18 [2024 安徽]在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点.补充下列条件后，不能得到AF与CD一定垂直的是（）

A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$

18. D

19 [2025高新区期中]如图,在△ABC中,CD=5BD,CI平分∠ACB,与AD相交于点I,IH⊥AC于点H.若BC=6,AC=8,S△ABD=4,则IH的长为（）

A.$\dfrac{40}{13}$
B.$\dfrac{20}{13}$
C.$\dfrac{40}{7}$
D.$\dfrac{20}{7}$

19. A 【解析】如图,过点 $I$ 作 $IM⊥ BC$ 于点 $M.\because IH⊥ AC,CI$ 平分 $∠ ACB,\therefore IH = IM.\because S_{△ ABD}=4,CD=5BD$，
$\therefore △ ACD$ 的面积 $=4×5=20.\because BC=6,CD=5BD,\therefore CD=6×\frac{5}{6}=5.\because △ ACI$ 的面积 $+△ DCI$ 的面积 $=△ ACD$ 的面积，
$\therefore \frac{1}{2}AC· IH+\frac{1}{2}CD· IM=20,\therefore \frac{1}{2}(AC+CD)· IH=20$，
$\therefore \frac{1}{2}×(8+5)× IH=20,\therefore IH=\frac{40}{13}.$

20 [2025广安改编]如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:① 以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;② 分别以点C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点F;③ 作射线AF交BC于点E.若$∠ C=2∠ B$,$BC=23$,$BD=13$,则AC的长为,$CE$的长为.

20. 13 5

21 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为.

21. 12.5 【解析】如图,过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$,交 $CB$ 的延长线于点 $E$,则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°.\therefore ∠ CAE - ∠ CAB = ∠ DAB - ∠ CAB$,即 $∠ BAE = ∠ DAC.\because ∠ CAE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ E = 90°.\because ∠ DCB = 90°,\therefore ∠ ACD + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ E = ∠ ACD.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD,\\ ∠ BAE=∠ DAC,\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS}),\therefore AE=AC=5,S_{△ ABE} = S_{△ ADC},\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = S_{△ ACE} = \frac{1}{2}AC· AE = \frac{1}{2}×5×5=12.5.\\ AB=AD, \end{cases}$

22（易错题）如图，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=∠ DBA=60°$，点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动。同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动。设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，则当点$Q$的运动速度为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm/s}$时，$A$，$C$，$P$三点构成的三角形可以与$B$，$P$，$Q$三点构成的三角形全等。

22. 1 或 $\frac{4}{3}$
易错分析：本题需要分$△ ACP≌△ BPQ$与$△ ACP≌△ BQP$两种情况讨论，容易忽视$△ ACP≌△ BQP$这种情况的存在。

23 已知 P 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的一点.若∠APC=104°,则在以线段 AP,BP,CP 长为边长的三角形中,最小内角的度数为.

23. $16°$ 【解析】如图,过点 $P$ 作 $PD// AB$ 交 $AC$ 于点 $D$,过点 $P$ 作 $PE// AC$ 交 $AB$ 于点 $E$,则 $△ BPE$,$△ CPD$ 均为等边三角形，
$\therefore BP=PE,CP=PD,∠ PDC=∠ DPC=60°.$ 证 $△ AEP≌△ PDA$,得 $PE=AD,\therefore BP=AD,\therefore △ ADP$ 就是以线段 $AP$,$BP$,$CP$ 长为边长的三角形. $\because ∠ APD=∠ APC-∠ DPC=44°,∠ ADP=180°-∠ PDC=120°,\therefore ∠ PAD=180°-∠ APD-∠ ADP=16°,\therefore$ 在满足题意的三角形中,最小内角的度数为 $16°$.

24 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=40°$,点$D$在线段$BC$上运动(不与点$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$,$DE$交线段$AC$于点$E$.
(1) 当$DC=2$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$.
(2) 分类讨论思想 在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,当$∠ BAD$的度数为多少时,$△ ADE$是等腰三角形?请说明理由.

24. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.\because ∠ ADC$ 是 $△ ABD$ 的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$,即 $∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD.\because ∠ B=40°,∠ ADE=40°,\therefore ∠ CDE=∠ BAD.$
$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE,\\ AB=DC,\\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$
(2) 当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由: $\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=40°.$ ① 若 $AD=AE$,则 $∠ AED=∠ ADE = 40°.\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合，不符合题意，舍去. ② 若 $AD=ED$,则 $∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C,\therefore ∠ EDC=30°,\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°.$ ③ 若 $AE=DE$,则 $∠ DAE=∠ ADE=40°.\because △ ABC$ 的内角和为 $180°,\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°,\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°.$ 综上所述,当 $∠ BAD$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 时,$△ ADE$ 是等腰三角形.