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1 [2024苏州期末]若$a^3=1$，则$a$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$\pm1$
D.$0$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查立方根的相关知识，解题思路是利用立方与开立方互为逆运算的关系求解。首先回忆有理数乘方的符号性质：正数的立方是正数，负数的立方是负数，0的立方是0，因此立方等于1的数只能是正数，可先排除负数、0相关选项，再逐一验证剩余选项即可。
【解析】
已知$a^3=1$，即求1的立方根，逐一验证各选项：
选项A：$(-1)^3=-1≠1$，不符合要求；
选项B：$1^3=1$，符合要求；
选项C：$\pm1$中-1的立方为-1，不符合，排除；
选项D：$0^3=0≠1$，不符合要求。
因此a的值为1。
【答案】
B
【知识点】
立方根的概念；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，易错点是混淆立方根和平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，但只有1个正的立方根，掌握两类根的性质差异就能避免错选。
【难度系数】
0.9
这道题考查立方根的相关知识，解题思路是利用立方与开立方互为逆运算的关系求解。首先回忆有理数乘方的符号性质：正数的立方是正数，负数的立方是负数，0的立方是0，因此立方等于1的数只能是正数，可先排除负数、0相关选项，再逐一验证剩余选项即可。
【解析】
已知$a^3=1$，即求1的立方根，逐一验证各选项：
选项A：$(-1)^3=-1≠1$，不符合要求；
选项B：$1^3=1$，符合要求；
选项C：$\pm1$中-1的立方为-1，不符合，排除；
选项D：$0^3=0≠1$，不符合要求。
因此a的值为1。
【答案】
B
【知识点】
立方根的概念；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，易错点是混淆立方根和平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，但只有1个正的立方根，掌握两类根的性质差异就能避免错选。
【难度系数】
0.9
2 有下列说法:① 1的立方根是1;② $\frac{1}{8}$的立方根是$\pm\frac{1}{2}$;③ $-27$没有立方根;④ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中,正确的是 (
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
C
)A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
答案
2. C 【解析】1的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$,故①正确;$\frac{1}{8}$的立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$,故②错误;$-27$有立方根,是$\sqrt[3]{-27}=-3$,故③错误;互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,故④正确.综上所述,正确的是①④.
解析
【分析】
解决本题需要结合立方根的定义与性质，逐一判断每个说法的正误：首先明确立方根的基本特征：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0；再结合相反数的性质验证最后一个说法即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据立方根定义，$\sqrt[3]{1}=1$，因此1的立方根是1，该说法正确；
②$\frac{1}{8}$的立方根是唯一的，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，不存在负的立方根，该说法错误；
③负数也有立方根，$\sqrt[3]{-27}=-3$，因此$-27$有立方根，该说法错误；
④设两个互为相反数的数为$a$和$-a$，则$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，该说法正确。
综上，正确的是①④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，相反数的性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题的关键是区分立方根与平方根的性质差异，牢记任意实数都有唯一确定的立方根，不要混淆两者的符号规律。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合立方根的定义与性质，逐一判断每个说法的正误：首先明确立方根的基本特征：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0；再结合相反数的性质验证最后一个说法即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据立方根定义，$\sqrt[3]{1}=1$，因此1的立方根是1，该说法正确；
②$\frac{1}{8}$的立方根是唯一的，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，不存在负的立方根，该说法错误；
③负数也有立方根，$\sqrt[3]{-27}=-3$，因此$-27$有立方根，该说法错误；
④设两个互为相反数的数为$a$和$-a$，则$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，该说法正确。
综上，正确的是①④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，相反数的性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题的关键是区分立方根与平方根的性质差异，牢记任意实数都有唯一确定的立方根，不要混淆两者的符号规律。
【难度系数】
0.8
3 [2025 江西改编]计算：$\sqrt[3]{-1000} =$
-10
.答案
3. -10
解析
【分析】
解题时首先明确本题是求-1000的立方根，第一步回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；第二步结合乘方运算推导，先计算正数的立方：$10^3=10×10×10=1000$，再根据负数的奇次幂为负数，可得$(-10)^3=-1000$；第三步即可得出-1000的立方根为-10。
【解析】
根据立方根的定义计算：
∵ $(-10)^3 = (-10)×(-10)×(-10) = -1000$
∴ $\sqrt[3]{-1000} = -10$
【答案】
-10
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 有理数的乘方
【点评】
本题是基础运算题，重点考查立方根的计算，解题时需注意区分立方根与平方根的性质差异，负数存在立方根且其符号与被开方数一致，避免因混淆概念出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题是求-1000的立方根，第一步回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；第二步结合乘方运算推导，先计算正数的立方：$10^3=10×10×10=1000$，再根据负数的奇次幂为负数，可得$(-10)^3=-1000$；第三步即可得出-1000的立方根为-10。
【解析】
根据立方根的定义计算：
∵ $(-10)^3 = (-10)×(-10)×(-10) = -1000$
∴ $\sqrt[3]{-1000} = -10$
【答案】
-10
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 有理数的乘方
【点评】
本题是基础运算题，重点考查立方根的计算，解题时需注意区分立方根与平方根的性质差异，负数存在立方根且其符号与被开方数一致，避免因混淆概念出现符号错误。
【难度系数】
0.9
4 $\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}$的倒数是
-3
；$\sqrt[3]{125}$的相反数是-5
.答案
4. -3 -5
解析
【分析】
本题考查立方根、倒数、相反数的综合应用，解题思路如下：
① 求$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$的倒数：先根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$的结果，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）求出对应的倒数即可；
② 求$\sqrt[3]{125}$的相反数：先根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{125}$的结果，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）改变结果的符号即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
因为$(-\dfrac{1}{3})^3 = -\dfrac{1}{27}$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = -\dfrac{1}{3}$。
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，所以$-\dfrac{1}{3}$的倒数为$1÷(-\dfrac{1}{3})=-3$。
2. 计算第二个空：
因为$5^3=125$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{125}=5$。
根据相反数的定义，5的相反数为$-5$。
【答案】
-3；-5
【知识点】
立方根的计算，倒数的定义，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，解题的关键是熟练掌握立方根的计算方法，以及倒数、相反数的定义，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
本题考查立方根、倒数、相反数的综合应用，解题思路如下：
① 求$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$的倒数：先根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$的结果，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）求出对应的倒数即可；
② 求$\sqrt[3]{125}$的相反数：先根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{125}$的结果，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）改变结果的符号即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
因为$(-\dfrac{1}{3})^3 = -\dfrac{1}{27}$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = -\dfrac{1}{3}$。
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，所以$-\dfrac{1}{3}$的倒数为$1÷(-\dfrac{1}{3})=-3$。
2. 计算第二个空：
因为$5^3=125$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{125}=5$。
根据相反数的定义，5的相反数为$-5$。
【答案】
-3；-5
【知识点】
立方根的计算，倒数的定义，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，解题的关键是熟练掌握立方根的计算方法，以及倒数、相反数的定义，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
5 教材 P67 练习 T1 变式 求下列各数的立方根：
(1) $|-0.125|$；
(2) $\frac{1}{(-8)^2}$；
(3) $-\sqrt{64}$。
(1) $|-0.125|$；
(2) $\frac{1}{(-8)^2}$；
(3) $-\sqrt{64}$。
答案
5. (1) 0.5 (2) $\frac{1}{4}$ (3) $-2$
解析
【分析】
解题的核心是先将每个待求立方根的数化简为最简形式，再根据立方根的定义（若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根）求解：
1. 第(1)题先计算绝对值得到化简后的数，再找立方等于该数的数；
2. 第(2)题先计算分母的乘方得到分数的最简形式，再求其立方根；
3. 第(3)题先计算算术平方根得到化简后的负数，再根据负数的立方根为负数求解。
【解析】
(1) 先化简：$|-0.125|=0.125$
因为$0.5^3=0.125$，根据立方根的定义，可得$|-0.125|$的立方根是$0.5$。
(2) 先化简：$\frac{1}{(-8)^2}=\frac{1}{64}$
因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，根据立方根的定义，可得$\frac{1}{(-8)^2}$的立方根是$\frac{1}{4}$。
(3) 先化简：$-\sqrt{64}=-8$
因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，可得$-\sqrt{64}$的立方根是$-2$。
【答案】
(1) $0.5$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $-2$
【知识点】
立方根的定义、绝对值的化简、算术平方根的运算
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，解题的关键是先对原式进行化简，再结合立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0）求解，注意区分立方根和平方根的性质差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先将每个待求立方根的数化简为最简形式，再根据立方根的定义（若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根）求解：
1. 第(1)题先计算绝对值得到化简后的数，再找立方等于该数的数；
2. 第(2)题先计算分母的乘方得到分数的最简形式，再求其立方根；
3. 第(3)题先计算算术平方根得到化简后的负数，再根据负数的立方根为负数求解。
【解析】
(1) 先化简：$|-0.125|=0.125$
因为$0.5^3=0.125$，根据立方根的定义，可得$|-0.125|$的立方根是$0.5$。
(2) 先化简：$\frac{1}{(-8)^2}=\frac{1}{64}$
因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，根据立方根的定义，可得$\frac{1}{(-8)^2}$的立方根是$\frac{1}{4}$。
(3) 先化简：$-\sqrt{64}=-8$
因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，可得$-\sqrt{64}$的立方根是$-2$。
【答案】
(1) $0.5$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $-2$
【知识点】
立方根的定义、绝对值的化简、算术平方根的运算
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，解题的关键是先对原式进行化简，再结合立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0）求解，注意区分立方根和平方根的性质差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
6 新情境 生活实际 将一个体积为216 cm³的大正方体平均分成8个小正方体，求每个小正方体的表面积.
答案
6. 由题意,得每个小正方体的棱长为$\sqrt[3]{216÷8}=3(\mathrm{cm}).\therefore$ 每个小正方体的表面积为$6×3^2=54(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，大正方体平均分成8个小正方体，那么每个小正方体的体积等于大正方体体积除以8；第二步，正方体的体积等于棱长的立方，已知小正方体体积，求棱长需要用到开立方运算；第三步，得到小正方体棱长后，根据正方体表面积公式（6个面的面积之和）计算表面积即可。
【解析】
解：首先计算每个小正方体的体积：
$216÷8=27(\mathrm{cm}^3)$
设小正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得：
$a=\sqrt[3]{27}=3(\mathrm{cm})$
再根据正方体表面积公式$S=6a^2$，计算表面积：
$S=6×3^2=6×9=54(\mathrm{cm}^2)$
【答案】$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】立方根的计算，正方体体积公式，正方体表面积公式
【点评】本题结合实际分割情境，考查立方根的应用与正方体相关量的计算，解题核心是先通过体积关系求出小正方体的棱长，再代入表面积公式计算，注重基础运算能力的考查。
【难度系数】0.8
【解析】
解：首先计算每个小正方体的体积：
$216÷8=27(\mathrm{cm}^3)$
设小正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得：
$a=\sqrt[3]{27}=3(\mathrm{cm})$
再根据正方体表面积公式$S=6a^2$，计算表面积：
$S=6×3^2=6×9=54(\mathrm{cm}^2)$
【答案】$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】立方根的计算，正方体体积公式，正方体表面积公式
【点评】本题结合实际分割情境，考查立方根的应用与正方体相关量的计算，解题核心是先通过体积关系求出小正方体的棱长，再代入表面积公式计算，注重基础运算能力的考查。
【难度系数】0.8
7 若－a是b的立方根，则下列结论正确的是 （
A.b是－a的立方根
B.－a是－b的立方根
C.a是b的立方根
D.a是－b的立方根
D
）A.b是－a的立方根
B.－a是－b的立方根
C.a是b的立方根
D.a是－b的立方根
答案
7. D 【解析】采用特殊值法求解,根据“$-a$ 是 $b$ 的立方根”,不妨设 $a=2,b=-8$,依次代入四个选项中查验选项的说法是否正确即可.
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：一是利用立方根的定义推导结论，二是用特殊值法验证选项。首先回忆立方根的定义：若$x^3=y$，则$x$叫做$y$的立方根。已知$-a$是$b$的立方根，可先得到等式$(-a)^3=b$，变形等式就能得到$a$与$-b$的关系；也可以选取符合条件的具体数值代入四个选项逐一排除错误选项，特殊值法更直观，能降低概念混淆的概率。
【解析】
方法一：定义推导法
根据立方根的定义，已知$-a$是$b$的立方根，可得：
$(-a)^3 = b$
对左侧乘方运算得：$-a^3 = b$，等式两边同乘$-1$得：$a^3 = -b$
再结合立方根的定义，可知$a$是$-b$的立方根，因此D选项正确。
方法二：特殊值验证法
根据题意设$a=2$，则$-a=-2$，因为$-2$是$b$的立方根，所以$b=(-2)^3=-8$，逐一验证选项：
A选项：$b=-8$，$-a=-2$，$(-8)^3=-512≠-2$，即$-8$不是$-2$的立方根，A错误；
B选项：$-a=-2$，$-b=8$，$(-2)^3=-8≠8$，即$-2$不是$8$的立方根，B错误；
C选项：$a=2$，$b=-8$，$2^3=8≠-8$，即$2$不是$-8$的立方根，C错误；
D选项：$a=2$，$-b=8$，$2^3=8$，即$2$是$8$的立方根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义、有理数乘方运算
【点评】
本题属于立方根概念的基础辨析题，既可以通过定义直接推导得到结论，也可以用特殊值法快速验证选项，特殊值法是解答这类概念类选择题的实用技巧，能有效避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：一是利用立方根的定义推导结论，二是用特殊值法验证选项。首先回忆立方根的定义：若$x^3=y$，则$x$叫做$y$的立方根。已知$-a$是$b$的立方根，可先得到等式$(-a)^3=b$，变形等式就能得到$a$与$-b$的关系；也可以选取符合条件的具体数值代入四个选项逐一排除错误选项，特殊值法更直观，能降低概念混淆的概率。
【解析】
方法一：定义推导法
根据立方根的定义，已知$-a$是$b$的立方根，可得：
$(-a)^3 = b$
对左侧乘方运算得：$-a^3 = b$，等式两边同乘$-1$得：$a^3 = -b$
再结合立方根的定义，可知$a$是$-b$的立方根，因此D选项正确。
方法二：特殊值验证法
根据题意设$a=2$，则$-a=-2$，因为$-2$是$b$的立方根，所以$b=(-2)^3=-8$，逐一验证选项：
A选项：$b=-8$，$-a=-2$，$(-8)^3=-512≠-2$，即$-8$不是$-2$的立方根，A错误；
B选项：$-a=-2$，$-b=8$，$(-2)^3=-8≠8$，即$-2$不是$8$的立方根，B错误；
C选项：$a=2$，$b=-8$，$2^3=8≠-8$，即$2$不是$-8$的立方根，C错误；
D选项：$a=2$，$-b=8$，$2^3=8$，即$2$是$8$的立方根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义、有理数乘方运算
【点评】
本题属于立方根概念的基础辨析题，既可以通过定义直接推导得到结论，也可以用特殊值法快速验证选项，特殊值法是解答这类概念类选择题的实用技巧，能有效避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
8 [2025长春改编]$\sqrt[3]{8}$的算术平方根是 （
A.2
B.$\pm 2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\pm\sqrt{2}$
C
）A.2
B.$\pm 2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\pm\sqrt{2}$
答案
8. C
解析
【分析】
本题需要分步计算求解，首先要先计算出$\sqrt[3]{8}$的结果，再求该结果的算术平方根。解题时需明确两个核心概念：一是立方根的定义，可求出8的立方根；二是算术平方根的定义，注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆。
【解析】
第一步：计算$\sqrt[3]{8}$的值
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则x是a的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$。
第二步：求2的算术平方根
根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根为它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt[3]{8}$的算术平方根是$\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两处：一是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负符号的选项；二是忽略先计算立方根，直接求8的算术平方根导致错误，解题时分步计算、牢记概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
本题需要分步计算求解，首先要先计算出$\sqrt[3]{8}$的结果，再求该结果的算术平方根。解题时需明确两个核心概念：一是立方根的定义，可求出8的立方根；二是算术平方根的定义，注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆。
【解析】
第一步：计算$\sqrt[3]{8}$的值
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则x是a的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$。
第二步：求2的算术平方根
根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根为它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt[3]{8}$的算术平方根是$\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两处：一是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负符号的选项；二是忽略先计算立方根，直接求8的算术平方根导致错误，解题时分步计算、牢记概念即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
