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二、填空题
9. 如图，△ABC经过一定的变换得到△A'B'C'，如果△ABC上点P的坐标为(a,b)，那么点P变换后的对应点P'的坐标为
9. 如图，△ABC经过一定的变换得到△A'B'C'，如果△ABC上点P的坐标为(a,b)，那么点P变换后的对应点P'的坐标为
(a+3,b+2)
。答案
9.(a+3,b+2)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移变换，解题思路如下：首先确定△ABC到△A'B'C'的变换为平移，平移过程中所有点的横、纵坐标变化规律完全相同；其次找到一组已知对应点，计算出横、纵坐标的变化量，总结出通用的坐标变换规则；最后将点P的坐标代入规则，即可求出对应点P'的坐标。
【解析】
观察图形可知，△ABC通过平移变换得到△A'B'C'，平移时所有点的坐标变化规律一致。
选取任意一组对应点计算坐标变化量：可得对应点的横坐标增加3，纵坐标增加2，即图形整体向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度。
根据平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。已知点P的坐标为(a,b)，则平移后点P'的横坐标为a+3，纵坐标为b+2。
【答案】
(a+3,b+2)
【知识点】
平移的坐标变化规律，坐标与图形变换
【点评】
本题属于基础题，核心考查平移变换的坐标变化规则，解题的关键是准确找到对应点的坐标变化量，牢记“右加左减、上加下减”的平移坐标口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中图形的平移变换，解题思路如下：首先确定△ABC到△A'B'C'的变换为平移，平移过程中所有点的横、纵坐标变化规律完全相同；其次找到一组已知对应点，计算出横、纵坐标的变化量，总结出通用的坐标变换规则；最后将点P的坐标代入规则，即可求出对应点P'的坐标。
【解析】
观察图形可知，△ABC通过平移变换得到△A'B'C'，平移时所有点的坐标变化规律一致。
选取任意一组对应点计算坐标变化量：可得对应点的横坐标增加3，纵坐标增加2，即图形整体向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度。
根据平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。已知点P的坐标为(a,b)，则平移后点P'的横坐标为a+3，纵坐标为b+2。
【答案】
(a+3,b+2)
【知识点】
平移的坐标变化规律，坐标与图形变换
【点评】
本题属于基础题，核心考查平移变换的坐标变化规则，解题的关键是准确找到对应点的坐标变化量，牢记“右加左减、上加下减”的平移坐标口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(-4,-1)的对应点D的坐标是
(1,2)
。答案
10.(1,2)
解析
【分析】
这道题考查平面直角坐标系中线段平移的坐标变化规律。解题思路为：平移过程中，图形上所有点的平移方向和距离完全相同，因此对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们首先通过已知对应点A和C的坐标，算出平移时横、纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，就能求出对应点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A(-1,4)平移后得到对应点C(4,7)
横坐标变化量：$4 - (-1) = 5$，即平移时横坐标加5（向右平移5个单位长度）
纵坐标变化量：$7 - 4 = 3$，即平移时纵坐标加3（向上平移3个单位长度）
第二步：计算点D的坐标
点B(-4,-1)按照相同规律平移：
D的横坐标：$-4 + 5 = 1$
D的纵坐标：$-1 + 3 = 2$
因此点D的坐标为$(1,2)$
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
平移的坐标变化规律；平面直角坐标系
【点评】
本题属于平移坐标变换的基础题型，解题核心是抓住平移前后所有对应点的坐标变化量一致的特点，只要正确算出平移的横、纵坐标偏移量，即可快速求出未知对应点的坐标，计算难度低。
【难度系数】
0.9
这道题考查平面直角坐标系中线段平移的坐标变化规律。解题思路为：平移过程中，图形上所有点的平移方向和距离完全相同，因此对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们首先通过已知对应点A和C的坐标，算出平移时横、纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，就能求出对应点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A(-1,4)平移后得到对应点C(4,7)
横坐标变化量：$4 - (-1) = 5$，即平移时横坐标加5（向右平移5个单位长度）
纵坐标变化量：$7 - 4 = 3$，即平移时纵坐标加3（向上平移3个单位长度）
第二步：计算点D的坐标
点B(-4,-1)按照相同规律平移：
D的横坐标：$-4 + 5 = 1$
D的纵坐标：$-1 + 3 = 2$
因此点D的坐标为$(1,2)$
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
平移的坐标变化规律；平面直角坐标系
【点评】
本题属于平移坐标变换的基础题型，解题核心是抓住平移前后所有对应点的坐标变化量一致的特点，只要正确算出平移的横、纵坐标偏移量，即可快速求出未知对应点的坐标，计算难度低。
【难度系数】
0.9
11.如图,在平面直角坐标系中,直线l过点C(0,1)且与x轴平行,△ABC关于直线l对称,已知点A的坐标是(4,4),则点B的坐标是
(4,-2)
.答案
11.(4,-2)
解析
【分析】
解题时首先确定对称轴的表达式：已知直线l过点C(0,1)且与x轴平行，因此直线l是纵坐标恒为1的水平直线，即l:y=1。再回忆关于水平直线对称的点的坐标特征：对称两点的横坐标相同，两点到对称轴的竖直距离相等。接下来先计算点A到直线l的距离，再根据对称点在对称轴另一侧，即可求出点B的纵坐标，横坐标与点A一致，最终得到点B的坐标。
【解析】
1. 求对称轴直线l的表达式：
∵ 直线l过点C(0,1)且与x轴平行，
∴ 直线l上所有点的纵坐标均为1，即直线l的解析式为$y=1$。
2. 利用对称性质求点B坐标：
∵ △ABC关于直线l对称，
∴ 点A与点B关于直线$y=1$对称。
关于直线$y=1$对称的两点，横坐标相等，且两点纵坐标的平均数等于1。
已知点A坐标为$(4,4)$，设点B的坐标为$(4,y)$，则：
$\frac{4+y}{2}=1$
解得：$y=2-4=-2$
因此点B的坐标为$(4,-2)$。
【答案】
$(4,-2)$
【知识点】
1. 点的坐标对称性质
2. 平行于x轴的直线特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形对称对应的坐标变化规律，解题核心是先明确对称轴的位置，再利用对称点的坐标特征进行计算，属于基础题型，掌握常见的对称点坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先确定对称轴的表达式：已知直线l过点C(0,1)且与x轴平行，因此直线l是纵坐标恒为1的水平直线，即l:y=1。再回忆关于水平直线对称的点的坐标特征：对称两点的横坐标相同，两点到对称轴的竖直距离相等。接下来先计算点A到直线l的距离，再根据对称点在对称轴另一侧，即可求出点B的纵坐标，横坐标与点A一致，最终得到点B的坐标。
【解析】
1. 求对称轴直线l的表达式：
∵ 直线l过点C(0,1)且与x轴平行，
∴ 直线l上所有点的纵坐标均为1，即直线l的解析式为$y=1$。
2. 利用对称性质求点B坐标：
∵ △ABC关于直线l对称，
∴ 点A与点B关于直线$y=1$对称。
关于直线$y=1$对称的两点，横坐标相等，且两点纵坐标的平均数等于1。
已知点A坐标为$(4,4)$，设点B的坐标为$(4,y)$，则：
$\frac{4+y}{2}=1$
解得：$y=2-4=-2$
因此点B的坐标为$(4,-2)$。
【答案】
$(4,-2)$
【知识点】
1. 点的坐标对称性质
2. 平行于x轴的直线特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形对称对应的坐标变化规律，解题核心是先明确对称轴的位置，再利用对称点的坐标特征进行计算，属于基础题型，掌握常见的对称点坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
12. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°后,点B的坐标为
(4,0)
.答案
12.(4,0)
解析
【分析】
解决这道题首先要明确旋转三要素：旋转中心是点D，旋转方向为顺时针，旋转角度是90°。解题思路如下：第一步先从坐标系中读取旋转前点B和旋转中心D的坐标；第二步过点B和旋转后的对应点B'分别向过点D的水平直线作垂线，构造两个直角三角形；第三步利用旋转的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度；最后结合点D的坐标计算出旋转后点B的坐标。
【解析】
由图可得旋转前点B的坐标为(2,4)，旋转中心D的坐标为(1,1)。
过点B作BM⊥过点D的水平直线，垂足为M；过旋转后的点B'作B'N⊥过点D的水平直线，垂足为N，则∠DMB=∠B'ND=90°。
根据旋转的性质可知：DB=DB'，∠BDB'=90°，
∴∠BDM + ∠B'DN=90°，
又
∵∠BDM + ∠DBM=90°，
∴∠DBM=∠B'DN。
在△DBM和△B'DN中：
$\{\begin{array}{l}∠DMB=∠B'ND \\∠DBM=∠B'DN \\DB=B'D\end{array} $
∴△DBM≌△B'DN（AAS）。
由B(2,4)、D(1,1)可算得：DM=2-1=1，BM=4-1=3，
∴全等三角形对应边相等：DN=BM=3，B'N=DM=1。
因此点B'的横坐标为$1+3=4$，纵坐标为$1-1=0$。
【答案】
(4,0)
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形旋转的常规题型，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，建立旋转前后点的坐标关系，掌握该方法可以快速解决同类旋转求坐标的问题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确旋转三要素：旋转中心是点D，旋转方向为顺时针，旋转角度是90°。解题思路如下：第一步先从坐标系中读取旋转前点B和旋转中心D的坐标；第二步过点B和旋转后的对应点B'分别向过点D的水平直线作垂线，构造两个直角三角形；第三步利用旋转的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度；最后结合点D的坐标计算出旋转后点B的坐标。
【解析】
由图可得旋转前点B的坐标为(2,4)，旋转中心D的坐标为(1,1)。
过点B作BM⊥过点D的水平直线，垂足为M；过旋转后的点B'作B'N⊥过点D的水平直线，垂足为N，则∠DMB=∠B'ND=90°。
根据旋转的性质可知：DB=DB'，∠BDB'=90°，
∴∠BDM + ∠B'DN=90°，
又
∵∠BDM + ∠DBM=90°，
∴∠DBM=∠B'DN。
在△DBM和△B'DN中：
$\{\begin{array}{l}∠DMB=∠B'ND \\∠DBM=∠B'DN \\DB=B'D\end{array} $
∴△DBM≌△B'DN（AAS）。
由B(2,4)、D(1,1)可算得：DM=2-1=1，BM=4-1=3，
∴全等三角形对应边相等：DN=BM=3，B'N=DM=1。
因此点B'的横坐标为$1+3=4$，纵坐标为$1-1=0$。
【答案】
(4,0)
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形旋转的常规题型，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，建立旋转前后点的坐标关系，掌握该方法可以快速解决同类旋转求坐标的问题。
【难度系数】
0.7
13.如图，A，B两点的坐标分别为(2,4)，(6,0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为
(3,0)或(9,0)
。答案
13.(3,0)或(9,0)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先分析△ABP的特征：点B和点P都在x轴上，因此边BP在x轴上，△ABP中BP边上的高就是点A到x轴的距离，也就是点A的纵坐标的绝对值。接下来我们可以结合三角形面积公式求出BP的长度，再注意点P可以在点B的左侧或右侧，分两种情况计算点P的横坐标即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,0)$。
∵ 点A坐标为$(2,4)$，点B、P都在x轴上
∴ △ABP中，边BP上的高为点A到x轴的距离，即高$h=4$，底$BP=|x-6|$
已知$S_{△ ABP}=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2} × |x-6| × 4 = 6$
化简得：$2|x-6|=6$，即$|x-6|=3$
当$x-6=3$时，解得$x=9$；
当$x-6=-3$时，解得$x=3$。
因此点P的坐标为$(3,0)$或$(9,0)$。
【答案】
$(3,0)$或$(9,0)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题解题的关键是确定三角形的高，需要注意的是点P的位置有两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先分析△ABP的特征：点B和点P都在x轴上，因此边BP在x轴上，△ABP中BP边上的高就是点A到x轴的距离，也就是点A的纵坐标的绝对值。接下来我们可以结合三角形面积公式求出BP的长度，再注意点P可以在点B的左侧或右侧，分两种情况计算点P的横坐标即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,0)$。
∵ 点A坐标为$(2,4)$，点B、P都在x轴上
∴ △ABP中，边BP上的高为点A到x轴的距离，即高$h=4$，底$BP=|x-6|$
已知$S_{△ ABP}=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2} × |x-6| × 4 = 6$
化简得：$2|x-6|=6$，即$|x-6|=3$
当$x-6=3$时，解得$x=9$；
当$x-6=-3$时，解得$x=3$。
因此点P的坐标为$(3,0)$或$(9,0)$。
【答案】
$(3,0)$或$(9,0)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题解题的关键是确定三角形的高，需要注意的是点P的位置有两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
14. 在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A,B的坐标分别为$(-3,1),(-2,-3)$，以及点C的坐标为$(3,2)$（单位：km）.
(1)请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
(2)若同学们打算从点B处直接赶往C处，请用方位角和距离描述点C相对于点B的位置.
北
↑
→ 东
14. 在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A,B的坐标分别为$(-3,1),(-2,-3)$，以及点C的坐标为$(3,2)$（单位：km）.
(1)请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
(2)若同学们打算从点B处直接赶往C处，请用方位角和距离描述点C相对于点B的位置.
北
↑
→ 东
答案
14.解:(1)根据A(-3,1),B(-2,-3)画出平面直角坐标系,描出点C(3,2),如下图所示:
(2)$BC=5\sqrt{2}$,所以点C在点B北偏东$45°$方向上,距离点B $5\sqrt{2}$ km处.
解析
【分析】
(1)要建立直角坐标系，需先根据已知点A、B的坐标确定原点位置：点A坐标为(-3,1)，说明原点在点A向右3个单位、向下1个单位的位置，再以水平向右（对应东向）为x轴正方向，竖直向上（对应北向）为y轴正方向建立坐标系，最后根据点C的坐标(3,2)即可描出点C。
(2)要描述点C相对于点B的位置，先计算B、C两点的横、纵坐标差，得到两点的横向、纵向距离，再用勾股定理计算BC的长度，结合横、纵向距离相等判断方位角即可。
【解析】
(1) ①确定坐标原点：由A(-3,1)可知，将点A向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得位置即为坐标原点O；
②以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系；
③根据点C的坐标(3,2)，在x轴正方向取3个单位长度，y轴正方向取2个单位长度，对应位置即为点C，描出点C即可。
(2) 已知点B坐标为(-2,-3)，点C坐标为(3,2)：
①计算两点的坐标差：横向距离为$3 - (-2) = 5\ \mathrm{km}$，纵向距离为$2 - (-3) = 5\ \mathrm{km}$；
②由勾股定理得$BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$；
③因为横向、纵向距离相等，可知BC连线与正北、正东方向的夹角均为$45°$，即点C在点B北偏东$45°$方向。
【答案】
(1)根据A(-3,1),B(-2,-3)画出平面直角坐标系,描出点C(3,2),如下图所示:
(2)$BC=5\sqrt{2}$,所以点C在点B北偏东$45°$方向上,距离点B $5\sqrt{2}$ km处。
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理、方位角表示位置
【点评】
本题结合实际情景考查了平面直角坐标系的建立以及用方位角和距离描述位置的方法，解题核心是准确利用已知点坐标确定坐标系，再通过坐标差和勾股定理完成计算，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要建立直角坐标系，需先根据已知点A、B的坐标确定原点位置：点A坐标为(-3,1)，说明原点在点A向右3个单位、向下1个单位的位置，再以水平向右（对应东向）为x轴正方向，竖直向上（对应北向）为y轴正方向建立坐标系，最后根据点C的坐标(3,2)即可描出点C。
(2)要描述点C相对于点B的位置，先计算B、C两点的横、纵坐标差，得到两点的横向、纵向距离，再用勾股定理计算BC的长度，结合横、纵向距离相等判断方位角即可。
【解析】
(1) ①确定坐标原点：由A(-3,1)可知，将点A向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得位置即为坐标原点O；
②以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系；
③根据点C的坐标(3,2)，在x轴正方向取3个单位长度，y轴正方向取2个单位长度，对应位置即为点C，描出点C即可。
(2) 已知点B坐标为(-2,-3)，点C坐标为(3,2)：
①计算两点的坐标差：横向距离为$3 - (-2) = 5\ \mathrm{km}$，纵向距离为$2 - (-3) = 5\ \mathrm{km}$；
②由勾股定理得$BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$；
③因为横向、纵向距离相等，可知BC连线与正北、正东方向的夹角均为$45°$，即点C在点B北偏东$45°$方向。
【答案】
(1)根据A(-3,1),B(-2,-3)画出平面直角坐标系,描出点C(3,2),如下图所示:
(2)$BC=5\sqrt{2}$,所以点C在点B北偏东$45°$方向上,距离点B $5\sqrt{2}$ km处。
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理、方位角表示位置
【点评】
本题结合实际情景考查了平面直角坐标系的建立以及用方位角和距离描述位置的方法，解题核心是准确利用已知点坐标确定坐标系，再通过坐标差和勾股定理完成计算，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
