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《住宅项目规范》GB 55038-2025要求如下：
公共楼梯踏步宽度不应小于0.26 m，踏步高度不应大于0.175 m，且同一个楼梯梯段踏步的宽度、高度均应一致.
① 某3层住宅楼，每层层高3 m，疏散楼梯采用“Z”字形设计（如右图），两层住户中间设1.5 m长的中间平台.楼梯参数如下：
踏步高度：15 cm；
踏步宽度：28 cm.
(1) 设计师为了防火需要，设计两层住户之间的中间平台面积不小于4 m².如果楼梯宽度为1.2 m，请计算楼梯井（两“Z”字形楼梯之间的距离）的最小净宽.
(2) 请计算最高楼层逃生路径的最短长度（楼梯视为斜面，结果保留整数）.
(3) 如果该住宅楼需要放置灭火器和消防栓，请用五角星标注出你设计的灭火器和消防栓的位置，并从数学的角度，说明设计的合理性.
中间平台
公共楼梯踏步宽度不应小于0.26 m，踏步高度不应大于0.175 m，且同一个楼梯梯段踏步的宽度、高度均应一致.
① 某3层住宅楼，每层层高3 m，疏散楼梯采用“Z”字形设计（如右图），两层住户中间设1.5 m长的中间平台.楼梯参数如下：
踏步高度：15 cm；
踏步宽度：28 cm.
(1) 设计师为了防火需要，设计两层住户之间的中间平台面积不小于4 m².如果楼梯宽度为1.2 m，请计算楼梯井（两“Z”字形楼梯之间的距离）的最小净宽.
(2) 请计算最高楼层逃生路径的最短长度（楼梯视为斜面，结果保留整数）.
(3) 如果该住宅楼需要放置灭火器和消防栓，请用五角星标注出你设计的灭火器和消防栓的位置，并从数学的角度，说明设计的合理性.
中间平台
答案
1.(1) $(x+2×1.2) ×1.5≥4$, 解得 $x ≥ \frac{4}{15}$ , 最小净宽为 $\frac{4}{15}$ m.
(2) 最短长度为 13 m.
(3) 图略. 言之有理即可.
(2) 最短长度为 13 m.
(3) 图略. 言之有理即可.
解析
【分析】
(1) 首先判断中间平台是长方形，其面积需要满足不小于4m²的要求。长方形的宽是已知的1.5m，长等于楼梯井净宽加上两侧楼梯宽度的和，据此列一元一次不等式求解，就能得到楼梯井的最小净宽。
(2) 最高层逃生需要从3层下到1层，总高度为2个层高。先根据踏步高度算出总踏步数，再用勾股定理求出单个踏步的斜面长度，乘以总踏步数得到楼梯段总长度，最后按要求保留整数即可。
(3) 消防设施需要放置在到各楼层距离都较近的位置，优先选择中间平台，结合最短路径的原理说明合理性即可。
【解析】
(1) 设楼梯井的最小净宽为$x$ m。
中间平台为长方形，长为$(x + 2×1.2)$ m，宽为1.5 m，根据面积不小于4 m²列不等式：
$(x + 2×1.2)×1.5 ≥ 4$
化简得：$(x + 2.4)×1.5 ≥ 4$
两边同除以1.5得：$x + 2.4 ≥ \frac{8}{3}$
解得：$x ≥ \frac{4}{15}$
(2) 从3层到1层的总下落高度为$2×3 = 6$ m，换算单位得踏步高度15 cm = 0.15 m，因此总踏步数为：$6 ÷ 0.15 = 40$个。
踏步宽度28 cm = 0.28 m，由勾股定理得单个踏步的斜面长度为：
$\sqrt{0.28^2 + 0.15^2} = \sqrt{0.1009} ≈ 0.3176$ m
因此逃生路径最短长度为：$40×0.3176 ≈ 13$ m（结果保留整数）。
(3) 标注：在两个中间平台处标注五角星即可。
合理性：中间平台位于相邻两层中间，到上下两层的距离之和最小，各层住户都能最快取用消防设施，符合最短路径最优的原理。
【答案】
(1) 楼梯井最小净宽为$\frac{4}{15}$ m；
(2) 最高楼层逃生路径最短长度为13 m；
(3) 标注在中间平台处，理由合理即可。
【知识点】
一元一次不等式应用，勾股定理，最短路径选址
【点评】
本题结合消防安全的实际场景考查数学知识的应用，既考查了不等式、勾股定理的基础用法，也引导学生学会用数学思维解决生活中的实际问题，实用性较强。
【难度系数】
0.65
(1) 首先判断中间平台是长方形，其面积需要满足不小于4m²的要求。长方形的宽是已知的1.5m，长等于楼梯井净宽加上两侧楼梯宽度的和，据此列一元一次不等式求解，就能得到楼梯井的最小净宽。
(2) 最高层逃生需要从3层下到1层，总高度为2个层高。先根据踏步高度算出总踏步数，再用勾股定理求出单个踏步的斜面长度，乘以总踏步数得到楼梯段总长度，最后按要求保留整数即可。
(3) 消防设施需要放置在到各楼层距离都较近的位置，优先选择中间平台，结合最短路径的原理说明合理性即可。
【解析】
(1) 设楼梯井的最小净宽为$x$ m。
中间平台为长方形，长为$(x + 2×1.2)$ m，宽为1.5 m，根据面积不小于4 m²列不等式：
$(x + 2×1.2)×1.5 ≥ 4$
化简得：$(x + 2.4)×1.5 ≥ 4$
两边同除以1.5得：$x + 2.4 ≥ \frac{8}{3}$
解得：$x ≥ \frac{4}{15}$
(2) 从3层到1层的总下落高度为$2×3 = 6$ m，换算单位得踏步高度15 cm = 0.15 m，因此总踏步数为：$6 ÷ 0.15 = 40$个。
踏步宽度28 cm = 0.28 m，由勾股定理得单个踏步的斜面长度为：
$\sqrt{0.28^2 + 0.15^2} = \sqrt{0.1009} ≈ 0.3176$ m
因此逃生路径最短长度为：$40×0.3176 ≈ 13$ m（结果保留整数）。
(3) 标注：在两个中间平台处标注五角星即可。
合理性：中间平台位于相邻两层中间，到上下两层的距离之和最小，各层住户都能最快取用消防设施，符合最短路径最优的原理。
【答案】
(1) 楼梯井最小净宽为$\frac{4}{15}$ m；
(2) 最高楼层逃生路径最短长度为13 m；
(3) 标注在中间平台处，理由合理即可。
【知识点】
一元一次不等式应用，勾股定理，最短路径选址
【点评】
本题结合消防安全的实际场景考查数学知识的应用，既考查了不等式、勾股定理的基础用法，也引导学生学会用数学思维解决生活中的实际问题，实用性较强。
【难度系数】
0.65
② 建筑承重能力是建筑抵御灾害的基础.火灾的高温会严重削弱建筑结构的承重能力,使钢材软化,混凝土爆裂剥落,导致结构强度急剧下降.
某建筑承重能力由多项式$P(x)=2x^2 -2x -24$（单位：t）描述,其中x代表支架的关键参数,涵盖材质配比系数、结构加固系数等多个影响支架性能的因素.
(1)对多项式$P(x)$进行因式分解,清晰地了解支架承重能力随参数x变化的内在规律.
(2)在保障校园建筑安全的实际需求中,支架需满足承重能力$P(x)＞0$,同时x为不超过6的正整数。找出能让承重能力最强的$P(x)$值,使支架在保障通行安全时发挥最优性能.
某建筑承重能力由多项式$P(x)=2x^2 -2x -24$（单位：t）描述,其中x代表支架的关键参数,涵盖材质配比系数、结构加固系数等多个影响支架性能的因素.
(1)对多项式$P(x)$进行因式分解,清晰地了解支架承重能力随参数x变化的内在规律.
(2)在保障校园建筑安全的实际需求中,支架需满足承重能力$P(x)＞0$,同时x为不超过6的正整数。找出能让承重能力最强的$P(x)$值,使支架在保障通行安全时发挥最优性能.
答案
2.(1) $P(x)=2(x+3)(x-4)$.
(2) 通过比较可知, 当 $x=6$ 时, $P(x)$ 的值最大, $P(x)=2×(6+3)×(6-4)=36$ t.
(2) 通过比较可知, 当 $x=6$ 时, $P(x)$ 的值最大, $P(x)=2×(6+3)×(6-4)=36$ t.
解析
【分析】
（1）因式分解思路：首先观察多项式是否有公因式，先提取公因式简化多项式，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解，最终得到乘积形式。
（2）求最优值思路：先利用第一问分解的结果，根据“两数相乘，同号得正”的法则解不等式，得到x的取值范围，再结合x是不超过6的正整数的限制，筛选出符合条件的x值，代入计算P(x)后比较大小，找到最大值即可。
【解析】
(1) 对多项式$P(x)=2x^2 -2x -24$因式分解：
第一步，提取公因式2：
$P(x)=2(x^2 - x - 12)$
第二步，对二次三项式$x^2 - x -12$用十字相乘法分解：常数项-12可拆分为$3×(-4)$，且$3+(-4)=-1$（与一次项系数一致），因此$x^2 -x -12=(x+3)(x-4)$。
综上可得$P(x)=2(x+3)(x-4)$。
(2) 先解不等式$P(x)＞0$：
代入因式分解结果得$2(x+3)(x-4)＞0$，由于2＞0，不等式两边同时除以2不等号方向不变，可得$(x+3)(x-4)＞0$。
根据有理数乘法“同号得正”的规则分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x+3＞0 \\ x-4＞0\end{cases}$，解得$x＞4$；
② $\begin{cases}x+3＜0 \\ x-4＜0\end{cases}$，解得$x＜-3$。
结合题设条件：x是不超过6的正整数，即x为正整数且$x≤6$，因此$x＜-3$的情况不符合要求，符合条件的x取值为5、6。
分别代入计算：
当x=5时，$P(5)=2×(5+3)×(5-4)=16$（t）；
当x=6时，$P(6)=2×(6+3)×(6-4)=36$（t）。
因为36＞16，所以P(x)的最大值为36t。
【答案】
(1) $P(x)=2(x+3)(x-4)$
(2) 承重能力最强的$P(x)$值为36t
【知识点】
因式分解，不等式求解，代数式求值
【点评】
本题结合建筑防火安全的实际场景出题，将数学知识和生活应用相结合，既考查了基础代数运算能力，也能培养学生用数学解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
（1）因式分解思路：首先观察多项式是否有公因式，先提取公因式简化多项式，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解，最终得到乘积形式。
（2）求最优值思路：先利用第一问分解的结果，根据“两数相乘，同号得正”的法则解不等式，得到x的取值范围，再结合x是不超过6的正整数的限制，筛选出符合条件的x值，代入计算P(x)后比较大小，找到最大值即可。
【解析】
(1) 对多项式$P(x)=2x^2 -2x -24$因式分解：
第一步，提取公因式2：
$P(x)=2(x^2 - x - 12)$
第二步，对二次三项式$x^2 - x -12$用十字相乘法分解：常数项-12可拆分为$3×(-4)$，且$3+(-4)=-1$（与一次项系数一致），因此$x^2 -x -12=(x+3)(x-4)$。
综上可得$P(x)=2(x+3)(x-4)$。
(2) 先解不等式$P(x)＞0$：
代入因式分解结果得$2(x+3)(x-4)＞0$，由于2＞0，不等式两边同时除以2不等号方向不变，可得$(x+3)(x-4)＞0$。
根据有理数乘法“同号得正”的规则分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x+3＞0 \\ x-4＞0\end{cases}$，解得$x＞4$；
② $\begin{cases}x+3＜0 \\ x-4＜0\end{cases}$，解得$x＜-3$。
结合题设条件：x是不超过6的正整数，即x为正整数且$x≤6$，因此$x＜-3$的情况不符合要求，符合条件的x取值为5、6。
分别代入计算：
当x=5时，$P(5)=2×(5+3)×(5-4)=16$（t）；
当x=6时，$P(6)=2×(6+3)×(6-4)=36$（t）。
因为36＞16，所以P(x)的最大值为36t。
【答案】
(1) $P(x)=2(x+3)(x-4)$
(2) 承重能力最强的$P(x)$值为36t
【知识点】
因式分解，不等式求解，代数式求值
【点评】
本题结合建筑防火安全的实际场景出题，将数学知识和生活应用相结合，既考查了基础代数运算能力，也能培养学生用数学解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
