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18 [2024 安徽]在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点.补充下列条件后，不能得到AF与CD一定垂直的是（
A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
D
）A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
答案
18. D
解析
【分析】
要判断哪个条件无法推出AF⊥CD，首先结合已知条件：AB=AE，BC=DE，F为CD中点。根据等腰三角形“三线合一”的性质，若能证明AC=AD，则△ACD为等腰三角形，AF作为中线自然垂直于CD。因此解题核心是通过全等三角形判定，逐一分析各选项能否推出AC=AD，进而判断AF与CD的垂直关系，推导时可通过连接辅助线构造全等三角形。
【解析】
连接AC、AD、BF、EF。
要证AF⊥CD，已知F是CD中点，只需证AC=AD，利用等腰三角形三线合一即可得结论。
选项A：已知AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，由SAS可证△ABC≌△AED，得AC=AD，故AF⊥CD，A不符合题意。
选项B：已知AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF=AF，由SAS可证△ABF≌△AEF，得BF=EF，∠ABF=∠AEF。又BC=DE，CF=DF（F是CD中点），由SSS可证△BCF≌△EDF，得∠FBC=∠FED，因此∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AEF+∠FED=∠AED，回到选项A的条件，可推得AC=AD，故AF⊥CD，B不符合题意。
选项C：已知BC=DE，∠BCF=∠EDF，CF=DF，由SAS可证△BCF≌△EDF，得BF=EF，∠FBC=∠FED。又AB=AE，AF=AF，由SSS可证△ABF≌△AEF，得∠ABF=∠AEF，因此∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AEF+∠FED=∠AED，回到选项A的条件，可推得AC=AD，故AF⊥CD，C不符合题意。
选项D：已知AB=AE，∠ABD=∠AEC，缺少对应边相等的条件，无法证明相关三角形全等，因此不能推出AC=AD，无法得到AF与CD一定垂直，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一；垂直的判定
【点评】
本题属于几何综合类选择题，解题的关键是将AF⊥CD的结论转化为证明AC=AD，再结合已知条件通过全等三角形的判定逐一验证选项，构造合适的辅助线是简化问题的核心。
【难度系数】
0.6
要判断哪个条件无法推出AF⊥CD，首先结合已知条件：AB=AE，BC=DE，F为CD中点。根据等腰三角形“三线合一”的性质，若能证明AC=AD，则△ACD为等腰三角形，AF作为中线自然垂直于CD。因此解题核心是通过全等三角形判定，逐一分析各选项能否推出AC=AD，进而判断AF与CD的垂直关系，推导时可通过连接辅助线构造全等三角形。
【解析】
连接AC、AD、BF、EF。
要证AF⊥CD，已知F是CD中点，只需证AC=AD，利用等腰三角形三线合一即可得结论。
选项A：已知AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，由SAS可证△ABC≌△AED，得AC=AD，故AF⊥CD，A不符合题意。
选项B：已知AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF=AF，由SAS可证△ABF≌△AEF，得BF=EF，∠ABF=∠AEF。又BC=DE，CF=DF（F是CD中点），由SSS可证△BCF≌△EDF，得∠FBC=∠FED，因此∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AEF+∠FED=∠AED，回到选项A的条件，可推得AC=AD，故AF⊥CD，B不符合题意。
选项C：已知BC=DE，∠BCF=∠EDF，CF=DF，由SAS可证△BCF≌△EDF，得BF=EF，∠FBC=∠FED。又AB=AE，AF=AF，由SSS可证△ABF≌△AEF，得∠ABF=∠AEF，因此∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AEF+∠FED=∠AED，回到选项A的条件，可推得AC=AD，故AF⊥CD，C不符合题意。
选项D：已知AB=AE，∠ABD=∠AEC，缺少对应边相等的条件，无法证明相关三角形全等，因此不能推出AC=AD，无法得到AF与CD一定垂直，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一；垂直的判定
【点评】
本题属于几何综合类选择题，解题的关键是将AF⊥CD的结论转化为证明AC=AD，再结合已知条件通过全等三角形的判定逐一验证选项，构造合适的辅助线是简化问题的核心。
【难度系数】
0.6
19 [2025高新区期中]如图,在△ABC中,CD=5BD,CI平分∠ACB,与AD相交于点I,IH⊥AC于点H.若BC=6,AC=8,S△ABD=4,则IH的长为（
A.$\dfrac{40}{13}$
B.$\dfrac{20}{13}$
C.$\dfrac{40}{7}$
D.$\dfrac{20}{7}$
A
）A.$\dfrac{40}{13}$
B.$\dfrac{20}{13}$
C.$\dfrac{40}{7}$
D.$\dfrac{20}{7}$
答案
19. A 【解析】如图,过点 $I$ 作 $IM⊥ BC$ 于点 $M.\because IH⊥ AC,CI$ 平分 $∠ ACB,\therefore IH = IM.\because S_{△ ABD}=4,CD=5BD$，
$\therefore △ ACD$ 的面积 $=4×5=20.\because BC=6,CD=5BD,\therefore CD=6×\frac{5}{6}=5.\because △ ACI$ 的面积 $+△ DCI$ 的面积 $=△ ACD$ 的面积，
$\therefore \frac{1}{2}AC· IH+\frac{1}{2}CD· IM=20,\therefore \frac{1}{2}(AC+CD)· IH=20$，
$\therefore \frac{1}{2}×(8+5)× IH=20,\therefore IH=\frac{40}{13}.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，CI是角平分线且IH垂直AC，根据角平分线的性质可想到过I作BC的垂线IM，得到IH=IM；接下来结合CD=5BD和△ABD的面积，利用等高三角形面积与底的比例关系，可求出△ACD的面积；最后利用△ACD的面积等于△ACI与△DCI的面积之和，将两条相等的高IH、IM代入面积公式，建立关于IH的方程即可求解。
【解析】
如图，过点 $I$ 作 $IM⊥ BC$ 于点 $M$。
$\because IH⊥ AC$，$CI$ 平分 $∠ ACB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore IH = IM$。
$\because S_{△ ABD}=4$，$CD=5BD$，△ABD和△ACD等高，面积比等于底的比，$\therefore S_{△ACD}=5S_{△ABD}=4×5=20$。
$\because BC=6$，$CD=5BD$，即$BD:CD=1:5$，$\therefore CD=BC×\frac{5}{1+5}=6×\frac{5}{6}=5$。
又$\because S_{△ACI} + S_{△DCI} = S_{△ACD}$，
代入三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC· IH+\frac{1}{2}CD· IM=20$，
将$IH=IM$、$AC=8$、$CD=5$代入得：$\frac{1}{2}×(8+5)× IH=20$，
整理得：$\frac{13}{2}IH=20$，解得$IH=\frac{40}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等高三角形面积关系
【点评】
本题是几何中面积法应用的典型题目，解题核心是借助角平分线的性质得到两条高相等，再结合三角形面积的和差关系建立等式求解，能有效考查学生对基础性质的掌握和灵活运用面积法解题的能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察已知条件，CI是角平分线且IH垂直AC，根据角平分线的性质可想到过I作BC的垂线IM，得到IH=IM；接下来结合CD=5BD和△ABD的面积，利用等高三角形面积与底的比例关系，可求出△ACD的面积；最后利用△ACD的面积等于△ACI与△DCI的面积之和，将两条相等的高IH、IM代入面积公式，建立关于IH的方程即可求解。
【解析】
如图，过点 $I$ 作 $IM⊥ BC$ 于点 $M$。
$\because IH⊥ AC$，$CI$ 平分 $∠ ACB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore IH = IM$。
$\because S_{△ ABD}=4$，$CD=5BD$，△ABD和△ACD等高，面积比等于底的比，$\therefore S_{△ACD}=5S_{△ABD}=4×5=20$。
$\because BC=6$，$CD=5BD$，即$BD:CD=1:5$，$\therefore CD=BC×\frac{5}{1+5}=6×\frac{5}{6}=5$。
又$\because S_{△ACI} + S_{△DCI} = S_{△ACD}$，
代入三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC· IH+\frac{1}{2}CD· IM=20$，
将$IH=IM$、$AC=8$、$CD=5$代入得：$\frac{1}{2}×(8+5)× IH=20$，
整理得：$\frac{13}{2}IH=20$，解得$IH=\frac{40}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等高三角形面积关系
【点评】
本题是几何中面积法应用的典型题目，解题核心是借助角平分线的性质得到两条高相等，再结合三角形面积的和差关系建立等式求解，能有效考查学生对基础性质的掌握和灵活运用面积法解题的能力。
【难度系数】
0.65
20 [2025广安改编]如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:① 以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;② 分别以点C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点F;③ 作射线AF交BC于点E.若$∠ C=2∠ B$,$BC=23$,$BD=13$,则AC的长为
13
,$CE$的长为5
.答案
20. 13 5
解析
【分析】
首先根据作图步骤，可得出AD=AC，射线AF是CD的垂直平分线，因此得到CE=DE、∠ADC=∠C的结论；再利用三角形外角的性质，结合已知∠C=2∠B，推导得出∠B=∠BAD，根据等角对等边得到AD=BD，即可求出AC的长度；最后计算CD的长度，结合垂直平分线平分对应线段的性质，求出CE的长度。
【解析】
1. 由作图规则可知：$AD=AC$，射线$AF$是线段$CD$的垂直平分线，
根据等腰三角形性质可得：$∠ ADC=∠ C$，且$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
2. $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，
已知$∠ C=2∠ B$，且$∠ ADC=∠ C$，代入得：
$2∠ B=∠ B+∠ BAD$，
化简得$∠ B=∠ BAD$，根据等角对等边可得$AD=BD$。
3. 已知$BD=13$，因此$AC=AD=BD=13$。
4. 已知$BC=23$，则$CD=BC-BD=23-13=10$，
结合$CE=\frac{1}{2}CD$，得$CE=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
$13$；$5$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是准确识别作图对应的几何结论，再结合角度、边长的关系逐步推导计算。
【难度系数】
0.7
首先根据作图步骤，可得出AD=AC，射线AF是CD的垂直平分线，因此得到CE=DE、∠ADC=∠C的结论；再利用三角形外角的性质，结合已知∠C=2∠B，推导得出∠B=∠BAD，根据等角对等边得到AD=BD，即可求出AC的长度；最后计算CD的长度，结合垂直平分线平分对应线段的性质，求出CE的长度。
【解析】
1. 由作图规则可知：$AD=AC$，射线$AF$是线段$CD$的垂直平分线，
根据等腰三角形性质可得：$∠ ADC=∠ C$，且$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
2. $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，
已知$∠ C=2∠ B$，且$∠ ADC=∠ C$，代入得：
$2∠ B=∠ B+∠ BAD$，
化简得$∠ B=∠ BAD$，根据等角对等边可得$AD=BD$。
3. 已知$BD=13$，因此$AC=AD=BD=13$。
4. 已知$BC=23$，则$CD=BC-BD=23-13=10$，
结合$CE=\frac{1}{2}CD$，得$CE=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
$13$；$5$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是准确识别作图对应的几何结论，再结合角度、边长的关系逐步推导计算。
【难度系数】
0.7
21 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为
12.5
.答案
21. 12.5 【解析】如图,过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$,交 $CB$ 的延长线于点 $E$,则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°.\therefore ∠ CAE - ∠ CAB = ∠ DAB - ∠ CAB$,即 $∠ BAE = ∠ DAC.\because ∠ CAE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ E = 90°.\because ∠ DCB = 90°,\therefore ∠ ACD + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ E = ∠ ACD.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD,\\ ∠ BAE=∠ DAC,\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS}),\therefore AE=AC=5,S_{△ ABE} = S_{△ ADC},\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AC· AE = \frac{1}{2}×5×5=12.5.\\ AB=AD, \end{cases}$
解析
【分析】
直接计算四边形ABCD的面积缺少各边长的相关条件，我们可以结合已知的AB=AD、两组90°角的条件，通过构造全等三角形进行割补转化：过A作AE垂直AC交CB延长线于E，利用同角的余角相等推导对应角相等，结合AB=AD证明△ADC和△ABE全等，即可将四边形的面积转化为规则的等腰直角三角形ACE的面积，进而求解。
【解析】
过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$，交 $CB$ 的延长线于点 $E$，则 $∠ CAE = 90°$。
$\because ∠ DAB = 90°$
$\therefore ∠ CAE = ∠ DAB$
$\therefore ∠ CAE - ∠ CAB = ∠ DAB - ∠ CAB$，即 $∠ BAE = ∠ DAC$
$\because ∠ DCB = 90°$
$\therefore ∠ ACD + ∠ ACB = 90°$
又$\because ∠ CAE = 90°$
$\therefore ∠ ACB + ∠ E = 90°$
$\therefore ∠ E = ∠ ACD$
在 $△ ABE$ 和 $△ ADC$ 中：
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD\\ ∠ BAE=∠ DAC\\ AB=AD \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS})$
$\therefore AE=AC=5$，$S_{△ ABE} = S_{△ ADC}$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = S_{△ ACE}$
$\because △ ACE$是等腰直角三角形
$\therefore S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AC· AE = \frac{1}{2}×5×5=12.5$
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，解题关键是结合等线段、直角的条件构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积，考察了学生的几何转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
直接计算四边形ABCD的面积缺少各边长的相关条件，我们可以结合已知的AB=AD、两组90°角的条件，通过构造全等三角形进行割补转化：过A作AE垂直AC交CB延长线于E，利用同角的余角相等推导对应角相等，结合AB=AD证明△ADC和△ABE全等，即可将四边形的面积转化为规则的等腰直角三角形ACE的面积，进而求解。
【解析】
过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$，交 $CB$ 的延长线于点 $E$，则 $∠ CAE = 90°$。
$\because ∠ DAB = 90°$
$\therefore ∠ CAE = ∠ DAB$
$\therefore ∠ CAE - ∠ CAB = ∠ DAB - ∠ CAB$，即 $∠ BAE = ∠ DAC$
$\because ∠ DCB = 90°$
$\therefore ∠ ACD + ∠ ACB = 90°$
又$\because ∠ CAE = 90°$
$\therefore ∠ ACB + ∠ E = 90°$
$\therefore ∠ E = ∠ ACD$
在 $△ ABE$ 和 $△ ADC$ 中：
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD\\ ∠ BAE=∠ DAC\\ AB=AD \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS})$
$\therefore AE=AC=5$，$S_{△ ABE} = S_{△ ADC}$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = S_{△ ACE}$
$\because △ ACE$是等腰直角三角形
$\therefore S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AC· AE = \frac{1}{2}×5×5=12.5$
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，解题关键是结合等线段、直角的条件构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积，考察了学生的几何转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
22（易错题）如图，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=∠ DBA=60°$，点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动。同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动。设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，则当点$Q$的运动速度为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm/s}$时，$A$，$C$，$P$三点构成的三角形可以与$B$，$P$，$Q$三点构成的三角形全等。
答案
22. 1 或 $\frac{4}{3}$
易错分析：本题需要分$△ ACP≌△ BPQ$与$△ ACP≌△ BQP$两种情况讨论，容易忽视$△ ACP≌△ BQP$这种情况的存在。
易错分析：本题需要分$△ ACP≌△ BPQ$与$△ ACP≌△ BQP$两种情况讨论，容易忽视$△ ACP≌△ BQP$这种情况的存在。
解析
【分析】
本题是动点背景下的全等三角形存在性问题，解题思路如下：1. 先用含t的代数式表示出两个三角形中相关边的长度：AP=t cm，BP=(6-t)cm，设Q的速度为v cm/s，则BQ=vt cm；2. 已知∠CAB=∠DBA=60°，即两个三角形有一组对应角相等，要使两三角形全等，需使夹这组等角的两组边分别对应相等；3. 由于全等的对应顶点不确定，因此要分两种对应情况讨论，分别列方程求解t和v的值，验证结果符合运动要求即可。
【解析】
解：设点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$。
由运动性质可得：$AP = 1× t = t\ \mathrm{cm}$，$BP = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$BQ = v× t = vt\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ A = ∠ B = 60°$，若$△ ACP$与$△ BPQ$全等，分两种情况讨论：
情况1：当$△ ACP ≌ △ BPQ$时，对应边满足：
$\begin{cases} AC = BP \\ AP = BQ \end{cases}$
代入数值得：
$\begin{cases} 4 = 6 - t \\ t = vt \end{cases}$
解第一个方程得$t=2$，代入第二个方程得$2=2v$，解得$v=1$。
情况2：当$△ ACP ≌ △ BQP$时，对应边满足：
$\begin{cases} AC = BQ \\ AP = BP \end{cases}$
代入数值得：
$\begin{cases} 4 = vt \\ t = 6 - t \end{cases}$
解第二个方程得$t=3$，代入第一个方程得$4=3v$，解得$v=\frac{4}{3}$。
两种情况均符合运动的实际要求，因此点Q的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】1或$\frac{4}{3}$
【知识点】全等三角形的判定；动点问题处理；分类讨论思想
【点评】本题是全等三角形结合动点的典型易错题，解题的关键是明确全等三角形的对应关系不唯一，需根据边的对应情况分类讨论，避免因漏解导致错误，求出结果后要注意验证是否符合动点的运动范围要求。
【难度系数】0.6
本题是动点背景下的全等三角形存在性问题，解题思路如下：1. 先用含t的代数式表示出两个三角形中相关边的长度：AP=t cm，BP=(6-t)cm，设Q的速度为v cm/s，则BQ=vt cm；2. 已知∠CAB=∠DBA=60°，即两个三角形有一组对应角相等，要使两三角形全等，需使夹这组等角的两组边分别对应相等；3. 由于全等的对应顶点不确定，因此要分两种对应情况讨论，分别列方程求解t和v的值，验证结果符合运动要求即可。
【解析】
解：设点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$。
由运动性质可得：$AP = 1× t = t\ \mathrm{cm}$，$BP = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$BQ = v× t = vt\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ A = ∠ B = 60°$，若$△ ACP$与$△ BPQ$全等，分两种情况讨论：
情况1：当$△ ACP ≌ △ BPQ$时，对应边满足：
$\begin{cases} AC = BP \\ AP = BQ \end{cases}$
代入数值得：
$\begin{cases} 4 = 6 - t \\ t = vt \end{cases}$
解第一个方程得$t=2$，代入第二个方程得$2=2v$，解得$v=1$。
情况2：当$△ ACP ≌ △ BQP$时，对应边满足：
$\begin{cases} AC = BQ \\ AP = BP \end{cases}$
代入数值得：
$\begin{cases} 4 = vt \\ t = 6 - t \end{cases}$
解第二个方程得$t=3$，代入第一个方程得$4=3v$，解得$v=\frac{4}{3}$。
两种情况均符合运动的实际要求，因此点Q的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】1或$\frac{4}{3}$
【知识点】全等三角形的判定；动点问题处理；分类讨论思想
【点评】本题是全等三角形结合动点的典型易错题，解题的关键是明确全等三角形的对应关系不唯一，需根据边的对应情况分类讨论，避免因漏解导致错误，求出结果后要注意验证是否符合动点的运动范围要求。
【难度系数】0.6
23 已知 P 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的一点.若∠APC=104°,则在以线段 AP,BP,CP 长为边长的三角形中,最小内角的度数为
16°
.答案
23. $16°$ 【解析】如图,过点 $P$ 作 $PD// AB$ 交 $AC$ 于点 $D$,过点 $P$ 作 $PE// AC$ 交 $AB$ 于点 $E$,则 $△ BPE$,$△ CPD$ 均为等边三角形，
$\therefore BP=PE,CP=PD,∠ PDC=∠ DPC=60°.$ 证 $△ AEP≌△ PDA$,得 $PE=AD,\therefore BP=AD,\therefore △ ADP$ 就是以线段 $AP$,$BP$,$CP$ 长为边长的三角形. $\because ∠ APD=∠ APC-∠ DPC=44°,∠ ADP=180°-∠ PDC=120°,\therefore ∠ PAD=180°-∠ APD-∠ ADP=16°,\therefore$ 在满足题意的三角形中,最小内角的度数为 $16°$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将不在同一三角形中的三条线段AP、BP、CP转化到同一个三角形中，才能计算其内角大小。我们可以借助等边三角形的性质构造辅助线：①过点P分别作AB、AC的平行线，即可得到两个小等边三角形，将BP、CP分别转化为等长的PE、PD；②再通过证明三角形全等得到边的等量关系，构造出以AP、BP、CP为边的三角形，最后结合已知角度，利用三角形内角和定理计算出最小内角即可。
【解析】
解：过点$P$作$PD// AB$交$AC$于点$D$，过点$P$作$PE// AC$交$AB$于点$E$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵$PD// AB$，$PE// AC$，
∴$∠ CPD=∠ B=60°$，$∠ BPE=∠ C=60°$，
∴$△ BPE$、$△ CPD$均为等边三角形，
∴$BP=PE$，$CP=PD$，$∠ PDC=∠ DPC=60°$，
∴$∠ ADP=180°-∠ PDC=180°-60°=120°$。
∵$PE// AC$，$PD// AB$，
∴$∠ EAP=∠ DPA$，$∠ EPA=∠ DAP$。
在$△ AEP$和$△ PDA$中：
$\begin{cases}∠ EAP=∠ DPA\\AP=PA\\∠ EPA=∠ DAP\end{cases}$
∴$△ AEP≌△ PDA$（ASA），
∴$PE=AD$，即$BP=AD$，
∴$△ ADP$的三边长分别为$AP$、$AD=BP$、$PD=CP$，即$△ ADP$就是以线段$AP$、$BP$、$CP$长为边长的三角形。
∵$∠ APC=104°$，
∴$∠ APD=∠ APC-∠ DPC=104°-60°=44°$。
根据三角形内角和为$180°$，在$△ APD$中：
$∠ PAD=180°-∠ ADP-∠ APD=180°-120°-44°=16°$。
$△ APD$的三个内角为$120°$、$44°$、$16°$，因此最小内角的度数为$16°$。
【答案】
$16°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查几何转化思想，解题关键是通过构造平行线得到等边三角形和全等三角形，实现分散线段的等量转移，将陌生的三边构角问题转化为熟悉的三角形内角计算问题，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先需要将不在同一三角形中的三条线段AP、BP、CP转化到同一个三角形中，才能计算其内角大小。我们可以借助等边三角形的性质构造辅助线：①过点P分别作AB、AC的平行线，即可得到两个小等边三角形，将BP、CP分别转化为等长的PE、PD；②再通过证明三角形全等得到边的等量关系，构造出以AP、BP、CP为边的三角形，最后结合已知角度，利用三角形内角和定理计算出最小内角即可。
【解析】
解：过点$P$作$PD// AB$交$AC$于点$D$，过点$P$作$PE// AC$交$AB$于点$E$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵$PD// AB$，$PE// AC$，
∴$∠ CPD=∠ B=60°$，$∠ BPE=∠ C=60°$，
∴$△ BPE$、$△ CPD$均为等边三角形，
∴$BP=PE$，$CP=PD$，$∠ PDC=∠ DPC=60°$，
∴$∠ ADP=180°-∠ PDC=180°-60°=120°$。
∵$PE// AC$，$PD// AB$，
∴$∠ EAP=∠ DPA$，$∠ EPA=∠ DAP$。
在$△ AEP$和$△ PDA$中：
$\begin{cases}∠ EAP=∠ DPA\\AP=PA\\∠ EPA=∠ DAP\end{cases}$
∴$△ AEP≌△ PDA$（ASA），
∴$PE=AD$，即$BP=AD$，
∴$△ ADP$的三边长分别为$AP$、$AD=BP$、$PD=CP$，即$△ ADP$就是以线段$AP$、$BP$、$CP$长为边长的三角形。
∵$∠ APC=104°$，
∴$∠ APD=∠ APC-∠ DPC=104°-60°=44°$。
根据三角形内角和为$180°$，在$△ APD$中：
$∠ PAD=180°-∠ ADP-∠ APD=180°-120°-44°=16°$。
$△ APD$的三个内角为$120°$、$44°$、$16°$，因此最小内角的度数为$16°$。
【答案】
$16°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查几何转化思想，解题关键是通过构造平行线得到等边三角形和全等三角形，实现分散线段的等量转移，将陌生的三边构角问题转化为熟悉的三角形内角计算问题，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
24 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=40°$,点$D$在线段$BC$上运动(不与点$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$,$DE$交线段$AC$于点$E$.
(1) 当$DC=2$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$.
(2) 分类讨论思想 在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,当$∠ BAD$的度数为多少时,$△ ADE$是等腰三角形?请说明理由.
(1) 当$DC=2$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$.
(2) 分类讨论思想 在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,当$∠ BAD$的度数为多少时,$△ ADE$是等腰三角形?请说明理由.
答案
24. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.\because ∠ ADC$ 是 $△ ABD$ 的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$,即 $∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD.\because ∠ B=40°,∠ ADE=40°,\therefore ∠ CDE=∠ BAD.$
$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE,\\ AB=DC,\\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$
(2) 当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由: $\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°.$ ① 若 $AD=AE$,则 $∠ AED=∠ ADE = 40°.\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合，不符合题意，舍去. ② 若 $AD=ED$,则 $∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=30°,\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°.$ ③ 若 $AE=DE$,则 $∠ DAE=∠ ADE=40°.\because △ ABC$ 的内角和为 $180°,\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°,\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°.$ 综上所述,当 $∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形.
$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE,\\ AB=DC,\\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$
(2) 当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由: $\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°.$ ① 若 $AD=AE$,则 $∠ AED=∠ ADE = 40°.\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合，不符合题意，舍去. ② 若 $AD=ED$,则 $∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=30°,\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°.$ ③ 若 $AE=DE$,则 $∠ DAE=∠ ADE=40°.\because △ ABC$ 的内角和为 $180°,\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°,\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°.$ 综上所述,当 $∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD≌△DCE，首先由AB=AC可得∠B=∠C；再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠BAD，结合∠ADE=∠B=40°，可推导出∠CDE=∠BAD；最后结合已知DC=2=AB，即可凑齐ASA全等判定的三个条件，完成证明。
(2) △ADE为等腰三角形时，未明确腰和底边，因此需分三种情况讨论：AD=AE、AD=ED、AE=DE。每种情况结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理、外角性质计算对应角度，同时要注意点D不与B、C重合的限制，舍去不符合题意的情况，最终得到符合要求的∠BAD的度数。
【解析】
(1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$。$\because ∠ ADC$ 是 $△ ABD$ 的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，即 $∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD$。$\because ∠ B=40°,∠ ADE=40°,\therefore ∠ CDE=∠ BAD$。
$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC$。 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE,\\ AB=DC,\\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$。
(2) 当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形，理由如下：
$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°$。
① 若 $AD=AE$,则 $∠ AED=∠ ADE = 40°$。$\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合，不符合题意，舍去。
② 若 $AD=ED$,则 $∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=30°,\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°$。
③ 若 $AE=DE$,则 $∠ DAE=∠ ADE=40°$。$\because △ ABC$ 的内角和为 $180°,\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°,\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°$。
综上所述,当 $∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ DCE$，证明成立；
(2) 当$∠ BAD$为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内外角性质
【点评】
本题是几何综合题，既考查了全等三角形的判定方法，又结合等腰三角形的性质考查了分类讨论思想，解题时要注意题目中点D的运动限制，避免出现不符合题意的解，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABD≌△DCE，首先由AB=AC可得∠B=∠C；再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠BAD，结合∠ADE=∠B=40°，可推导出∠CDE=∠BAD；最后结合已知DC=2=AB，即可凑齐ASA全等判定的三个条件，完成证明。
(2) △ADE为等腰三角形时，未明确腰和底边，因此需分三种情况讨论：AD=AE、AD=ED、AE=DE。每种情况结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理、外角性质计算对应角度，同时要注意点D不与B、C重合的限制，舍去不符合题意的情况，最终得到符合要求的∠BAD的度数。
【解析】
(1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$。$\because ∠ ADC$ 是 $△ ABD$ 的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，即 $∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD$。$\because ∠ B=40°,∠ ADE=40°,\therefore ∠ CDE=∠ BAD$。
$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC$。 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE,\\ AB=DC,\\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$。
(2) 当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形，理由如下：
$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°$。
① 若 $AD=AE$,则 $∠ AED=∠ ADE = 40°$。$\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合，不符合题意，舍去。
② 若 $AD=ED$,则 $∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=30°,\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°$。
③ 若 $AE=DE$,则 $∠ DAE=∠ ADE=40°$。$\because △ ABC$ 的内角和为 $180°,\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°,\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°$。
综上所述,当 $∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ DCE$，证明成立；
(2) 当$∠ BAD$为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内外角性质
【点评】
本题是几何综合题，既考查了全等三角形的判定方法，又结合等腰三角形的性质考查了分类讨论思想，解题时要注意题目中点D的运动限制，避免出现不符合题意的解，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
