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1 一元二次方程$3x(x-5)=5(5-x)$的根是 （
A.$x_1=x_2=-\dfrac{5}{3}$
B.$x_1=x_2=5$
C.$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=5$
D.$x_1=-\dfrac{5}{3},x_2=5$
D
）A.$x_1=x_2=-\dfrac{5}{3}$
B.$x_1=x_2=5$
C.$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=5$
D.$x_1=-\dfrac{5}{3},x_2=5$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题时注意不能直接给方程两边同时除以含未知数的整式（如$x-5$），否则会漏掉$x=5$这个根。正确思路是先移项，将等式右边的项移到左边，再利用$5-x$和$x-5$互为相反数的关系变形，提取公因式$(x-5)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得
$3x(x-5) - 5(5-x) = 0$
变形得 $3x(x-5) + 5(x-5) = 0$
提取公因式$(x-5)$，得
$(x-5)(3x + 5) = 0$
则$x-5=0$或$3x+5=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题时注意不能直接给方程两边同时除以含未知数的整式（如$x-5$），否则会漏掉$x=5$这个根。正确思路是先移项，将等式右边的项移到左边，再利用$5-x$和$x-5$互为相反数的关系变形，提取公因式$(x-5)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得
$3x(x-5) - 5(5-x) = 0$
变形得 $3x(x-5) + 5(x-5) = 0$
提取公因式$(x-5)$，得
$(x-5)(3x + 5) = 0$
则$x-5=0$或$3x+5=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-\dfrac{5}{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2 方程$x^2 - 2x - 24 = 0$的根是 （
A.$x_1=6, x_2=4$
B.$x_1=6, x_2=-4$
C.$x_1=-6, x_2=4$
D.$x_1=-6, x_2=-4$
B
）A.$x_1=6, x_2=4$
B.$x_1=6, x_2=-4$
C.$x_1=-6, x_2=4$
D.$x_1=-6, x_2=-4$
答案
2. B
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，对应因式分解法解一元二次方程的知识点，优先用十字相乘法因式分解求解。解题思路为：先将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【解析】
方法一（因式分解法）：
对于方程$x^2 - 2x - 24 = 0$，用十字相乘法分解左侧二次三项式：
常数项为$-24$，一次项系数为$-2$，找到两个数$-6$和$4$，满足$-6 × 4 = -24$，$-6 + 4 = -2$，因此方程可变形为：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
令每个因式等于0，得：
$x - 6 = 0$ 或 $x + 4 = 0$
分别解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
方法二（代入验证法）：
将各选项的根依次代入原方程验证，仅$x=6$和$x=-4$代入时方程左右两边相等，因此B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握十字相乘法的分解技巧可以快速得到方程的根，相较于公式法、配方法能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.85
本题要求一元二次方程的根，对应因式分解法解一元二次方程的知识点，优先用十字相乘法因式分解求解。解题思路为：先将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【解析】
方法一（因式分解法）：
对于方程$x^2 - 2x - 24 = 0$，用十字相乘法分解左侧二次三项式：
常数项为$-24$，一次项系数为$-2$，找到两个数$-6$和$4$，满足$-6 × 4 = -24$，$-6 + 4 = -2$，因此方程可变形为：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
令每个因式等于0，得：
$x - 6 = 0$ 或 $x + 4 = 0$
分别解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
方法二（代入验证法）：
将各选项的根依次代入原方程验证，仅$x=6$和$x=-4$代入时方程左右两边相等，因此B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握十字相乘法的分解技巧可以快速得到方程的根，相较于公式法、配方法能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.85
3（1）一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是
$x_1=2,x_2=-7$
；答案
(1) $x_1=2,x_2=-7$
解析
【分析】
观察方程形式，左边是两个一次整式的乘积，右边为0，符合因式分解法解一元二次方程的标准形式。根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
根据零乘积性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，因此原方程可转化为两个一元一次方程：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解$x-2=0$，得$x_1=2$；
解$x+7=0$，得$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，直接给出了因式分解后的方程形式，熟练掌握零乘积性质，能快速将二次方程降次为一次方程求解，有助于巩固因式分解法解方程的基本思路。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左边是两个一次整式的乘积，右边为0，符合因式分解法解一元二次方程的标准形式。根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
根据零乘积性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，因此原方程可转化为两个一元一次方程：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解$x-2=0$，得$x_1=2$；
解$x+7=0$，得$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，直接给出了因式分解后的方程形式，熟练掌握零乘积性质，能快速将二次方程降次为一次方程求解，有助于巩固因式分解法解方程的基本思路。
【难度系数】
0.9
(2) [2024 滨州]方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根为
$x_1=0,x_2=4$
.答案
(2) $x_1=0,x_2=4$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的根，观察方程特征：等号右侧为0，左侧多项式存在公因式x，适合用因式分解法求解。解题思路是先对左侧多项式提取公因式进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x - 4) = 0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则其中至少一个数为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；当$x-4=0$时，解得$x=4$。
所以原方程的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解的方法以及因式分解法解方程的原理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的根，观察方程特征：等号右侧为0，左侧多项式存在公因式x，适合用因式分解法求解。解题思路是先对左侧多项式提取公因式进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x - 4) = 0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则其中至少一个数为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；当$x-4=0$时，解得$x=4$。
所以原方程的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解的方法以及因式分解法解方程的原理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
4 一元二次方程 $x^2 + 3 - 2\sqrt{3}x = 0$ 的根是
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
.答案
4. $x_1=x_2=\sqrt{3}$
解析
【分析】
解本题首先将给定的一元二次方程按未知数降幂排列整理为标准形式，观察方程左边的代数式结构，发现其符合完全平方公式的形式，因此选择因式分解法中的完全平方公式对左边进行因式分解，再求解方程的根即可。
【解析】
第一步：整理原方程，按$x$的降幂排列得：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
第二步：利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$对左边因式分解，其中$a=x$，$b=\sqrt{3}$，可得：
$(x - \sqrt{3})^2 = 0$
第三步：开平方得$x - \sqrt{3} = 0$，因此方程有两个相等的实数根，解得：
$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程解法的灵活运用，解题的核心是能够快速识别方程左边的完全平方结构，通过因式分解简化计算，避免使用求根公式带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
解本题首先将给定的一元二次方程按未知数降幂排列整理为标准形式，观察方程左边的代数式结构，发现其符合完全平方公式的形式，因此选择因式分解法中的完全平方公式对左边进行因式分解，再求解方程的根即可。
【解析】
第一步：整理原方程，按$x$的降幂排列得：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
第二步：利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$对左边因式分解，其中$a=x$，$b=\sqrt{3}$，可得：
$(x - \sqrt{3})^2 = 0$
第三步：开平方得$x - \sqrt{3} = 0$，因此方程有两个相等的实数根，解得：
$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程解法的灵活运用，解题的核心是能够快速识别方程左边的完全平方结构，通过因式分解简化计算，避免使用求根公式带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
5 若关于x的方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的一个解是$x=-2$，则k的值为
0或4
。答案
5. 0或4
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程解的定义求解。方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知解x=-2代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元二次方程，再用因式分解法解这个方程就能求出k的值。
【解析】
将x=-2代入方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$，得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简计算：
$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项合并同类项：
$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：
$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：
$k(k - 4) = 0$
则$k=0$或$k-4=0$，解得$k=0$或$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程解的含义，将已知解代入原方程把求参数的问题转化为解一元二次方程的问题，计算量小，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程解的定义求解。方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知解x=-2代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元二次方程，再用因式分解法解这个方程就能求出k的值。
【解析】
将x=-2代入方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$，得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简计算：
$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项合并同类项：
$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：
$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：
$k(k - 4) = 0$
则$k=0$或$k-4=0$，解得$k=0$或$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程解的含义，将已知解代入原方程把求参数的问题转化为解一元二次方程的问题，计算量小，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6 教材变式题 用因式分解法解下列方程：
(1) $-4x^2 + \sqrt{5}x = 0$；
(2) $36x^2 + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
(3) $[2025$ 昆山市模拟$](x-3)^2 = 2(x-3)$；
(4) 一题多解 $(3y+2)^2 -4y^2 =0$。
(1) $-4x^2 + \sqrt{5}x = 0$；
(2) $36x^2 + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
(3) $[2025$ 昆山市模拟$](x-3)^2 = 2(x-3)$；
(4) 一题多解 $(3y+2)^2 -4y^2 =0$。
答案
6. (1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=5$
(4) 解法一(因式分解法):原方程可变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$,即$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0,\therefore 3y+2-2y=0$或$3y+2+2y=0$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解法二(直接开平方法):移项,得$(3y+2)^2=4y^2$,直接开平方,得$3y+2=\pm \sqrt{4y^2}$,即$3y+2=\pm|2y|,\therefore 3y+2=\pm 2y$,即$3y+2=2y$或$3y+2=-2y,\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=5$
(4) 解法一(因式分解法):原方程可变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$,即$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0,\therefore 3y+2-2y=0$或$3y+2+2y=0$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解法二(直接开平方法):移项,得$(3y+2)^2=4y^2$,直接开平方,得$3y+2=\pm \sqrt{4y^2}$,即$3y+2=\pm|2y|,\therefore 3y+2=\pm 2y$,即$3y+2=2y$或$3y+2=-2y,\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解，解题时注意不要随意两边除以含未知数的整式，否则会漏根。
(1) 方程左边无常数项，可先提取公因式x，再令两个因式分别为0求解；
(2) 方程左边符合完全平方式特征，直接用完全平方公式因式分解后求解；
(3) 将(x-3)看作整体，先移项使方程右边为0，再提取公因式(x-3)求解，切忌直接两边除以(x-3)导致漏根；
(4) 方法一：左边是两个平方的差，用平方差公式因式分解求解；方法二：移项后两边均为完全平方式，直接开平方转化为一次方程求解。
【解析】
(1) 提取公因式$x$，得$x(-4x+\sqrt{5})=0$
$\therefore x=0$或$-4x+\sqrt{5}=0$
解$-4x+\sqrt{5}=0$得$x=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) 左边用完全平方公式因式分解，得$(6x+\frac{1}{2})^2=0$
$\therefore 6x+\frac{1}{2}=0$，解得$x=-\frac{1}{12}$
(3) 移项得$(x-3)^2 - 2(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(x-3-2)=0$，即$(x-3)(x-5)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$，分别解得$x=3$、$x=5$
(4) 解法一（因式分解法）：
原方程变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$
用平方差公式因式分解得$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$，即$(y+2)(5y+2)=0$
$\therefore y+2=0$或$5y+2=0$，分别解得$y=-2$、$y=-\frac{2}{5}$
解法二（直接开平方法）：
移项得$(3y+2)^2=4y^2$
直接开平方得$3y+2=\pm 2y$
$\therefore 3y+2=2y$或$3y+2=-2y$，分别解得$y=-2$、$y=-\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=5$
(4) $y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法、乘法公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的典型基础题，覆盖了提公因式、公式法两类常用因式分解思路，还涉及整体因式分解和一题多解的拓展，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根，能有效巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解，解题时注意不要随意两边除以含未知数的整式，否则会漏根。
(1) 方程左边无常数项，可先提取公因式x，再令两个因式分别为0求解；
(2) 方程左边符合完全平方式特征，直接用完全平方公式因式分解后求解；
(3) 将(x-3)看作整体，先移项使方程右边为0，再提取公因式(x-3)求解，切忌直接两边除以(x-3)导致漏根；
(4) 方法一：左边是两个平方的差，用平方差公式因式分解求解；方法二：移项后两边均为完全平方式，直接开平方转化为一次方程求解。
【解析】
(1) 提取公因式$x$，得$x(-4x+\sqrt{5})=0$
$\therefore x=0$或$-4x+\sqrt{5}=0$
解$-4x+\sqrt{5}=0$得$x=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) 左边用完全平方公式因式分解，得$(6x+\frac{1}{2})^2=0$
$\therefore 6x+\frac{1}{2}=0$，解得$x=-\frac{1}{12}$
(3) 移项得$(x-3)^2 - 2(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得$(x-3)(x-3-2)=0$，即$(x-3)(x-5)=0$
$\therefore x-3=0$或$x-5=0$，分别解得$x=3$、$x=5$
(4) 解法一（因式分解法）：
原方程变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$
用平方差公式因式分解得$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$，即$(y+2)(5y+2)=0$
$\therefore y+2=0$或$5y+2=0$，分别解得$y=-2$、$y=-\frac{2}{5}$
解法二（直接开平方法）：
移项得$(3y+2)^2=4y^2$
直接开平方得$3y+2=\pm 2y$
$\therefore 3y+2=2y$或$3y+2=-2y$，分别解得$y=-2$、$y=-\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=5$
(4) $y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法、乘法公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的典型基础题，覆盖了提公因式、公式法两类常用因式分解思路，还涉及整体因式分解和一题多解的拓展，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根，能有效巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
7 已知关于$x$的一元二次方程$(k-6)x^2 + 6x + k^2 - 6k = 0$的一个根是$x=0$，则$k$的值是 （
A.6
B.0
C.6或0
D.－6或0
B
）A.6
B.0
C.6或0
D.－6或0
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先明确两点：一是方程的根能使方程左右两边相等，可将x=0代入原方程得到关于k的方程，求出k的初步取值；二是题目明确说明这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要对求出的k值进行检验，舍去不符合条件的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将x=0代入原方程，得：
$(k-6)×0^2 + 6×0 + k^2 -6k =0$
化简得：$k^2 -6k =0$
因式分解得：$k(k-6)=0$
解得：$k=0$或$k=6$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$k-6≠0$，解得$k≠6$
因此舍去$k=6$，最终$k=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，方程根的定义，因式分解解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，误选C，因此求解含参数的一元二次方程问题时，要先确认二次项系数不为0的限制条件，再对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两点：一是方程的根能使方程左右两边相等，可将x=0代入原方程得到关于k的方程，求出k的初步取值；二是题目明确说明这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要对求出的k值进行检验，舍去不符合条件的取值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将x=0代入原方程，得：
$(k-6)×0^2 + 6×0 + k^2 -6k =0$
化简得：$k^2 -6k =0$
因式分解得：$k(k-6)=0$
解得：$k=0$或$k=6$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$k-6≠0$，解得$k≠6$
因此舍去$k=6$，最终$k=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，方程根的定义，因式分解解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，误选C，因此求解含参数的一元二次方程问题时，要先确认二次项系数不为0的限制条件，再对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
8 [2025常熟市段考]已知一个菱形的边长是方程$x^2 -8x +15=0$的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（
A.48
B.24
C.24或$8\sqrt{7}$
D.48或$3\sqrt{7}$
B
）A.48
B.24
C.24或$8\sqrt{7}$
D.48或$3\sqrt{7}$
答案
8. B
解析
【分析】
解题首先需要通过因式分解法求解一元二次方程，得到菱形边长的两个可能值；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，判断边长和半条已知对角线的大小关系（直角三角形中斜边大于直角边），排除不符合实际的边长；最后用勾股定理求出另一条对角线的长度，代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：对$x^2 -8x +15=0$因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长可能为3或5。
2. 筛选合理的边长：已知菱形一条对角线长为8，则其一半长度为$8÷2=4$。因为菱形对角线互相垂直平分，所以半条对角线、半条另一条对角线和边长构成直角三角形，边长为直角三角形的斜边，斜边必须大于直角边，因此边长不能为3（$3＜4$，无法构成直角三角形），故菱形边长为5。
3. 计算另一条对角线长度：由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，因此整条对角线长为$3×2=6$。
4. 计算菱形面积：菱形面积等于对角线乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}×8×6=24$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的求解与菱形相关性质的应用，解题时要注意结合三角形的三边关系排除不符合题意的根，避免因忽略隐含条件错选。
【难度系数】
0.6
解题首先需要通过因式分解法求解一元二次方程，得到菱形边长的两个可能值；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，判断边长和半条已知对角线的大小关系（直角三角形中斜边大于直角边），排除不符合实际的边长；最后用勾股定理求出另一条对角线的长度，代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：对$x^2 -8x +15=0$因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长可能为3或5。
2. 筛选合理的边长：已知菱形一条对角线长为8，则其一半长度为$8÷2=4$。因为菱形对角线互相垂直平分，所以半条对角线、半条另一条对角线和边长构成直角三角形，边长为直角三角形的斜边，斜边必须大于直角边，因此边长不能为3（$3＜4$，无法构成直角三角形），故菱形边长为5。
3. 计算另一条对角线长度：由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，因此整条对角线长为$3×2=6$。
4. 计算菱形面积：菱形面积等于对角线乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}×8×6=24$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的求解与菱形相关性质的应用，解题时要注意结合三角形的三边关系排除不符合题意的根，避免因忽略隐含条件错选。
【难度系数】
0.6
9 [2025高新区段考]已知实数x满足$(x^2 - x)^2 - 2(x^2 - x) -15=0$，则代数式$x^2 - x$的值 是
5
答案
9. 5
解析
【分析】
观察原方程的结构，发现$x^2 - x$作为整体重复出现，因此可采用换元法简化方程：设$t = x^2 - x$，将原四次方程转化为关于$t$的一元二次方程求解。由于$x$是实数，因此$t = x^2 - x$对应的一元二次方程要有实根，需结合根的判别式排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$ t = x^2 - x $，
因为$x$为实数，所以关于$x$的一元二次方程$x^2 - x - t = 0$有实根，
其判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-t) = 1 + 4t ≥ 0$，解得$t ≥ -\frac{1}{4}$。
将$ t = x^2 - x $代入原方程，得：
$t^2 - 2t - 15 = 0$
对左边因式分解得：$(t - 5)(t + 3) = 0$
所以$t - 5 = 0$或$t + 3 = 0$，
解得$t_1 = 5$，$t_2 = -3$。
因为$-3 ＜ -\frac{1}{4}$，不符合$t$的取值范围，故舍去，
因此$t = 5$，即$x^2 - x = 5$。
【答案】
5
【知识点】
换元法、因式分解法解方程、根的判别式
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意换元后新未知数的取值范围，避免遗漏验证步骤产生增根，熟练掌握一元二次方程的基本解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
观察原方程的结构，发现$x^2 - x$作为整体重复出现，因此可采用换元法简化方程：设$t = x^2 - x$，将原四次方程转化为关于$t$的一元二次方程求解。由于$x$是实数，因此$t = x^2 - x$对应的一元二次方程要有实根，需结合根的判别式排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$ t = x^2 - x $，
因为$x$为实数，所以关于$x$的一元二次方程$x^2 - x - t = 0$有实根，
其判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-t) = 1 + 4t ≥ 0$，解得$t ≥ -\frac{1}{4}$。
将$ t = x^2 - x $代入原方程，得：
$t^2 - 2t - 15 = 0$
对左边因式分解得：$(t - 5)(t + 3) = 0$
所以$t - 5 = 0$或$t + 3 = 0$，
解得$t_1 = 5$，$t_2 = -3$。
因为$-3 ＜ -\frac{1}{4}$，不符合$t$的取值范围，故舍去，
因此$t = 5$，即$x^2 - x = 5$。
【答案】
5
【知识点】
换元法、因式分解法解方程、根的判别式
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意换元后新未知数的取值范围，避免遗漏验证步骤产生增根，熟练掌握一元二次方程的基本解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
10 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -9x +20=0$的两个根恰好分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长，则$△ ABC$的面积为________。
答案
10. 6或10
解析
【分析】
要计算Rt△ABC的面积，需先确定它的两条直角边长。解题思路如下：第一步，用因式分解法解给定的一元二次方程，得到方程的两个根，即Rt△ABC的两条边长；第二步，由于题目未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：一是两条边均为直角边，可直接代入面积公式计算；二是较长的边为斜边，较短边为直角边，先通过勾股定理求出另一条直角边，再计算面积，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
对左边因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
则$x-4=0$或$x-5=0$，解得$x_1=4$，$x_2=5$，即Rt△ABC的两边长为4和5。
第二步：分类讨论计算面积
情况1：当4和5均为Rt△ABC的直角边长时，
三角形面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$。
情况2：当5为Rt△ABC的斜边长，4为直角边长时，
由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
此时三角形面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
综上，△ABC的面积为6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认4和5均为直角边导致漏解。遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，要先对已知边的类型进行分类，还要注意斜边一定长于任意一条直角边，避免出现无效的分类情况。
【难度系数】
0.7
要计算Rt△ABC的面积，需先确定它的两条直角边长。解题思路如下：第一步，用因式分解法解给定的一元二次方程，得到方程的两个根，即Rt△ABC的两条边长；第二步，由于题目未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：一是两条边均为直角边，可直接代入面积公式计算；二是较长的边为斜边，较短边为直角边，先通过勾股定理求出另一条直角边，再计算面积，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
对左边因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
则$x-4=0$或$x-5=0$，解得$x_1=4$，$x_2=5$，即Rt△ABC的两边长为4和5。
第二步：分类讨论计算面积
情况1：当4和5均为Rt△ABC的直角边长时，
三角形面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$。
情况2：当5为Rt△ABC的斜边长，4为直角边长时，
由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
此时三角形面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
综上，△ABC的面积为6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认4和5均为直角边导致漏解。遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，要先对已知边的类型进行分类，还要注意斜边一定长于任意一条直角边，避免出现无效的分类情况。
【难度系数】
0.7
