③ 右图是两个具有公共顶点的等腰直角楼梯防护架$Rt△ ABC$，$Rt△ CEF$，$∠ ABC=∠ CEF=90°$（模拟防护栏杆的稳定夹角），连接代表防护通道的$AF$，$M$是防护通道$AF$的中点，连接用于加固的加固条$MB$，$ME$.
(1) 证明：加固条$BM=EM$.

(2) 将$△ CEF$绕点$C$顺时针旋转$45°$（模拟防护框架受外力微调），如下图，$BM=EM$仍然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

3.(1)证明: 延长 $BM$ 交 $EF$ 于点 $N$.
$\because △ ABC$ 和 $△ CEF$ 都是等腰直角三角形, $∠ ABC = ∠ CEF = 90°$.
$\therefore AB // EF$, 则 $∠ BAM = ∠ NFM$, $∠ ABM = ∠ FNM$, 且 $M$ 是 $AF$ 的中点, 即 $AM=FM$,
$\therefore △ ABM ≌ △ FNM (\mathrm{AAS})$, $\therefore BM=NM, AB=FN$.
$\because AB=BC, CE=EF, \therefore BC=FN$, 进而 $BE=EN$, 且 $∠ BEN=90°$, $M$ 是 $BN$ 中点,
$\therefore BM=EM$(直角三角形斜边中线等于斜边一半).
(2) 延长 $BM$ 交 $CF$ 于点 $G$, 连接 $EG, BE$.
$\because \mathrm{Rt}△ CEF$ 是等腰直角三角形, 旋转角 $∠ BCE=45°, \therefore ∠ BCF=90°$.
又 $\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 是等腰直角三角形, $∠ ABC=90°$.
$\therefore AB // CF, ∠ BAM= ∠ GFM, ∠ ABM= ∠ FGM$.
$\because M$ 是 $AF$ 的中点, $\therefore AM=FM. \therefore △ ABM ≌ △ FGM (\mathrm{AAS}) , \therefore AB=FG, BM=GM$.
$\because AB=BC, \therefore BC=FG$.
在 $△ BCE$ 与 $△ GFE$ 中, $\because BC=FG, ∠ BCE=∠ GFE=45°, EC=EF$.
$\therefore △ BCE ≌ △ GFE (\mathrm{SAS}) , BE=GE, ∠ BEC= ∠ GEF$.
$\because ∠ CEF = ∠ GEC + ∠ GEF = 90°, \therefore ∠ BEG= ∠ GEC+ ∠ BEC=90°$.
又 $\because BM=GM, \therefore BM=EM$(直角三角形斜边中线等于斜边一半), 即 $BM=EM$ 仍然成立.

【分析】
(1) 要证明BM=EM，已知M是AF中点，遇到中点证明线段相等时，可考虑构造全等三角形转化线段关系。观察初始位置下两个等腰直角三角形的直角边AB、EF均垂直于水平方向，可得AB//EF，因此延长BM交EF于点N，先证△ABM≌△FNM，得到BM=NM、AB=FN，再结合等腰直角三角形边长相等的性质推得△BEN是等腰直角三角形，最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可得证。
(2) 旋转45°后，仍可沿用“中点构造全等”的思路：此时AB与CF平行，延长BM交CF于点G，先证△ABM≌△FGM，得到AB=FG、BM=GM，再证明△BCE≌△GFE，推得△BEG是等腰直角三角形，最后用直角三角形斜边中线的性质即可证明BM=EM仍然成立。
【解析】
(1) 证明：延长 $BM$ 交 $EF$ 于点 $N$。
$\because △ ABC$ 和 $△ CEF$ 都是等腰直角三角形，$∠ ABC = ∠ CEF = 90°$，
$\therefore AB // EF$，则 $∠ BAM = ∠ NFM$，$∠ ABM = ∠ FNM$。
又$\because M$是$AF$的中点，即 $AM=FM$，
$\therefore △ ABM ≌ △ FNM (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=NM, AB=FN$。
$\because$ 等腰直角三角形中$AB=BC, CE=EF$，
$\therefore BC=FN$，进而 $CE - BC = EF - FN$，即$BE=EN$。
又$\because ∠ BEN=90°$，$M$ 是 $BN$ 中点，
$\therefore BM=EM$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
(2) $BM=EM$仍然成立，证明如下：
延长 $BM$ 交 $CF$ 于点 $G$，连接 $EG, BE$。
$\because \mathrm{Rt}△ CEF$ 是等腰直角三角形，旋转角 $∠ BCE=45°$，
$\therefore ∠ BCF=∠BCE + ∠ECF = 45°+45°=90°$。
又$\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore AB // CF$，$∠ BAM= ∠ GFM, ∠ ABM= ∠ FGM$。
$\because M$ 是 $AF$ 的中点，$\therefore AM=FM$，
$\therefore △ ABM ≌ △ FGM (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=FG, BM=GM$。
$\because AB=BC, \therefore BC=FG$。
在 $△ BCE$ 与 $△ GFE$ 中，
$\{\begin{array}{l} BC=FG \\ ∠ BCE=∠ GFE=45° \\ EC=EF \end{array} $
$\therefore △ BCE ≌ △ GFE (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=GE, ∠ BEC= ∠ GEF$。
$\because ∠ CEF = ∠ GEC + ∠ GEF = 90°$，
$\therefore ∠ BEG= ∠ GEC+ ∠ BEC=∠ GEC + ∠GEF=90°$，即$△ BEG$是等腰直角三角形。
又$\because BM=GM$，
$\therefore BM=EM$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），即 $BM=EM$ 仍然成立。
【答案】
(1) $BM=EM$成立，证明见解析；
(2) $BM=EM$仍然成立，证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何综合探究题，核心考察中点类几何题的辅助线构造方法，通过延长过中点的线段构造全等三角形，实现线段和角的转化，再结合特殊三角形的性质完成证明，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和特殊三角形的性质，能根据中点特征选择合适的辅助线。
【难度系数】
0.6

④ 在校园安全演练场地，有模拟救援通道的直线 $ l $，场地中存在等腰直角三角形 $ ABC $（模拟救援区域边界），$ AC=BC $，$ ∠ ACB=90° $，$ A $，$ B $ 代表被困人员位置，都在直线 $ l $ 同侧。演练中，$ AD ⊥ l $，$ BE ⊥ l $（$ D $，$ E $ 为垂足，模拟救援人员搭建的垂直支撑），请探究模拟救援中通道长度 $ AD $，$ DE $，$ BE $ 的关系，为安全救援规划提供几何依据。

4. $\because ∠ ACB=90° , \therefore ∠ ACD+ ∠ BCE=90°$ .
又 $\because AD⊥ l, BE⊥ l, \therefore ∠ ADC= ∠ CEB=90° , ∠ ACD+ ∠ CAD=90° . \therefore ∠ CAD= ∠ BCE$.
在 $△ ACD$ 与 $△ CBE$ 中, $∠ ADC= ∠ CEB, ∠ CAD= ∠ BCE, AC=BC$,
$\therefore △ ACD ≌ △ CBE (\mathrm{AAS}) , \therefore AD=CE, CD=BE$.
$DE=CD+CE$, 将 $AD=CE, CD=BE$ 代入, 可得 $DE=AD+BE$.

【分析】
要探究AD、DE、BE三条线段的数量关系，可通过证明三角形全等将分散的线段转化到同一直线上分析：首先结合已知的直角和垂直条件，推导角的相等关系；再结合等腰直角三角形的边相等条件证明三角形全等；最后利用全等对应边相等的性质，将线段替换后即可得到三者关系。
【解析】
$\because ∠ACB=90° , \therefore ∠ACD+ ∠BCE=90°$ .
又 $\because AD⊥ l, BE⊥ l, \therefore ∠ADC= ∠CEB=90° , ∠ACD+ ∠CAD=90° . \therefore ∠CAD= ∠BCE$.
在 $△ ACD$ 与 $△ CBE$ 中, $\{\begin{array}{l}∠ADC=∠CEB \\∠CAD=∠BCE \\AC=BC\end{array} $
$\therefore △ ACD ≌ △ CBE (\mathrm{AAS}) , \therefore AD=CE, CD=BE$.
$\because DE=CD+CE$, 将 $AD=CE, CD=BE$ 代入, 可得 $DE=AD+BE$.
【答案】
$DE=AD+BE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是“一线三垂直”模型的典型应用，通过角的互余关系推导等角，结合等腰直角三角形的边相等条件证明全等，进而转化线段得到数量关系，是几何中探究线段和差问题的常见考法，要熟练掌握全等证明逻辑和线段转化思路。
【难度系数】
0.7