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1 下列说法中，正确的是 （
A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
B
）A.长度相等的弧是等弧
B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查圆中弧、圆心角、弦的相关概念与关系定理。解题时首先要明确：①圆心角、弧、弦的等量关系定理成立的前提是“在同圆或等圆中”，缺少该前提的表述不成立；②等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧；③弧分为优弧和劣弧，分析弧与弦的对应关系时要区分弧的类型。带着这些判断标准逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等弧的定义是能够完全重合的弧，长度相等的弧弧度不一定相同，若不在同圆或等圆中更无法重合，因此长度相等的弧不一定是等弧，该选项错误。
B选项：在同圆或等圆中，相等的弧本身是可以完全重合的，因此其所对的圆心角一定相等，该选项正确。
C选项：在同圆或等圆中，较长的弧如果是优弧，其所对的弦反而更短，例如接近360°的优弧对应的弦长度很小，因此较长的弧所对的弦不一定更长，该选项错误。
D选项：相等的圆心角所对的弧相等必须满足“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的两个圆中，相同圆心角对应的弧无法重合，不是等弧，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等弧的定义；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是忽略相关定理的适用前提、混淆优弧劣弧与弦的对应关系，只要准确记忆概念和定理的适用范围即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题考查圆中弧、圆心角、弦的相关概念与关系定理。解题时首先要明确：①圆心角、弧、弦的等量关系定理成立的前提是“在同圆或等圆中”，缺少该前提的表述不成立；②等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧；③弧分为优弧和劣弧，分析弧与弦的对应关系时要区分弧的类型。带着这些判断标准逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：等弧的定义是能够完全重合的弧，长度相等的弧弧度不一定相同，若不在同圆或等圆中更无法重合，因此长度相等的弧不一定是等弧，该选项错误。
B选项：在同圆或等圆中，相等的弧本身是可以完全重合的，因此其所对的圆心角一定相等，该选项正确。
C选项：在同圆或等圆中，较长的弧如果是优弧，其所对的弦反而更短，例如接近360°的优弧对应的弦长度很小，因此较长的弧所对的弦不一定更长，该选项错误。
D选项：相等的圆心角所对的弧相等必须满足“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的两个圆中，相同圆心角对应的弧无法重合，不是等弧，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等弧的定义；圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是忽略相关定理的适用前提、混淆优弧劣弧与弦的对应关系，只要准确记忆概念和定理的适用范围即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2 [2025 姑苏区段考]如图，AB是$\odot O$的直径，D，C是EB的三等分点，$∠ BOC=35°$，那么$∠ AOE$的度数为 （
A.$35°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$115°$
B
）A.$35°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$115°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先利用弧的三等分点性质，得到对应三段弧相等，结合同圆中等弧对应的圆心角相等，可求出∠BOE的度数；再根据AB是直径，∠AOB为平角等于180°，用180°减去∠BOE的度数即可得到∠AOE的度数。
【解析】
∵ D、C是$\overset{\frown}{EB}$的三等分点
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$∠ BOC=35°$
∴ $∠BOC=∠COD=∠DOE=35°$
∴ $∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=3×35°=105°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠AOB=180°$
∴ $∠AOE=∠AOB-∠BOE=180°-105°=75°$
故选B
【答案】
B
【知识点】
等弧对等圆心角、平角的性质、圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题核心是抓住三等分点对应的弧相等，进而得到圆心角相等，再结合平角的性质计算即可，难度较低，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时先利用弧的三等分点性质，得到对应三段弧相等，结合同圆中等弧对应的圆心角相等，可求出∠BOE的度数；再根据AB是直径，∠AOB为平角等于180°，用180°减去∠BOE的度数即可得到∠AOE的度数。
【解析】
∵ D、C是$\overset{\frown}{EB}$的三等分点
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$∠ BOC=35°$
∴ $∠BOC=∠COD=∠DOE=35°$
∴ $∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=3×35°=105°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠AOB=180°$
∴ $∠AOE=∠AOB-∠BOE=180°-105°=75°$
故选B
【答案】
B
【知识点】
等弧对等圆心角、平角的性质、圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题核心是抓住三等分点对应的弧相等，进而得到圆心角相等，再结合平角的性质计算即可，难度较低，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
3 [2025高新区段考]若一条弦把圆分成1：5两部分，则劣弧所对的圆心角为
60°
.答案
3. 60°
解析
【分析】
解题首先要明确整圆对应的圆心角为360°，弦将圆分成的两段弧的度数之比等于它们所对的圆心角之比，其中劣弧是占比更小的弧，因此可通过按比例分配的方法计算劣弧对应的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆对应的圆心角为$360°$，弦把圆分成$1:5$两部分
∴ 两段弧所对的圆心角的比也为$1:5$
∴ 劣弧所对的圆心角为：$360°×\frac{1}{1+5}=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
弧与圆心角的对应关系；按比例分配计算
【点评】
本题是基础题，主要考查圆的相关性质，解题核心是牢记整圆对应的圆心角为360°，结合已知比例计算即可，注意不要混淆劣弧和优弧的占比。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确整圆对应的圆心角为360°，弦将圆分成的两段弧的度数之比等于它们所对的圆心角之比，其中劣弧是占比更小的弧，因此可通过按比例分配的方法计算劣弧对应的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆对应的圆心角为$360°$，弦把圆分成$1:5$两部分
∴ 两段弧所对的圆心角的比也为$1:5$
∴ 劣弧所对的圆心角为：$360°×\frac{1}{1+5}=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
弧与圆心角的对应关系；按比例分配计算
【点评】
本题是基础题，主要考查圆的相关性质，解题核心是牢记整圆对应的圆心角为360°，结合已知比例计算即可，注意不要混淆劣弧和优弧的占比。
【难度系数】
0.9
4 如图，AB 是半圆O的直径，E 是半圆O上一点，且OE⊥AB，C为BE的中点，则∠BAC=
22.5
°答案
4. 22.5
解析
【分析】
本题是圆中角度计算问题，解题思路如下：①先根据OE⊥AB，得到圆心角∠BOE的度数；②结合C是弧BE的中点，利用等弧对应的圆心角相等，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；③最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，OE⊥AB，
∴∠BOE=90°。
∵C为弧BE的中点，
∴弧BC=弧CE，
∴∠BOC=½∠BOE=½×90°=45°。
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BAC=½∠BOC=½×45°=22.5°。
【答案】
22.5
【知识点】
圆周角定理；弧与圆心角的关系；垂直的性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的关键是熟练掌握弧中点的性质和圆周角定理，结合已知条件逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
本题是圆中角度计算问题，解题思路如下：①先根据OE⊥AB，得到圆心角∠BOE的度数；②结合C是弧BE的中点，利用等弧对应的圆心角相等，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；③最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，OE⊥AB，
∴∠BOE=90°。
∵C为弧BE的中点，
∴弧BC=弧CE，
∴∠BOC=½∠BOE=½×90°=45°。
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BAC=½∠BOC=½×45°=22.5°。
【答案】
22.5
【知识点】
圆周角定理；弧与圆心角的关系；垂直的性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的关键是熟练掌握弧中点的性质和圆周角定理，结合已知条件逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
5 [2025 姑苏区段考]如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，$CD⊥ OA$于点$D$，$CE⊥ OB$于点$E$，求证：$OD=OE$.
答案
5. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠ AOC=∠ BOC.\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,$
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°.$ 在$△ CDO$ 和$△ CEO$ 中，$\begin{cases} ∠ DOC=∠ EOC, \\ ∠ CDO=∠ CEO, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO,\therefore OD=OE$
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°.$ 在$△ CDO$ 和$△ CEO$ 中，$\begin{cases} ∠ DOC=∠ EOC, \\ ∠ CDO=∠ CEO, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO,\therefore OD=OE$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中OD在△CDO中，OE在△CEO中，因此只需证明△CDO≌△CEO即可：首先根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$可推出∠AOC=∠BOC；再结合CD⊥OA、CE⊥OB的条件，可得∠CDO=∠CEO=90°；两个三角形还有公共边OC=OC，满足AAS全等的判定条件，证得全等后即可得到对应边OD=OE。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠DOC=∠EOC \\∠CDO=∠CEO \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
$OD=OE$
【知识点】
弧与圆心角的关系，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形全等的知识结合考查，解题的突破口是利用等弧得到相等的圆心角，进而构造全等三角形完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中OD在△CDO中，OE在△CEO中，因此只需证明△CDO≌△CEO即可：首先根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$可推出∠AOC=∠BOC；再结合CD⊥OA、CE⊥OB的条件，可得∠CDO=∠CEO=90°；两个三角形还有公共边OC=OC，满足AAS全等的判定条件，证得全等后即可得到对应边OD=OE。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠DOC=∠EOC \\∠CDO=∠CEO \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
$OD=OE$
【知识点】
弧与圆心角的关系，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形全等的知识结合考查，解题的突破口是利用等弧得到相等的圆心角，进而构造全等三角形完成证明。
【难度系数】
0.8
6 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数为 （
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径相等得到△OAB为等腰三角形，结合已知的∠A的度数，用三角形内角和算出∠AOB的度数；再根据弧中点的性质，可知等弧所对的圆心角相等，即∠BOC为∠AOB的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，
∴$∠ B=∠ A=50°$，
由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
根据同圆中等弧所对的圆心角相等，得$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和三角形的知识结合考查，解题的关键是明确弧中点与对应圆心角的关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆的半径相等得到△OAB为等腰三角形，结合已知的∠A的度数，用三角形内角和算出∠AOB的度数；再根据弧中点的性质，可知等弧所对的圆心角相等，即∠BOC为∠AOB的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，
∴$∠ B=∠ A=50°$，
由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
根据同圆中等弧所对的圆心角相等，得$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和三角形的知识结合考查，解题的关键是明确弧中点与对应圆心角的关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
7 如图，AB和DE是$\odot O$的直径，弦$AC// DE$.若弦$BE=3$，则弦$CE$的长为
3
.答案
7. 3
解析
【分析】
要求弦CE的长，已知BE=3，可尝试证明CE=BE，即证明二者所对的圆心角相等。首先利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合同圆半径相等推出等腰三角形的等角，结合对顶角相等即可推出CE、BE所对的圆心角相等，最后根据同圆中相等圆心角所对的弦相等即可求解。
【解析】
连接OC，
∵ AC//DE，
∴ ∠OAC=∠AOD，∠OCA=∠COE（两直线平行，内错角相等），
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA（等边对等角），
∴ ∠AOD=∠COE（等量代换），
又
∵ ∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴ ∠COE=∠BOE，
在⊙O中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴ CE=BE，
∵ BE=3，
∴ CE=3。
【答案】
3
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是通过辅助线构造等腰三角形，结合平行线、对顶角的性质完成角的等量代换，进而利用圆的圆心角与弦的对应关系得到结论，有助于巩固圆的基本性质的应用。
【难度系数】
0.8
要求弦CE的长，已知BE=3，可尝试证明CE=BE，即证明二者所对的圆心角相等。首先利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合同圆半径相等推出等腰三角形的等角，结合对顶角相等即可推出CE、BE所对的圆心角相等，最后根据同圆中相等圆心角所对的弦相等即可求解。
【解析】
连接OC，
∵ AC//DE，
∴ ∠OAC=∠AOD，∠OCA=∠COE（两直线平行，内错角相等），
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA（等边对等角），
∴ ∠AOD=∠COE（等量代换），
又
∵ ∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴ ∠COE=∠BOE，
在⊙O中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴ CE=BE，
∵ BE=3，
∴ CE=3。
【答案】
3
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是通过辅助线构造等腰三角形，结合平行线、对顶角的性质完成角的等量代换，进而利用圆的圆心角与弦的对应关系得到结论，有助于巩固圆的基本性质的应用。
【难度系数】
0.8
