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1. 甲、乙两家水果商店平时以同样的价格出售品质相同的樱桃.春节期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,甲商店的樱桃价格为60元/千克;乙商店的樱桃价格为65元/千克,若一次购买2千克以上,超过2千克的部分打8折.
(1)设购买樱桃$x$千克,$y_甲$,$y_乙$分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额,求$y_甲$,$y_乙$关于$x$的函数表达式;
(2)春节期间,如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱?
(1)设购买樱桃$x$千克,$y_甲$,$y_乙$分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额,求$y_甲$,$y_乙$关于$x$的函数表达式;
(2)春节期间,如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱?
答案
(1)由题意,可得$y_甲=60x$. 当$x≤2$时,$y_乙=65x$;
当$x＞2$时,$y_乙=65×2+65×0.8(x-2)=52x+26$.
$\therefore y_乙=\begin{cases}65x(x≤2),\\52x+26(x＞2).\end{cases}$
(2)当$60x=52x+26$时,解得$x=\frac{13}{4}$.
$\therefore$当购买量小于$\frac{13}{4}$千克时,到甲商店购买樱桃更省钱;当购买量为$\frac{13}{4}$千克时,到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同;
当购买量大于$\frac{13}{4}$千克时,到乙商店购买樱桃更省钱.
当$x＞2$时,$y_乙=65×2+65×0.8(x-2)=52x+26$.
$\therefore y_乙=\begin{cases}65x(x≤2),\\52x+26(x＞2).\end{cases}$
(2)当$60x=52x+26$时,解得$x=\frac{13}{4}$.
$\therefore$当购买量小于$\frac{13}{4}$千克时,到甲商店购买樱桃更省钱;当购买量为$\frac{13}{4}$千克时,到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同;
当购买量大于$\frac{13}{4}$千克时,到乙商店购买樱桃更省钱.
解析
【分析】
（1）甲商店樱桃售价固定，付款金额直接用单价乘购买数量即可得到函数表达式；乙商店的优惠分两种情况：购买量不超过2千克时按原价计费，购买量超过2千克时，前2千克按原价、超出部分按八折计费，因此需写成分段函数形式。
（2）判断哪家商店更省钱，本质是比较两个函数值的大小：先讨论购买量不超过2千克的情况，再讨论购买量超过2千克的情况，先找到两家费用相等时的购买量，再分别推导甲更省钱、乙更省钱对应的购买量范围即可。
【解析】
（1）由题意得：
甲商店樱桃单价为60元/千克，因此$\boldsymbol{y_甲=60x}$（$x≥0$）；
乙商店计费分两种情况：
① 当$0≤ x≤2$时，无额外折扣，单价为65元/千克，故$y_乙=65x$；
② 当$x＞2$时，前2千克总价为$65×2$元，超出$(x-2)$千克的部分单价为$65×0.8$元/千克，因此：
$y_乙=65×2 + 65×0.8(x-2)=130 + 52(x-2)=52x+26$
综上，$\boldsymbol{y_乙=\begin{cases}65x&(0≤ x≤2)\\52x+26&(x＞2)\end{cases}}$
（2）分情况讨论：
① 当$0≤ x≤2$时，$y_甲=60x$，$y_乙=65x$，显然$60x＜65x$，此时甲商店更省钱；
② 当$x＞2$时，令$y_甲=y_乙$，即$60x=52x+26$，解得$x=\frac{13}{4}$；
若$y_甲＜y_乙$，即$60x＜52x+26$，解得$x＜\frac{13}{4}$，结合$x＞2$，即$2＜x＜\frac{13}{4}$时甲商店更省钱；
若$y_甲＞y_乙$，即$60x＞52x+26$，解得$x＞\frac{13}{4}$，此时乙商店更省钱。
综合可得不同购买量下的省钱方案。
【答案】
(1) $y_甲=60x$；$y_乙=\begin{cases}65x(x≤2)\\52x+26(x＞2)\end{cases}$
(2) 当购买樱桃的质量小于$\frac{13}{4}$千克时，选择甲商店更省钱；当购买质量等于$\frac{13}{4}$千克时，两家商店花费相同；当购买质量大于$\frac{13}{4}$千克时，选择乙商店更省钱。
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，考查了分段函数的建立、利用方程和不等式比较函数值大小的方法，解题时需运用分类讨论思想，避免遗漏购买量不超过2千克的情况，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）甲商店樱桃售价固定，付款金额直接用单价乘购买数量即可得到函数表达式；乙商店的优惠分两种情况：购买量不超过2千克时按原价计费，购买量超过2千克时，前2千克按原价、超出部分按八折计费，因此需写成分段函数形式。
（2）判断哪家商店更省钱，本质是比较两个函数值的大小：先讨论购买量不超过2千克的情况，再讨论购买量超过2千克的情况，先找到两家费用相等时的购买量，再分别推导甲更省钱、乙更省钱对应的购买量范围即可。
【解析】
（1）由题意得：
甲商店樱桃单价为60元/千克，因此$\boldsymbol{y_甲=60x}$（$x≥0$）；
乙商店计费分两种情况：
① 当$0≤ x≤2$时，无额外折扣，单价为65元/千克，故$y_乙=65x$；
② 当$x＞2$时，前2千克总价为$65×2$元，超出$(x-2)$千克的部分单价为$65×0.8$元/千克，因此：
$y_乙=65×2 + 65×0.8(x-2)=130 + 52(x-2)=52x+26$
综上，$\boldsymbol{y_乙=\begin{cases}65x&(0≤ x≤2)\\52x+26&(x＞2)\end{cases}}$
（2）分情况讨论：
① 当$0≤ x≤2$时，$y_甲=60x$，$y_乙=65x$，显然$60x＜65x$，此时甲商店更省钱；
② 当$x＞2$时，令$y_甲=y_乙$，即$60x=52x+26$，解得$x=\frac{13}{4}$；
若$y_甲＜y_乙$，即$60x＜52x+26$，解得$x＜\frac{13}{4}$，结合$x＞2$，即$2＜x＜\frac{13}{4}$时甲商店更省钱；
若$y_甲＞y_乙$，即$60x＞52x+26$，解得$x＞\frac{13}{4}$，此时乙商店更省钱。
综合可得不同购买量下的省钱方案。
【答案】
(1) $y_甲=60x$；$y_乙=\begin{cases}65x(x≤2)\\52x+26(x＞2)\end{cases}$
(2) 当购买樱桃的质量小于$\frac{13}{4}$千克时，选择甲商店更省钱；当购买质量等于$\frac{13}{4}$千克时，两家商店花费相同；当购买质量大于$\frac{13}{4}$千克时，选择乙商店更省钱。
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，考查了分段函数的建立、利用方程和不等式比较函数值大小的方法，解题时需运用分类讨论思想，避免遗漏购买量不超过2千克的情况，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动,促销方式如下:
A超市:一次购物不超过300元的打9折,超过300元的部分打7折;
B超市:一次购物不超过100元的按原价,超过100元的部分打8折.
例如,一次购物的商品原价为500元,
去A超市的购物金额:$300×0.9+(500-300)×0.7=410$(元);
去B超市的购物金额:$100+(500-100)×0.8=420$(元).
(1)设商品原价为$x$元,购物金额为$y$元,分别就两家超市的促销方式写出$y$关于$x$的函数表达式;
(2)促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元,他去哪家超市购物更省钱?请说明理由.
A超市:一次购物不超过300元的打9折,超过300元的部分打7折;
B超市:一次购物不超过100元的按原价,超过100元的部分打8折.
例如,一次购物的商品原价为500元,
去A超市的购物金额:$300×0.9+(500-300)×0.7=410$(元);
去B超市的购物金额:$100+(500-100)×0.8=420$(元).
(1)设商品原价为$x$元,购物金额为$y$元,分别就两家超市的促销方式写出$y$关于$x$的函数表达式;
(2)促销期间,若小刚一次购物的商品原价超过200元,他去哪家超市购物更省钱?请说明理由.
答案
(1)由题意可得,当$x≤300$时,$y_\mathrm{A}=0.9x$;
当$x＞300$时,$y_\mathrm{A}=0.9×300+0.7(x-300)=0.7x+60$.
故$y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x(x≤300),\\0.7x+60(x＞300).\end{cases}$
当$x≤100$时,$y_\mathrm{B}=x$;
当$x＞100$时,$y_\mathrm{B}=100+0.8(x-100)=0.8x+20$.
故$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x(x≤100),\\0.8x+20(x＞100).\end{cases}$
(2)由题意,得$0.9x＞0.8x+20$,解得$x＞200$,
$\therefore$当$200＜x≤300$时,到B超市购物更省钱;
$0.7x+60＞0.8x+20$,解得$x＜400$,
$\therefore$当$300＜x＜400$时,到B超市购物更省钱;
$0.7x+60=0.8x+20$,解得$x=400$,
$\therefore$当$x=400$时,到两家超市购物花费一样;
$0.7x+60＜0.8x+20$,解得$x＞400$,
$\therefore$当$x＞400$时,到A超市购物更省钱.
综上所述,当$200＜x＜400$时,到B超市购物更省钱;当$x=400$时,到两家超市购物花费一样;当$x＞400$时,到A超市购物更省钱.
当$x＞300$时,$y_\mathrm{A}=0.9×300+0.7(x-300)=0.7x+60$.
故$y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x(x≤300),\\0.7x+60(x＞300).\end{cases}$
当$x≤100$时,$y_\mathrm{B}=x$;
当$x＞100$时,$y_\mathrm{B}=100+0.8(x-100)=0.8x+20$.
故$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x(x≤100),\\0.8x+20(x＞100).\end{cases}$
(2)由题意,得$0.9x＞0.8x+20$,解得$x＞200$,
$\therefore$当$200＜x≤300$时,到B超市购物更省钱;
$0.7x+60＞0.8x+20$,解得$x＜400$,
$\therefore$当$300＜x＜400$时,到B超市购物更省钱;
$0.7x+60=0.8x+20$,解得$x=400$,
$\therefore$当$x=400$时,到两家超市购物花费一样;
$0.7x+60＜0.8x+20$,解得$x＞400$,
$\therefore$当$x＞400$时,到A超市购物更省钱.
综上所述,当$200＜x＜400$时,到B超市购物更省钱;当$x=400$时,到两家超市购物花费一样;当$x＞400$时,到A超市购物更省钱.
解析
【分析】
（1）要写两家超市y关于x的函数表达式，需根据两家超市的促销分段规则，分别以A超市的300元、B超市的100元为分段临界点，分区间计算购物金额，整理得到分段函数。
（2）已知购物原价超过200元，需结合第一问的分段函数，先讨论200＜x≤300时A、B超市的花费大小，再讨论x＞300时的花费大小，通过列不等式、等式求解分界点，最后分类总结更省钱的方案。
【解析】
(1) 对于A超市：
当$x ≤ 300$时，所有商品打9折，故$y_\mathrm{A}=0.9x$；
当$x ＞ 300$时，300元部分打9折，超过300元的部分打7折，因此$y_\mathrm{A}=0.9 × 300 + 0.7(x-300) = 0.7x + 60$。
综上，$y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x & (x ≤ 300)\\0.7x + 60 & (x ＞ 300)\end{cases}$。
对于B超市：
当$x ≤ 100$时，按原价付款，故$y_\mathrm{B}=x$；
当$x ＞ 100$时，100元部分按原价，超过100元的部分打8折，因此$y_\mathrm{B}=100 + 0.8(x-100) = 0.8x + 20$。
综上，$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x & (x ≤ 100)\\0.8x + 20 & (x ＞ 100)\end{cases}$。
(2) 已知小刚购物原价$x ＞ 200$，分两种情况讨论：
① 当$200 ＜ x ≤ 300$时，$y_\mathrm{A}=0.9x$，$y_\mathrm{B}=0.8x + 20$，
令$0.9x ＞ 0.8x + 20$，解得$x ＞ 200$，因此该区间内到B超市更省钱；
② 当$x ＞ 300$时，$y_\mathrm{A}=0.7x + 60$，$y_\mathrm{B}=0.8x + 20$，
令$0.7x + 60 ＞ 0.8x + 20$，解得$x ＜ 400$；
令$0.7x + 60 = 0.8x + 20$，解得$x = 400$；
令$0.7x + 60 ＜ 0.8x + 20$，解得$x ＞ 400$。
因此当$300 ＜ x ＜ 400$时，到B超市更省钱；当$x = 400$时，两家超市花费相同；当$x ＞ 400$时，到A超市更省钱。
综合两种情况即可得到最终结论。
【答案】
(1) $y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x & (x ≤ 300)\\0.7x + 60 & (x ＞ 300)\end{cases}$；$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x & (x ≤ 100)\\0.8x + 20 & (x ＞ 100)\end{cases}$
(2) 当$200 ＜ x ＜ 400$时，去B超市更省钱；当$x = 400$时，两家超市购物花费一样；当$x ＞ 400$时，去A超市更省钱。
【知识点】
分段函数，一次函数实际应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题以生活中超市促销为背景，是一次函数方案选择类的典型题，解题核心是根据优惠规则正确构建分段函数，运用分类讨论思想对不同价格区间的花费进行比较，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要写两家超市y关于x的函数表达式，需根据两家超市的促销分段规则，分别以A超市的300元、B超市的100元为分段临界点，分区间计算购物金额，整理得到分段函数。
（2）已知购物原价超过200元，需结合第一问的分段函数，先讨论200＜x≤300时A、B超市的花费大小，再讨论x＞300时的花费大小，通过列不等式、等式求解分界点，最后分类总结更省钱的方案。
【解析】
(1) 对于A超市：
当$x ≤ 300$时，所有商品打9折，故$y_\mathrm{A}=0.9x$；
当$x ＞ 300$时，300元部分打9折，超过300元的部分打7折，因此$y_\mathrm{A}=0.9 × 300 + 0.7(x-300) = 0.7x + 60$。
综上，$y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x & (x ≤ 300)\\0.7x + 60 & (x ＞ 300)\end{cases}$。
对于B超市：
当$x ≤ 100$时，按原价付款，故$y_\mathrm{B}=x$；
当$x ＞ 100$时，100元部分按原价，超过100元的部分打8折，因此$y_\mathrm{B}=100 + 0.8(x-100) = 0.8x + 20$。
综上，$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x & (x ≤ 100)\\0.8x + 20 & (x ＞ 100)\end{cases}$。
(2) 已知小刚购物原价$x ＞ 200$，分两种情况讨论：
① 当$200 ＜ x ≤ 300$时，$y_\mathrm{A}=0.9x$，$y_\mathrm{B}=0.8x + 20$，
令$0.9x ＞ 0.8x + 20$，解得$x ＞ 200$，因此该区间内到B超市更省钱；
② 当$x ＞ 300$时，$y_\mathrm{A}=0.7x + 60$，$y_\mathrm{B}=0.8x + 20$，
令$0.7x + 60 ＞ 0.8x + 20$，解得$x ＜ 400$；
令$0.7x + 60 = 0.8x + 20$，解得$x = 400$；
令$0.7x + 60 ＜ 0.8x + 20$，解得$x ＞ 400$。
因此当$300 ＜ x ＜ 400$时，到B超市更省钱；当$x = 400$时，两家超市花费相同；当$x ＞ 400$时，到A超市更省钱。
综合两种情况即可得到最终结论。
【答案】
(1) $y_\mathrm{A}=\begin{cases}0.9x & (x ≤ 300)\\0.7x + 60 & (x ＞ 300)\end{cases}$；$y_\mathrm{B}=\begin{cases}x & (x ≤ 100)\\0.8x + 20 & (x ＞ 100)\end{cases}$
(2) 当$200 ＜ x ＜ 400$时，去B超市更省钱；当$x = 400$时，两家超市购物花费一样；当$x ＞ 400$时，去A超市更省钱。
【知识点】
分段函数，一次函数实际应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题以生活中超市促销为背景，是一次函数方案选择类的典型题，解题核心是根据优惠规则正确构建分段函数，运用分类讨论思想对不同价格区间的花费进行比较，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
