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综合与实践 光的传播与最短路径
【背景材料】我国西汉时期的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.
【探究任务1】证明反射路径最短.
（1）如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点C'，连接C'D，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线.求证：CE＋DE最短.
证明：如图，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E'，连接DE'，CE'，C'E'.在△C'DE'中，C'E'＋DE'＞C'D（
∵ 实物C与点C'关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分CC'，∴ CE＝
∵ C'D＝C'E＋DE，C'E'＋DE'＞C'D，
∴ CE'＋DE'＞CE＋DE，即CE＋DE最短.
【探究任务2】确定挡板的反射范围.
（2）如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.
【探究任务3】计算最短.
（3）如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB＝60°，点P为距离地面OB 8 cm的一个光源，光线射出后，经过镜面D处反射到地面点E.当光线经过的路径长最短为10 cm时，PD的长为
【背景材料】我国西汉时期的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.
【探究任务1】证明反射路径最短.
（1）如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点C'，连接C'D，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线.求证：CE＋DE最短.
证明：如图，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E'，连接DE'，CE'，C'E'.在△C'DE'中，C'E'＋DE'＞C'D（
三角形的任意两边之和大于第三边
）.∵ 实物C与点C'关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分CC'，∴ CE＝
C'E
，CE'＝C'E'（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
）.∵ C'D＝C'E＋DE，C'E'＋DE'＞C'D，
∴ CE'＋DE'＞CE＋DE，即CE＋DE最短.
【探究任务2】确定挡板的反射范围.
（2）如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.
【探究任务3】计算最短.
（3）如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB＝60°，点P为距离地面OB 8 cm的一个光源，光线射出后，经过镜面D处反射到地面点E.当光线经过的路径长最短为10 cm时，PD的长为
4
cm.答案
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边 C'E 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 如图①,作点A关于平面镜I的对称点A',连接A'B,A'C并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【解析】如图②,过点P作OA的对称点P',过点P'作P'H⊥OB于点H,交OA于点D,则P'D＝PD.过点P作PF⊥P'D于点F,当点H与点E重合时,光线经过的路径PD＋DE最短,即P'E＝P'D＋DE＝PD＋DE＝10 cm.
∵ PC＝8 cm,
∴ 易得EF＝PC＝8 cm,
∴ P'F＝10－8＝2(cm).
∵ 光线射出后,经过镜面D处反射到地面点E,
∴ 易知∠ADP＝∠ODE＝90°－60°＝30°.又
∵ ∠ODE＝∠ADP'＝30°,
∴ ∠PDP'＝60°.
∵ P'D＝PD,
∴ △PDP'是等边三角形.
∵ PF⊥P'D,
∴ P'F＝DF＝2 cm,
∴ PD＝P'D＝4 cm
解析
【分析】
（1）要证明CE+DE最短，可在AB上任取一个异于E的点E'，通过比较CE'+DE'与CE+DE的大小完成证明。首先利用轴对称性质将CE、CE'分别转化为点C的对称点C'到E、E'的距离，再结合三角形三边关系即可得出CE+DE更短的结论；
（2）反射光线经过空隙BC的两个端点B、C时，对应落到EF上的点就是最低点和最高点。根据平面镜反射规律，反射光线可看作是点A关于平面镜的对称点发出的，因此作点A关于平面镜I的对称点A'，连接A'B、A'C并延长与EF相交，交点就是所求的Q、P；
（3）求最短光线路径时，先作点P关于OA的对称点P'，由轴对称性质得PD=P'D，路径PD+DE可转化为P'D+DE，当P'、D、E共线且P'E垂直OB时，路径最短为P'E的长度。再结合已知的角度和边长，利用等边三角形的性质计算PD的长度即可。
【解析】
（1）证明：在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E'，连接DE'，CE'，C'E'。在△C'DE'中，C'E'＋DE'＞C'D（三角形的任意两边之和大于第三边）。
∵ 实物C与点C'关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分CC'，
∴ CE＝C'E，CE'＝C'E'（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ C'D＝C'E＋DE，C'E'＋DE'＞C'D，
∴ CE'＋DE'＞CE＋DE，即CE＋DE最短。
（2）解：作点A关于平面镜I的对称点A'，连接A'B、A'C并延长，分别交EF于点Q、P，此时点P就是反射光线在EF上的最高点，点Q是最低点。
（3）解：过点P作OA的对称点P'，过点P'作P'H⊥OB于点H，交OA于点D，根据轴对称的性质得P'D＝PD。过点P作PF⊥P'D于点F，根据垂线段最短，当点H与点E重合时，光线经过的路径PD＋DE最短，即P'E＝P'D＋DE＝PD＋DE＝10 cm。
∵ PC⊥OB，P'H⊥OB，PF⊥P'D，
∴ 四边形PCHF是矩形，可得EF＝PC＝8 cm，
∴ P'F＝P'E - EF＝10－8＝2(cm)。
∵ 光线经OA反射，
∴ ∠ADP＝∠ODE，已知∠AOB＝60°，∠DEO＝90°，
∴ ∠ODE＝90°－60°＝30°，则∠ADP＝∠ADP'＝30°，
∴ ∠PDP'＝∠ADP + ∠ADP'＝60°，
又
∵ P'D＝PD，
∴ △PDP'是等边三角形，
∵ PF⊥P'D，
∴ PF是等边△PDP'的中线，即P'F＝DF＝2 cm，
∴ PD＝P'D＝P'F + DF＝4 cm。
【答案】
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 如图①,作点A关于平面镜I的对称点A',连接A'B,A'C并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合光的反射的实际场景，考查轴对称在几何最值问题中的应用，将跨学科知识与数学几何性质相结合，既需要熟练掌握轴对称、三角形相关基础性质，也需要具备将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明CE+DE最短，可在AB上任取一个异于E的点E'，通过比较CE'+DE'与CE+DE的大小完成证明。首先利用轴对称性质将CE、CE'分别转化为点C的对称点C'到E、E'的距离，再结合三角形三边关系即可得出CE+DE更短的结论；
（2）反射光线经过空隙BC的两个端点B、C时，对应落到EF上的点就是最低点和最高点。根据平面镜反射规律，反射光线可看作是点A关于平面镜的对称点发出的，因此作点A关于平面镜I的对称点A'，连接A'B、A'C并延长与EF相交，交点就是所求的Q、P；
（3）求最短光线路径时，先作点P关于OA的对称点P'，由轴对称性质得PD=P'D，路径PD+DE可转化为P'D+DE，当P'、D、E共线且P'E垂直OB时，路径最短为P'E的长度。再结合已知的角度和边长，利用等边三角形的性质计算PD的长度即可。
【解析】
（1）证明：在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E'，连接DE'，CE'，C'E'。在△C'DE'中，C'E'＋DE'＞C'D（三角形的任意两边之和大于第三边）。
∵ 实物C与点C'关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分CC'，
∴ CE＝C'E，CE'＝C'E'（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ C'D＝C'E＋DE，C'E'＋DE'＞C'D，
∴ CE'＋DE'＞CE＋DE，即CE＋DE最短。
（2）解：作点A关于平面镜I的对称点A'，连接A'B、A'C并延长，分别交EF于点Q、P，此时点P就是反射光线在EF上的最高点，点Q是最低点。
（3）解：过点P作OA的对称点P'，过点P'作P'H⊥OB于点H，交OA于点D，根据轴对称的性质得P'D＝PD。过点P作PF⊥P'D于点F，根据垂线段最短，当点H与点E重合时，光线经过的路径PD＋DE最短，即P'E＝P'D＋DE＝PD＋DE＝10 cm。
∵ PC⊥OB，P'H⊥OB，PF⊥P'D，
∴ 四边形PCHF是矩形，可得EF＝PC＝8 cm，
∴ P'F＝P'E - EF＝10－8＝2(cm)。
∵ 光线经OA反射，
∴ ∠ADP＝∠ODE，已知∠AOB＝60°，∠DEO＝90°，
∴ ∠ODE＝90°－60°＝30°，则∠ADP＝∠ADP'＝30°，
∴ ∠PDP'＝∠ADP + ∠ADP'＝60°，
又
∵ P'D＝PD，
∴ △PDP'是等边三角形，
∵ PF⊥P'D，
∴ PF是等边△PDP'的中线，即P'F＝DF＝2 cm，
∴ PD＝P'D＝P'F + DF＝4 cm。
【答案】
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 如图①,作点A关于平面镜I的对称点A',连接A'B,A'C并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合光的反射的实际场景，考查轴对称在几何最值问题中的应用，将跨学科知识与数学几何性质相结合，既需要熟练掌握轴对称、三角形相关基础性质，也需要具备将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
