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① 化简分式：
(1) $\frac{4}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}$；
(2) $(1 - \frac{a}{a-2}) ÷ \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4}$。
(1) $\frac{4}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}$；
(2) $(1 - \frac{a}{a-2}) ÷ \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4}$。
答案
1.(1) $-\frac{1}{x+2}$
(2) $-\frac{2}{a+2}$
(2) $-\frac{2}{a+2}$
解析
【分析】
分式化简的核心思路是先明确运算顺序，再通过通分、因式分解、约分得到最简结果：
1. 分式加减运算，首先将各分母因式分解，找到最简公分母通分后，分子相加减，最后约分化简；
2. 含括号、除法的分式混合运算，先算括号内的运算，再将除法转化为乘法，对各分子分母因式分解后交叉约分即可，计算过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 先利用平方差公式因式分解第一个分式的分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，可得最简公分母为$(x+2)(x-2)$，通分计算：
$\begin{aligned}\frac{4}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}&=\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{4-(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，利用完全平方公式、平方差公式因式分解后约分：
$\begin{aligned}(1 - \frac{a}{a-2}) ÷ \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4}&=(\frac{a-2}{a-2}-\frac{a}{a-2}) × \frac{a^2-4a+4}{a^2-4}\\&=\frac{a-2-a}{a-2} × \frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-2}{a-2} × \frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=-\frac{2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{x+2}$；(2) $-\frac{2}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，通分与约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，重点考察分式运算的基本规则和因式分解的应用，计算时需特别注意分子去括号时的符号变化，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
分式化简的核心思路是先明确运算顺序，再通过通分、因式分解、约分得到最简结果：
1. 分式加减运算，首先将各分母因式分解，找到最简公分母通分后，分子相加减，最后约分化简；
2. 含括号、除法的分式混合运算，先算括号内的运算，再将除法转化为乘法，对各分子分母因式分解后交叉约分即可，计算过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 先利用平方差公式因式分解第一个分式的分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，可得最简公分母为$(x+2)(x-2)$，通分计算：
$\begin{aligned}\frac{4}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}&=\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{4-(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，利用完全平方公式、平方差公式因式分解后约分：
$\begin{aligned}(1 - \frac{a}{a-2}) ÷ \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4}&=(\frac{a-2}{a-2}-\frac{a}{a-2}) × \frac{a^2-4a+4}{a^2-4}\\&=\frac{a-2-a}{a-2} × \frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-2}{a-2} × \frac{(a-2)^2}{(a+2)(a-2)}\\&=-\frac{2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{x+2}$；(2) $-\frac{2}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，通分与约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，重点考察分式运算的基本规则和因式分解的应用，计算时需特别注意分子去括号时的符号变化，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
② 下列条件中能判定$△ ABC ≌ △ DEF$的是（
A.$AB=DE$，$BC=EF$，$∠ A = ∠ D$
B.$∠ A = ∠ D$，$∠ B = ∠ E$，$∠ C = ∠ F$
C.$AC=DF$，$∠ B = ∠ F$，$AB=DE$
D.$∠ B = ∠ E$，$∠ C = ∠ F$，$AC=DF$
D
）A.$AB=DE$，$BC=EF$，$∠ A = ∠ D$
B.$∠ A = ∠ D$，$∠ B = ∠ E$，$∠ C = ∠ F$
C.$AC=DF$，$∠ B = ∠ F$，$AB=DE$
D.$∠ B = ∠ E$，$∠ C = ∠ F$，$AC=DF$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查全等三角形的判定，解题思路如下：首先回忆全等三角形的常用判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意AAA（三角对应相等）、SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定一般三角形全等；再逐一分析每个选项的条件，判断是否符合上述判定定理，同时注意边和角的对应关系是否匹配即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 条件为$AB=DE$，$BC=EF$，$∠A=∠D$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不满足全等三角形的判定定理，不能判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故A错误；
B. 条件为$∠A=∠D$，$∠B=∠E$，$∠C=∠F$，属于三角对应相等（AAA），只能证明两个三角形相似，不能判定全等，故B错误；
C. 条件为$AC=DF$，$∠B=∠F$，$AB=DE$，边和角不满足对应相等的要求，不符合任何全等判定定理，不能判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故C错误；
D. 条件为$∠B=∠E$，$∠C=∠F$，$AC=DF$，其中$AC$是$△ ABC$中$∠B$的对边，$DF$是$△ DEF$中$∠E$的对边，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的判定定理，可以判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA、AAA不能判定三角形全等，同时要注意判定时边和角的对应关系，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查全等三角形的判定，解题思路如下：首先回忆全等三角形的常用判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意AAA（三角对应相等）、SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定一般三角形全等；再逐一分析每个选项的条件，判断是否符合上述判定定理，同时注意边和角的对应关系是否匹配即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 条件为$AB=DE$，$BC=EF$，$∠A=∠D$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不满足全等三角形的判定定理，不能判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故A错误；
B. 条件为$∠A=∠D$，$∠B=∠E$，$∠C=∠F$，属于三角对应相等（AAA），只能证明两个三角形相似，不能判定全等，故B错误；
C. 条件为$AC=DF$，$∠B=∠F$，$AB=DE$，边和角不满足对应相等的要求，不符合任何全等判定定理，不能判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故C错误；
D. 条件为$∠B=∠E$，$∠C=∠F$，$AC=DF$，其中$AC$是$△ ABC$中$∠B$的对边，$DF$是$△ DEF$中$∠E$的对边，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的判定定理，可以判定$△ ABC ≌ △ DEF$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA、AAA不能判定三角形全等，同时要注意判定时边和角的对应关系，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
③ 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
B
）答案
3.B
解析
【分析】
解题时需先明确轴对称图形和中心对称图形的判定标准：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分可完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。接下来依次对四个选项进行判定，筛选出同时满足两种对称性质的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：该图形沿过三角形顶点和对边中点的直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
2. 选项B：该图形是带两条对角线的正方形，沿对边中点连线、对角线折叠均可重合，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后能和原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求。
3. 选项C：该图形是普通平行四边形，不存在能使它折叠后两侧重合的直线，不属于轴对称图形；虽然绕中心旋转180°可与原图形重合，是中心对称图形，但不符合要求。
4. 选项D：该图形不存在对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对两类对称图形定义的掌握程度，熟悉常见几何图形的对称性质可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确轴对称图形和中心对称图形的判定标准：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分可完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。接下来依次对四个选项进行判定，筛选出同时满足两种对称性质的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：该图形沿过三角形顶点和对边中点的直线折叠可重合，属于轴对称图形；但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
2. 选项B：该图形是带两条对角线的正方形，沿对边中点连线、对角线折叠均可重合，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后能和原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求。
3. 选项C：该图形是普通平行四边形，不存在能使它折叠后两侧重合的直线，不属于轴对称图形；虽然绕中心旋转180°可与原图形重合，是中心对称图形，但不符合要求。
4. 选项D：该图形不存在对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对两类对称图形定义的掌握程度，熟悉常见几何图形的对称性质可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
④ 如右图所示，已知$△ ABC$的周长为1，连接$△ ABC$三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（
A.$\frac{1}{2007}$
B.$\frac{1}{2008}$
C.$\frac{1}{2^{2007}}$
D.$\frac{1}{2^{2008}}$
C
）A.$\frac{1}{2007}$
B.$\frac{1}{2008}$
C.$\frac{1}{2^{2007}}$
D.$\frac{1}{2^{2008}}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中位线的性质，推导后一个三角形周长和前一个三角形周长的数量关系，再通过前几个三角形的周长变化总结出通用规律，最后代入n=2008计算即可得到结果。
【解析】
已知第1个三角形（即△ABC）的周长为1。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于对应第三边长度的$\frac{1}{2}$，因此连接三边中点得到的新三角形，每条边长均为原三角形对应边长的$\frac{1}{2}$，则新三角形周长是原三角形周长的$\frac{1}{2}$。
由此可得：
第2个三角形周长为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$；
第3个三角形周长为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
……
以此类推，第n个三角形的周长为$\frac{1}{2^{n-1}}$。
当n=2008时，第2008个三角形的周长为$\frac{1}{2^{2008-1}}=\frac{1}{2^{2007}}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、图形规律探究、周长计算
【点评】
本题是几何性质和规律探究结合的典型题目，核心考查三角形中位线性质的应用，需要学生具备从特殊到一般的规律总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中位线的性质，推导后一个三角形周长和前一个三角形周长的数量关系，再通过前几个三角形的周长变化总结出通用规律，最后代入n=2008计算即可得到结果。
【解析】
已知第1个三角形（即△ABC）的周长为1。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于对应第三边长度的$\frac{1}{2}$，因此连接三边中点得到的新三角形，每条边长均为原三角形对应边长的$\frac{1}{2}$，则新三角形周长是原三角形周长的$\frac{1}{2}$。
由此可得：
第2个三角形周长为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$；
第3个三角形周长为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
……
以此类推，第n个三角形的周长为$\frac{1}{2^{n-1}}$。
当n=2008时，第2008个三角形的周长为$\frac{1}{2^{2008-1}}=\frac{1}{2^{2007}}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、图形规律探究、周长计算
【点评】
本题是几何性质和规律探究结合的典型题目，核心考查三角形中位线性质的应用，需要学生具备从特殊到一般的规律总结能力。
【难度系数】
0.7
⑤ 将$x^n - y^n$分解因式的结果为$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$，则$n$的值为
4
。答案
5.4
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，已知$x^n-y^n$分解后的因式，我们可以通过将分解结果反向相乘展开，得到原多项式，再将展开结果和$x^n-y^n$对比，根据多项式相等时对应最高次次数相等的规律，就能求出$n$的值。计算时可优先用平方差公式计算后面两个一次因式的乘积，简化计算步骤。
【解析】
解：
∵因式分解与整式乘法互为逆运算，因此$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$展开后与$x^n - y^n$完全相等。
第一步，先利用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$：
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
第二步，将上述结果与$(x^2+y^2)$相乘，再次利用平方差公式计算：
$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)=(x^2)^2-(y^2)^2=x^4-y^4$
将展开结果$x^4-y^4$和原式$x^n-y^n$对比，可得$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，因式分解的逆运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用以及对因式分解和整式乘法互逆关系的理解，解题的关键是通过反向展开因式得到原多项式，属于基础题型，熟练掌握乘法公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，已知$x^n-y^n$分解后的因式，我们可以通过将分解结果反向相乘展开，得到原多项式，再将展开结果和$x^n-y^n$对比，根据多项式相等时对应最高次次数相等的规律，就能求出$n$的值。计算时可优先用平方差公式计算后面两个一次因式的乘积，简化计算步骤。
【解析】
解：
∵因式分解与整式乘法互为逆运算，因此$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$展开后与$x^n - y^n$完全相等。
第一步，先利用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$：
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
第二步，将上述结果与$(x^2+y^2)$相乘，再次利用平方差公式计算：
$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)=(x^2)^2-(y^2)^2=x^4-y^4$
将展开结果$x^4-y^4$和原式$x^n-y^n$对比，可得$n=4$。
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，因式分解的逆运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用以及对因式分解和整式乘法互逆关系的理解，解题的关键是通过反向展开因式得到原多项式，属于基础题型，熟练掌握乘法公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
