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⑤ 假设小区住宅楼发生火灾，消防员需使用云梯抵达起火楼层救援.
已知云梯最大伸展长度为60 m，且与地面夹角需保持在30°至60°之间.每户窗口位于每层楼顶（如第1层窗口高3 m，第2层窗口高6 m，以此类推）.
（1）云梯完全伸展并抵达第10层窗口时，云梯与地面的夹角为多少度？
（2）若云梯保持最大长度，求能抵达的最高楼层.
已知云梯最大伸展长度为60 m，且与地面夹角需保持在30°至60°之间.每户窗口位于每层楼顶（如第1层窗口高3 m，第2层窗口高6 m，以此类推）.
（1）云梯完全伸展并抵达第10层窗口时，云梯与地面的夹角为多少度？
（2）若云梯保持最大长度，求能抵达的最高楼层.
答案
5.(1) 夹角为 $30°$.
(2) 最高能抵达 17 层.
(2) 最高能抵达 17 层.
解析
【分析】
解题思路：首先明确云梯、地面、建筑竖直方向构成直角三角形，云梯长度为斜边，窗口高度为竖直对边。（1）先计算第10层窗口的高度，利用正弦函数（对边与斜边的比值）求出夹角的正弦值，结合特殊角的三角函数值和题目给定的夹角范围即可确定角度；（2）要抵达最高楼层，需竖直高度最大，由于斜边固定，夹角越大正弦值越大，竖直高度越高，因此取最大允许夹角60°计算最大可抵达高度，再除以每层高度3m，结果向下取整即为最高楼层。
【解析】
（1）先计算第10层窗口的高度：
由题意得，第n层窗口高度为3n m，因此第10层窗口高度$h_1=3×10=30\ \mathrm{m}$。
设云梯与地面夹角为$α$，在直角三角形中，$\sinα=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{云梯长度}}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$。
已知云梯与地面夹角在$30°$至$60°$之间，且$\sin30°=\frac{1}{2}$，因此$α=30°$。
（2）要抵达最高楼层，需竖直高度最大：
由于斜边（云梯长度）固定，$\sinθ$在$0°∼90°$范围内随$θ$增大而增大，因此取最大允许夹角$θ=60°$时，竖直高度最大。
最大高度$h_{\mathrm{max}}=60×\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=51.96\ \mathrm{m}$。
可抵达的楼层数$n=\frac{h_{\mathrm{max}}}{3}\approx\frac{51.96}{3}\approx17.32$，由于楼层为正整数，且窗口高度不能超过最大可抵达高度，因此向下取整得$n=17$。
【答案】
（1）$30°$；（2）$17$层
【知识点】
锐角三角函数应用，解直角三角形，实际问题取整
【点评】
本题结合消防救援的实际场景，考查了三角函数在实际问题中的运用，解题时需结合给定的限制条件确定最值，同时注意实际问题的结果要符合现实规则取合适的整数。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确云梯、地面、建筑竖直方向构成直角三角形，云梯长度为斜边，窗口高度为竖直对边。（1）先计算第10层窗口的高度，利用正弦函数（对边与斜边的比值）求出夹角的正弦值，结合特殊角的三角函数值和题目给定的夹角范围即可确定角度；（2）要抵达最高楼层，需竖直高度最大，由于斜边固定，夹角越大正弦值越大，竖直高度越高，因此取最大允许夹角60°计算最大可抵达高度，再除以每层高度3m，结果向下取整即为最高楼层。
【解析】
（1）先计算第10层窗口的高度：
由题意得，第n层窗口高度为3n m，因此第10层窗口高度$h_1=3×10=30\ \mathrm{m}$。
设云梯与地面夹角为$α$，在直角三角形中，$\sinα=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{云梯长度}}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$。
已知云梯与地面夹角在$30°$至$60°$之间，且$\sin30°=\frac{1}{2}$，因此$α=30°$。
（2）要抵达最高楼层，需竖直高度最大：
由于斜边（云梯长度）固定，$\sinθ$在$0°∼90°$范围内随$θ$增大而增大，因此取最大允许夹角$θ=60°$时，竖直高度最大。
最大高度$h_{\mathrm{max}}=60×\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=51.96\ \mathrm{m}$。
可抵达的楼层数$n=\frac{h_{\mathrm{max}}}{3}\approx\frac{51.96}{3}\approx17.32$，由于楼层为正整数，且窗口高度不能超过最大可抵达高度，因此向下取整得$n=17$。
【答案】
（1）$30°$；（2）$17$层
【知识点】
锐角三角函数应用，解直角三角形，实际问题取整
【点评】
本题结合消防救援的实际场景，考查了三角函数在实际问题中的运用，解题时需结合给定的限制条件确定最值，同时注意实际问题的结果要符合现实规则取合适的整数。
【难度系数】
0.7
⑥ 人员疏散安全是火灾安全保障的关键环节，而火灾探测器与安全出口距离关乎疏散路径规划是否科学.
(1)x用于表示通道上某火灾探测器到安全出口的距离（单位：m），满足1＜x＜a，其对应的整数解仅有1个，确定a的取值范围.
(2)当遇到火灾、地震等特殊疏散场景时，由于现场环境复杂，火灾探测器与安全出口距离的需求发生变化，要求1＜x＜a对应的火灾探测器距离没有整数解，此时a又该在什么范围取值？
(1)x用于表示通道上某火灾探测器到安全出口的距离（单位：m），满足1＜x＜a，其对应的整数解仅有1个，确定a的取值范围.
(2)当遇到火灾、地震等特殊疏散场景时，由于现场环境复杂，火灾探测器与安全出口距离的需求发生变化，要求1＜x＜a对应的火灾探测器距离没有整数解，此时a又该在什么范围取值？
答案
6.(1) $2＜a≤ 3$.
(2) $1＜a≤ 2$.
(2) $1＜a≤ 2$.
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式整数解对应的参数范围确定，解题思路如下：首先明确x的取值范围是$1＜x＜a$，大于1的最小整数为2，再根据题目对整数解个数的要求，判断边界值a的取值，重点注意端点处等号是否可取：
(1) 若整数解仅有1个，说明唯一的整数解就是2，既要保证x能取到2，又要保证x取不到下一个整数3，据此推导a的范围；
(2) 若没有整数解，说明$1＜x＜a$的范围内不存在整数，同时要保证不等式有意义，据此推导a的范围。
【解析】
(1) 已知不等式$1 ＜ x ＜ a$的整数解仅有1个：
大于1的最小整数是2，因此该不等式唯一的整数解为2；
要使x能取到2，需满足$a ＞ 2$；
要使x取不到下一个整数3（避免出现2个整数解），需满足$a ≤ 3$；
综上可得a的取值范围是$2 ＜ a ≤ 3$。
(2) 已知不等式$1 ＜ x ＜ a$没有整数解：
首先不等式$1 ＜ x ＜ a$有意义的前提是$a ＞ 1$；
大于1的最小整数是2，要使范围内没有整数，需满足$a ≤ 2$，此时$1 ＜ x ＜ a$内的所有值都小于2，不存在整数；
综上可得a的取值范围是$1 ＜ a ≤ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 ＜ a ≤ 3}$
(2) $\boldsymbol{1 ＜ a ≤ 2}$
【知识点】
不等式的整数解、解集范围确定、端点值判断
【点评】
本题结合消防安全的实际场景考查不等式的应用，核心是根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题时可通过代入验证的方法判断端点是否符合题意，避免因漏判等号出错。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次不等式整数解对应的参数范围确定，解题思路如下：首先明确x的取值范围是$1＜x＜a$，大于1的最小整数为2，再根据题目对整数解个数的要求，判断边界值a的取值，重点注意端点处等号是否可取：
(1) 若整数解仅有1个，说明唯一的整数解就是2，既要保证x能取到2，又要保证x取不到下一个整数3，据此推导a的范围；
(2) 若没有整数解，说明$1＜x＜a$的范围内不存在整数，同时要保证不等式有意义，据此推导a的范围。
【解析】
(1) 已知不等式$1 ＜ x ＜ a$的整数解仅有1个：
大于1的最小整数是2，因此该不等式唯一的整数解为2；
要使x能取到2，需满足$a ＞ 2$；
要使x取不到下一个整数3（避免出现2个整数解），需满足$a ≤ 3$；
综上可得a的取值范围是$2 ＜ a ≤ 3$。
(2) 已知不等式$1 ＜ x ＜ a$没有整数解：
首先不等式$1 ＜ x ＜ a$有意义的前提是$a ＞ 1$；
大于1的最小整数是2，要使范围内没有整数，需满足$a ≤ 2$，此时$1 ＜ x ＜ a$内的所有值都小于2，不存在整数；
综上可得a的取值范围是$1 ＜ a ≤ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 ＜ a ≤ 3}$
(2) $\boldsymbol{1 ＜ a ≤ 2}$
【知识点】
不等式的整数解、解集范围确定、端点值判断
【点评】
本题结合消防安全的实际场景考查不等式的应用，核心是根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题时可通过代入验证的方法判断端点是否符合题意，避免因漏判等号出错。
【难度系数】
0.7
⑦ 消防通道被占用将严重阻碍灭火救援.通道堵塞会延误消防车通行.
某消防通道总宽度为6 m.乱停车占用部分宽度，占用比例为$r$（即占用宽度占总宽度的比例），可用宽度为$6(1-r)$ m.消防车宽2.5 m，需要直行通过.
（1）写出消防车能通行的条件不等式（用$r$表示）.
（2）求解不等式，得到$r$的取值范围（结果用分式表示）.
（3）当$r=0.3$时，消防车能否通行？验证并说明理由.
某消防通道总宽度为6 m.乱停车占用部分宽度，占用比例为$r$（即占用宽度占总宽度的比例），可用宽度为$6(1-r)$ m.消防车宽2.5 m，需要直行通过.
（1）写出消防车能通行的条件不等式（用$r$表示）.
（2）求解不等式，得到$r$的取值范围（结果用分式表示）.
（3）当$r=0.3$时，消防车能否通行？验证并说明理由.
答案
7.(1) $2.5 ≤ 6(1-r)$.
(2) $0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}$ .
(3) $r=0.3$ 时, 可用宽度为 $6×(1-0.3)=4.2$ m, 可以通行.
(2) $0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}$ .
(3) $r=0.3$ 时, 可用宽度为 $6×(1-0.3)=4.2$ m, 可以通行.
解析
【分析】
（1）消防车能通行的前提是消防通道的可用宽度不小于消防车自身的宽度，找到两个对应量：可用宽度为$6(1-r)$m，消防车宽度为2.5m，直接根据不等关系列不等式即可；（2）解一元一次不等式按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，同时结合“占用比例r不可能为负数”的实际意义，即可得到r的取值范围；（3）将$r=0.3$代入可用宽度的表达式计算出结果，再和消防车宽度比较大小，就能判断是否可以通行。
【解析】
（1）要使消防车能通行，需通道可用宽度≥消防车宽度，因此可列不等式：
$\boldsymbol{2.5 ≤ 6(1-r)}$
（2）解不等式$2.5 ≤ 6(1-r)$：
去括号得：$2.5 ≤ 6 - 6r$
移项得：$6r ≤ 6 - 2.5$
合并同类项得：$6r ≤ 3.5$
系数化为1得：$r ≤ \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$
结合实际意义，占用比例$r ≥ 0$，因此r的取值范围为$\boldsymbol{0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}}$。
（3）当$r=0.3$时，代入可用宽度公式计算：
可用宽度$=6×(1-0.3)=6×0.7=4.2$m
因为$4.2＞2.5$，即可用宽度大于消防车宽度，因此消防车可以通行。
【答案】
(1) $2.5 ≤ 6(1-r)$
(2) $0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}$
(3) 可以通行，当$r=0.3$时，可用宽度为$6×(1-0.3)=4.2$ m，大于消防车宽度2.5m，满足通行条件。
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式实际应用
【点评】
本题结合生活中消防通道的实际场景考查不等式的基础应用，解题时要注意结合实际意义确定未知数的取值边界，整体考查的都是基础内容，贴合生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
（1）消防车能通行的前提是消防通道的可用宽度不小于消防车自身的宽度，找到两个对应量：可用宽度为$6(1-r)$m，消防车宽度为2.5m，直接根据不等关系列不等式即可；（2）解一元一次不等式按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，同时结合“占用比例r不可能为负数”的实际意义，即可得到r的取值范围；（3）将$r=0.3$代入可用宽度的表达式计算出结果，再和消防车宽度比较大小，就能判断是否可以通行。
【解析】
（1）要使消防车能通行，需通道可用宽度≥消防车宽度，因此可列不等式：
$\boldsymbol{2.5 ≤ 6(1-r)}$
（2）解不等式$2.5 ≤ 6(1-r)$：
去括号得：$2.5 ≤ 6 - 6r$
移项得：$6r ≤ 6 - 2.5$
合并同类项得：$6r ≤ 3.5$
系数化为1得：$r ≤ \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$
结合实际意义，占用比例$r ≥ 0$，因此r的取值范围为$\boldsymbol{0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}}$。
（3）当$r=0.3$时，代入可用宽度公式计算：
可用宽度$=6×(1-0.3)=6×0.7=4.2$m
因为$4.2＞2.5$，即可用宽度大于消防车宽度，因此消防车可以通行。
【答案】
(1) $2.5 ≤ 6(1-r)$
(2) $0 ≤ r ≤ \frac{7}{12}$
(3) 可以通行，当$r=0.3$时，可用宽度为$6×(1-0.3)=4.2$ m，大于消防车宽度2.5m，满足通行条件。
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式实际应用
【点评】
本题结合生活中消防通道的实际场景考查不等式的基础应用，解题时要注意结合实际意义确定未知数的取值边界，整体考查的都是基础内容，贴合生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
