + 2^2=5$，
$EB^2=1^2 + 2^2=5$，
$AE^2=1^2 + 3^2=10$。
因此$AB^2 + BE^2=5+5=10=AE^2$，且$AB=BE$，根据勾股定理的逆定理可知△ABE是直角三角形，又因为两条直角边相等，所以△ABE是等腰直角三角形，可得$∠BAE=45°$。
因此$∠BOD=∠BAE=45°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，核心是通过平移构造等角，将未知夹角转化为三角形内角，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状求解，能够有效考查学生的辅助线构造能力和网格几何的计算能力。
【难度系数】
0.6
要求网格中两条相交线段的夹角∠BOD，可采用等角代换的思路：首先通过平移其中一条线段，将待求夹角转化为容易计算的三角形内角。我们可以找合适的格点作CD的平行线，把∠BOD转化为平行线与AB的夹角，再构造格点三角形，借助勾股定理计算三角形三边长度，判断三角形的形状，即可求出对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，取格点E，连接AE、BE。
由网格特征可得AE//CD，根据平行线的同位角相等，可知∠BAE=∠BOD。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2=1^2 + 2^2=5$，
$EB^2=1^2 + 2^2=5$，
$AE^2=1^2 + 3^2=10$。
因此$AB^2 + BE^2=5+5=10=AE^2$，且$AB=BE$，根据勾股定理的逆定理可知△ABE是直角三角形，又因为两条直角边相等，所以△ABE是等腰直角三角形，可得$∠BAE=45°$。
因此$∠BOD=∠BAE=45°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，核心是通过平移构造等角，将未知夹角转化为三角形内角，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状求解，能够有效考查学生的辅助线构造能力和网格几何的计算能力。
【难度系数】
0.6
