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1 如图，在$△ ABC$中，F是高AD和BE的交点.若$AD=BD$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，则BF的长是 （
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.9 cm
（第1题）
C
）A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.9 cm
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
要计算BF的长，已知AC的长度，可通过证明BF与AC所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先由AD、BE是三角形的高可得多个直角，再根据同角的余角相等推出∠FBD=∠CAD，结合已知AD=BD，即可证明△BDF和△ADC全等，进而得到BF=AC。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠FBD = ∠CAD（同角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠FBD=∠CAD \\BD=AD \\∠BDF=∠ADC=90°\end{array} $
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=8 cm，
∴BF=8 cm。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题的关键是结合高的性质推导角相等，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要计算BF的长，已知AC的长度，可通过证明BF与AC所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先由AD、BE是三角形的高可得多个直角，再根据同角的余角相等推出∠FBD=∠CAD，结合已知AD=BD，即可证明△BDF和△ADC全等，进而得到BF=AC。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠FBD = ∠CAD（同角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠FBD=∠CAD \\BD=AD \\∠BDF=∠ADC=90°\end{array} $
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=8 cm，
∴BF=8 cm。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题的关键是结合高的性质推导角相等，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
2 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为 (
A.8
B.7.5
C.15
D.4
B
)A.8
B.7.5
C.15
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
要计算△BCD的面积，已知底边BC的长度，只需得到BC边上的高即可。结合已知BD平分∠ABC、∠A=90°的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们可以过D作BC的垂线，该垂线段的长度就等于AD的长度，进而代入面积公式计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，得DE=AD
∵ AD=3
∴ DE=3
又
∵ BC=5
∴ △BCD的面积$S=\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是利用角平分线的性质作辅助线，将△BCD未知的高转化为已知线段AD的长度，再代入面积公式求解，解题时要熟练掌握角平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要计算△BCD的面积，已知底边BC的长度，只需得到BC边上的高即可。结合已知BD平分∠ABC、∠A=90°的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们可以过D作BC的垂线，该垂线段的长度就等于AD的长度，进而代入面积公式计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，得DE=AD
∵ AD=3
∴ DE=3
又
∵ BC=5
∴ △BCD的面积$S=\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是利用角平分线的性质作辅助线，将△BCD未知的高转化为已知线段AD的长度，再代入面积公式求解，解题时要熟练掌握角平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
3 [2024吴江区段考]如图，用尺规作一个已知角的平分线的原理如下：依据
SSS
判定△CON和△COM全等，进而得到∠AOC=∠BOC（填“SAS”“ASA”“AAS”或“SSS”）。答案
3. SSS
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆尺规作已知角平分线的操作步骤，提取作图过程中得到的相等线段，再结合全等三角形的判定定理判断对应依据即可。首先，以O为圆心画弧时，OM、ON是同圆的半径，可得OM=ON；其次，分别以M、N为圆心画弧得到交点C时，MC、NC是等半径圆弧的半径，可得MC=NC；最后两个三角形有公共边OC=OC，三边对应相等，对应SSS判定定理。
【解析】
根据尺规作角平分线的操作过程：
1. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，因此$\boldsymbol{OM=ON}$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于点C，因此$\boldsymbol{MC=NC}$；
3. OC是△COM和△CON的公共边，因此$\boldsymbol{OC=OC}$。
在△COM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\MC=NC\\OC=OC\end{array} $
因此△CON≌△COM（SSS），由全等三角形对应角相等，即可得到∠AOC=∠BOC。
【答案】
SSS
【知识点】
SSS判定全等；角平分线尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与全等三角形判定相结合，解题核心是从作图步骤中提炼出相等的边，再匹配对应的全等判定定理，属于对基础原理的考查，熟练掌握常见尺规作图的操作和原理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆尺规作已知角平分线的操作步骤，提取作图过程中得到的相等线段，再结合全等三角形的判定定理判断对应依据即可。首先，以O为圆心画弧时，OM、ON是同圆的半径，可得OM=ON；其次，分别以M、N为圆心画弧得到交点C时，MC、NC是等半径圆弧的半径，可得MC=NC；最后两个三角形有公共边OC=OC，三边对应相等，对应SSS判定定理。
【解析】
根据尺规作角平分线的操作过程：
1. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，因此$\boldsymbol{OM=ON}$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于点C，因此$\boldsymbol{MC=NC}$；
3. OC是△COM和△CON的公共边，因此$\boldsymbol{OC=OC}$。
在△COM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\MC=NC\\OC=OC\end{array} $
因此△CON≌△COM（SSS），由全等三角形对应角相等，即可得到∠AOC=∠BOC。
【答案】
SSS
【知识点】
SSS判定全等；角平分线尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与全等三角形判定相结合，解题核心是从作图步骤中提炼出相等的边，再匹配对应的全等判定定理，属于对基础原理的考查，熟练掌握常见尺规作图的操作和原理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$AD$是$△ ABC$的中线，设$AD$的长为$m$. 延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$. 由“SAS”可证得$△$
EBD
$≌△ ACD$，因此EB
$=AC=3$. 在$△ ABE$中，根据三角形三边的不等关系，可得$AE$长的取值范围是$2＜AE＜8$
，从而得到$△ ABC$的中线$AD$长的取值范围是$1＜AD＜4$
，即$m$的取值范围是$1＜m＜4$
.答案
4. EBD EB $2＜AE＜8$ $1＜AD＜4$ $1＜m＜4$
解析
【分析】
本题是典型的倍长中线构造全等三角形的题型，解题思路如下：1. 先利用中线性质得到BD=CD，结合已知DE=AD，再找对顶角相等，即可用SAS判定三角形全等；2. 利用全等三角形对应边相等，将AC转化为EB，把已知的AB、EB和待求相关的AE放在同一个△ABE中；3. 根据三角形三边关系求出AE的取值范围，再结合AE=2AD，即可推出AD（即m）的取值范围。
【解析】
第一步：证明三角形全等
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD
在△EBD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ EDB=∠ ADC(\mathrm{对顶角相等})\\ DE=AD\end{array} $
∴$△ EBD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$
第二步：得到对应边相等
由全等三角形对应边相等，得$EB=AC=3$
第三步：利用三角形三边关系求AE的范围
在△ABE中，AB=5，BE=3，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，即$5-3 ＜ AE ＜5+3$，化简得$2＜AE＜8$
第四步：推导AD（m）的取值范围
∵$AE=AD+DE=2AD=2m$
∴$2＜2m＜8$，不等式两边同时除以2，得$1＜m＜4$，即$1＜AD＜4$
【答案】
EBD；EB；$2＜AE＜8$；$1＜AD＜4$；$1＜m＜4$
【知识点】
全等三角形的SAS判定；三角形三边关系；中线的性质
【点评】
本题考查了倍长中线构造全等的常用几何方法，通过全等实现线段的转化，将分散的条件集中到同一个三角形中，再利用三边关系求解线段取值范围，熟练掌握该构造方法对解决中线相关的几何问题帮助很大。
【难度系数】
0.7
本题是典型的倍长中线构造全等三角形的题型，解题思路如下：1. 先利用中线性质得到BD=CD，结合已知DE=AD，再找对顶角相等，即可用SAS判定三角形全等；2. 利用全等三角形对应边相等，将AC转化为EB，把已知的AB、EB和待求相关的AE放在同一个△ABE中；3. 根据三角形三边关系求出AE的取值范围，再结合AE=2AD，即可推出AD（即m）的取值范围。
【解析】
第一步：证明三角形全等
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD
在△EBD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ EDB=∠ ADC(\mathrm{对顶角相等})\\ DE=AD\end{array} $
∴$△ EBD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$
第二步：得到对应边相等
由全等三角形对应边相等，得$EB=AC=3$
第三步：利用三角形三边关系求AE的范围
在△ABE中，AB=5，BE=3，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，即$5-3 ＜ AE ＜5+3$，化简得$2＜AE＜8$
第四步：推导AD（m）的取值范围
∵$AE=AD+DE=2AD=2m$
∴$2＜2m＜8$，不等式两边同时除以2，得$1＜m＜4$，即$1＜AD＜4$
【答案】
EBD；EB；$2＜AE＜8$；$1＜AD＜4$；$1＜m＜4$
【知识点】
全等三角形的SAS判定；三角形三边关系；中线的性质
【点评】
本题考查了倍长中线构造全等的常用几何方法，通过全等实现线段的转化，将分散的条件集中到同一个三角形中，再利用三边关系求解线段取值范围，熟练掌握该构造方法对解决中线相关的几何问题帮助很大。
【难度系数】
0.7
5 [2025苏州]如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，CD//BE.
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）连接DE，若AB=16，求DE的长.
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）连接DE，若AB=16，求DE的长.
答案
5. (1) $\because CD// BE,\therefore ∠ DCA=∠ B.\because C$ 是线段AB的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$. 在$△ DAC$ 和$△ ECB$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$ (2) $\because AB=16,\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8. \because CD// BE,\therefore ∠ DCE=∠ BEC. \because △ DAC≌△ ECB,\therefore CD=BE.$ 在$△ CED$ 和 $△ ECB$ 中,$\begin{cases}CD=EB,\\∠ DCE=∠ BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8$
$\therefore △ DAC≌△ ECB(\mathrm{ASA})$ (2) $\because AB=16,\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8. \because CD// BE,\therefore ∠ DCE=∠ BEC. \because △ DAC≌△ ECB,\therefore CD=BE.$ 在$△ CED$ 和 $△ ECB$ 中,$\begin{cases}CD=EB,\\∠ DCE=∠ BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8$
解析
【分析】
（1）要证明$△ DAC≌ △ ECB$，先梳理已知条件：首先由C是AB中点可得$AC=CB$，已知$∠ A=∠ ECB$，再结合$CD// BE$的条件，可利用平行线的性质得到同位角$∠ DCA=∠ B$，三个条件刚好符合ASA全等判定定理，即可完成证明。
（2）要求DE的长，需要将DE与已知长度的AB建立联系：首先由（1）的全等结论可得$CD=BE$，再结合$CD// BE$可推出$∠ DCE=∠ BEC$，加上公共边$CE$，可证明$△ CED≌ △ ECB$，得到$DE=BC$，再根据C是AB中点，BC为AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
（1）证明：$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCA=∠ B$。
$\because C$是线段$AB$的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$。
在$△ DAC$和$△ ECB$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌ △ ECB(\mathrm{ASA})$。
（2）解：$\because AB=16$，$\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8$。
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$。
$\because △ DAC≌ △ ECB$，$\therefore CD=BE$。
在$△ CED$和$△ ECB$中，
$\begin{cases}CD=EB,\\∠ DCE=∠ BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌ △ ECB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BC=8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查全等三角形判定定理和性质的综合运用，解题时要注意结合已知条件推导角、边的等量关系，找准全等三角形的对应元素即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
（1）要证明$△ DAC≌ △ ECB$，先梳理已知条件：首先由C是AB中点可得$AC=CB$，已知$∠ A=∠ ECB$，再结合$CD// BE$的条件，可利用平行线的性质得到同位角$∠ DCA=∠ B$，三个条件刚好符合ASA全等判定定理，即可完成证明。
（2）要求DE的长，需要将DE与已知长度的AB建立联系：首先由（1）的全等结论可得$CD=BE$，再结合$CD// BE$可推出$∠ DCE=∠ BEC$，加上公共边$CE$，可证明$△ CED≌ △ ECB$，得到$DE=BC$，再根据C是AB中点，BC为AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
（1）证明：$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCA=∠ B$。
$\because C$是线段$AB$的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$。
在$△ DAC$和$△ ECB$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌ △ ECB(\mathrm{ASA})$。
（2）解：$\because AB=16$，$\therefore CB=\frac{1}{2}AB=8$。
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCE=∠ BEC$。
$\because △ DAC≌ △ ECB$，$\therefore CD=BE$。
在$△ CED$和$△ ECB$中，
$\begin{cases}CD=EB,\\∠ DCE=∠ BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ CED≌ △ ECB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BC=8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查全等三角形判定定理和性质的综合运用，解题时要注意结合已知条件推导角、边的等量关系，找准全等三角形的对应元素即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
6 教材P30习题T1变式 [2025吴中区期中]△ABC的6个元素如图①所示，如图②所示的甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（
A.只有乙
B.只有丙
C.甲和乙
D.乙和丙
D
）A.只有乙
B.只有丙
C.甲和乙
D.乙和丙
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先明确△ABC的各边、各角的对应关系，再结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一对比甲、乙、丙三个三角形的已知元素，判断是否符合判定条件即可。首先整理△ABC的元素：三个内角分别为∠A=72°，∠B=50°，∠C=58°；边a是BC，夹在∠B和∠C之间；边c是AB，夹在∠A和∠B之间。接下来逐个分析：甲的已知条件属于SSA，不符合判定要求；乙满足SAS判定条件；丙满足ASA判定条件，因此乙和丙与△ABC全等。
【解析】
首先整理△ABC的元素：
由三角形内角和得∠C=180°-50°-72°=58°，其中边a为BC，是∠B和∠C的夹边；边c为AB，是∠A和∠B的夹边。
1. 分析甲：
甲的50°角是边a的对角、边c的邻角，对应△ABC中50°角（∠B）的对边为AC=b≠a，属于“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，无法判定全等，故甲与△ABC不全等。
2. 分析乙：
乙的50°角是边a和边c的夹角，对应△ABC中∠B=50°是边a（BC）和边c（AB）的夹角，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”，故乙与△ABC全等。
3. 分析丙：
丙中已知两角为50°、72°，由内角和得第三个角为180°-50°-72°=58°，边a是50°角和58°角的夹边，对应△ABC中边a（BC）是50°（∠B）和58°（∠C）的夹边，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”，故丙与△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是准确对应边、角的位置关系，牢记SSA不能作为全等三角形的判定依据，属于基础类的全等判定考查题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确△ABC的各边、各角的对应关系，再结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一对比甲、乙、丙三个三角形的已知元素，判断是否符合判定条件即可。首先整理△ABC的元素：三个内角分别为∠A=72°，∠B=50°，∠C=58°；边a是BC，夹在∠B和∠C之间；边c是AB，夹在∠A和∠B之间。接下来逐个分析：甲的已知条件属于SSA，不符合判定要求；乙满足SAS判定条件；丙满足ASA判定条件，因此乙和丙与△ABC全等。
【解析】
首先整理△ABC的元素：
由三角形内角和得∠C=180°-50°-72°=58°，其中边a为BC，是∠B和∠C的夹边；边c为AB，是∠A和∠B的夹边。
1. 分析甲：
甲的50°角是边a的对角、边c的邻角，对应△ABC中50°角（∠B）的对边为AC=b≠a，属于“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，无法判定全等，故甲与△ABC不全等。
2. 分析乙：
乙的50°角是边a和边c的夹角，对应△ABC中∠B=50°是边a（BC）和边c（AB）的夹角，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”，故乙与△ABC全等。
3. 分析丙：
丙中已知两角为50°、72°，由内角和得第三个角为180°-50°-72°=58°，边a是50°角和58°角的夹边，对应△ABC中边a（BC）是50°（∠B）和58°（∠C）的夹边，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”，故丙与△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是准确对应边、角的位置关系，牢记SSA不能作为全等三角形的判定依据，属于基础类的全等判定考查题。
【难度系数】
0.7
