1. 如图，已知O为坐标原点，$∠ AOB=30°$，$∠ ABO=90°$，且点A的坐标为$(2,0)$。
(1)求点B的坐标；
(2)若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过A,B,O三点，求此二次函数的表达式。

(1)
∵A(2,0),
∴OA=2.
在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴易得OB=$\sqrt{3}$.
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴OD=$\frac{3}{2}$.
∴点B的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.
(2)将点$A(2,0),B(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),O(0,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$,得
$\begin{cases}4a+2b+c=0,\\\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=\frac{\sqrt{3}}{2},\\c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{2\sqrt{3}}{3},\\b=\frac{4\sqrt{3}}{3},\\c=0.\end{cases}$
∴此二次函数的表达式是$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}x$.

2.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(3,0)$，当$x=1$时，函数有最小值为$-4$.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)直线$x=m$与抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$和直线$y=x-3$的交点分别为点$C,D$.
①当$m=-1$时，$CD=$；
②结合函数的图象，当$CD≥4$时，直接写出$m$的取值范围.

(1)
∵当$x=1$时,函数有最小值为$-4$,
∴二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
∴二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-4$.
∵该二次函数的图象过点$(3,0)$,
∴$0=(3-1)^2a-4$.
∴$a=1$.
∴二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-4$,即$y=x^2-2x-3$.
(2)①4 ②$m≤-1$或$m≥4$
【点拨】①当$m=-1$时,解方程组$\begin{cases}x=-1,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-1,\\y=0,\end{cases}$
∴点C的坐标为$(-1,0)$.解方程组$\begin{cases}x=-1,\\y=x-3,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-1,\\y=-4,\end{cases}$
∴点D的坐标为$(-1,-4)$,
∴$CD=4$.
②由①可知,当$m=-1$时,如图①,$CD=4$,
由图象可得,当$m≤-1$时,$CD≥4$;当$-1＜m≤3$时,$CD＜4$;当$m＞3$时,如图②,解方程组$\begin{cases}x=m,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$得$\begin{cases}x=m,\\y=m^2-2m-3,\end{cases}$
∴点C的坐标为$(m,m^2-2m-3)$.解方程组$\begin{cases}x=m,\\y=x-3,\end{cases}$得$\begin{cases}x=m,\\y=m-3,\end{cases}$
∴点D的坐标为$(m,m-3)$.
∴$CD=(m^2-2m-3)-(m-3)=m^2-3m$.当$CD=4$时,$m^2-3m=4$,解得$m_1=4$,$m_2=-1$(不合题意,舍去).
∴由图象可得,当$m≥4$时,$CD≥4$.综上所述,当$CD≥4$时,$m$的取值范围是$m≤-1$或$m≥4$.

3. 如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点$A(1,0)$和点$B(-3,0)$,与$y$轴交于点$C$,$P$为第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的表达式,并写出顶点坐标;
(2)连接$PB,PO,PC,BC,OP$交$BC$于点$D$,当$S_{△ CPD}:S_{△ BPD}=1:2$时,求点$D$的坐标.

(1)
∵抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点$A(1,0)$和点$B(-3,0)$,
∴$y=a(x-1)(x+3)=ax^2+2ax-3a$.
∴$-3a=3$.
∴$a=-1$.
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
∵$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴顶点坐标为$(-1,4)$.
(2)如图,过点$D$作$DM⊥y$轴于点$M$.
在$y=-x^2-2x+3$中,当$x=0$时,$y=3$,
∴点C的坐标为$(0,3)$.
∴$OC=3$.
∵$S_{△ CPD}:S_{△ BPD}=1:2$,
∴$CD:BD=1:2$.
易知$DM// BO$,
∴$CM:OM=CD:BD=1:2$.
∴$OM=2$.设直线BC的表达式为$y=kx+m$,将点$B(-3,0)$,$C(0,3)$的坐标分别代入$y=kx+m$,可得$\begin{cases}-3k+m=0,\\m=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\m=3.\end{cases}$
∴直线BC的表达式为$y=x+3$.
在$y=x+3$中,当$y=2$时,$x=-1$,
∴点D的坐标为$(-1,2)$.

4.[2026襄阳期中]如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+4x-3$图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,点B的坐标是(1,0).
(1)求点A,C,D的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时x的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

(1)把点$B(1,0)$的坐标代入$y=ax^2+4x-3$,得$0=a+4-3$,解得$a=-1$,
∴$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$.
∴$A(2,1)$,抛物线的对称轴为直线$x=2$.
又
∵$B(1,0)$,
∴$C(3,0)$,
对于$y=-x^2+4x-3$,当$x=0$时,$y=-3$,
∴$D(0,-3)$.
根据题图可知,当$y＞0$时,$1＜x＜3$.
(2)
∵$D(0,-3)$,$A(2,1)$,
∴点D平移到点A,抛物线应向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,
∴平移后抛物线的表达式为$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5=-x^2+8x-11$.