8 [2024凉山]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，测出AB=40 cm，CD=10 cm，则圆形工件的半径为cm.

8.25

【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，首先根据圆的性质：弦的垂直平分线经过圆心，可知AB的垂直平分线CD过该残缺圆的圆心。我们可以设半径为r，将已知的AB、CD长度转化到直角三角形中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
设该残缺圆形工件的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm}$。
连接OA，则$OA=OC=r\ \mathrm{cm}$，
∵ $CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：$r^2=20^2+(r-10)^2$
展开化简：
$r^2=400+r^2-20r+100$
$20r=500$
解得$r=25$。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题关键是利用“弦的垂直平分线过圆心”确定圆心位置，通过构造直角三角形结合勾股定理列方程求解，渗透了方程思想。
【难度系数】
0.7

9 若过平面直角坐标系中的三个点$A(1,0),B(0,2),C(-m,m^2-6)$能确定一个圆，则$m≠$.

9.4或－2

【分析】
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此要使A、B、C三点能确定一个圆，需保证三点不共线。我们可以先求出A、B两点所在直线的解析式，再计算当C点在该直线上（即三点共线）时m的取值，这些取值就是需要排除的m的值。
【解析】
首先求过点A(1,0)、B(0,2)的直线解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入：
把$B(0,2)$代入得$b=2$；
把$A(1,0)$和$b=2$代入得$0=k+2$，解得$k=-2$，
因此直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
若A、B、C三点共线，则点$C(-m,m^2-6)$在直线AB上，将C点坐标代入解析式：
$m^2 -6 = -2×(-m) +2$
整理得：$m^2 -2m -8 = 0$
因式分解得：$(m-4)(m+2)=0$
解得$m=4$或$m=-2$
因此当三点能确定一个圆时，$m≠4$或$-2$。
【答案】
4或－2
【知识点】
确定圆的条件；一次函数应用；一元二次方程解法
【点评】
本题解题的核心是将“三点能确定圆”的条件转化为“三点不共线”，通过先求共线时的参数值再取反得到结果，融合了函数与方程的知识，需要熟练掌握转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

10 如图,在$5×7$的网格中,各小正方形的边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外,外心也是点$O$的三角形为.

10.$△ ABD,△ ACD,△ BCD$

【分析】
首先明确三角形外心的核心性质：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。因此找外心为点O的三角形，本质是找三个顶点到O点距离均相等的三角形。解题思路如下：1. 先计算OA、OB、OC的长度，确定以O为圆心的外接圆半径；2. 计算点D、E到O的距离，筛选出到O距离等于半径的点；3. 在所有到O距离等于半径的点中任选3个组成三角形，排除△ABC后就是所求结果。
【解析】
解：
∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，即A、B、C三点都在以O为圆心、OA长为半径的圆上。
设每个小正方形边长为1，由勾股定理计算可得：OD=OA=OB=OC，OE≠OA，
因此A、B、C、D四点共圆，圆心为O。
圆上任意三点构成的三角形的外心均为圆心O，四点中任取3个的组合有4种：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，
排除△ABC后，符合要求的三角形为△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】
△ABD、△ACD、△BCD
【知识点】
三角形外心的性质、勾股定理、点与圆的位置关系
【点评】
本题将外心的判定转化为点到圆心距离的判断，结合网格中勾股定理的应用即可求解，需要注意不要漏记共圆四点的三角形组合。
【难度系数】
0.7

11 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点均在格线的交点上.若在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得$△ ABC$的外心为点O，则BC的长为.

11.$2\sqrt{5}$

【分析】
首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，因此可得OA=OB=OC。解题第一步先利用勾股定理算出OA的长度，确定OB、OC的长度；第二步在方格纸的格点中找出所有到点O的距离等于OA的点，任选两个作为B、C；第三步再用勾股定理计算B、C两点间的距离即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
由方格纸每个小格边长为1，计算OA的长度：点O到点A的水平距离为1，竖直距离为3，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
∴$OB=OC=\sqrt{10}$，即B、C为到点O距离为$\sqrt{10}$的格点。
满足到O距离为$\sqrt{10}$的格点坐标（以O为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向）有$(±1,±3),(±3,±1)$，除A点$(1,3)$外，任选两个点作为B、C，例如取B$(3,1)$，C$(-1,3)$，
计算BC的长度：$BC=\sqrt{[3-(-1)]^2+(1-3)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，确定B、C两点所在的圆，再结合网格特点找到符合条件的格点，既考查了基础概念的应用，也锻炼了网格中距离计算的能力。
【难度系数】
0.6

12 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF$是$AC$的垂直平分线,分别交$AB$,$AD$,$AC$于点$E$,$O$,$F$.若$AB=4$,$OF=1$,求$△ ABC$的外接圆的面积.

12. $\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形. 又$\because AD$ 平分$∠ BAC$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线. $\because EF$ 垂直平分 $AC$，$\therefore$ 点 $O$ 是$△ ABC$ 的外心，$\therefore OA$ 是 $△ ABC$ 的外接圆的半径. 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=2$，$OF=1$，$\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore △ ABC$ 的外接圆的面积为$(\sqrt{5})^2×π=5π$

【分析】
解题时首先根据已知的等腰三角形和角平分线条件，利用等腰三角形三线合一的性质判断AD是BC的垂直平分线；再结合EF是AC的垂直平分线，根据三角形外心是三边垂直平分线的交点，确定点O就是△ABC的外心，OA为外接圆半径；最后在直角三角形AOF中利用勾股定理求出半径长度，进而计算外接圆的面积。
【解析】
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$ 是等腰三角形。
又
∵$AD$ 平分$∠ BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。
∵$EF$ 垂直平分 $AC$，AD与EF交于点O，
∴点$O$ 是$△ ABC$ 三边垂直平分线的交点，即O是$△ABC$的外心，$OA$ 是 $△ ABC$ 的外接圆的半径。
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，已知$OF=1$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴$△ ABC$ 的外接圆的面积为$π×OA^2=π×(\sqrt{5})^2=5π$。
【答案】
$5π$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外心的概念，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合垂直平分线的性质准确确定三角形外接圆的圆心和半径，再结合勾股定理计算求解，考查了对几何基础概念和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

13 分类讨论思想 [2025上海改编]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$\odot O$经过$B$,$C$两点,且$AO=3$,求$\odot O$的半径.

13. 如图，过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$. $\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，$BC=6$，$\therefore$ 易得点 $O$ 在直线 $AD$ 上，$BD=\frac{1}{2}BC=3$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$. 当点 $O_1$ 在 $AD$ 的反向延长线上时，连接 $O_1B$. $\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_1BD$ 中，$O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$. 当点 $O_2$ 在线段 $AD$ 上时，连接 $O_2B$. $\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_2BD$ 中，$O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 综上所述，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$

【分析】
首先根据等腰三角形三线合一的性质，过点A作BC的垂线AD，AD即为BC的垂直平分线；由于$\odot O$过B、C两点，可知圆心O一定在BC的垂直平分线即直线AD上，确定了O的位置范围。已知$AO=3$，因此O存在两种位置情况：一是在A点上方的AD反向延长线上，二是在线段AD上，分别计算两种情况下OD的长度，再在直角三角形OBD中利用勾股定理即可求出$\odot O$的半径。
【解析】
过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$.
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，$BC=6$，
$\therefore$ 点 $O$ 在直线 $AD$ 上，$BD=\frac{1}{2}BC=3$，
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
分两种情况讨论：
1. 当点 $O_1$ 在 $AD$ 的反向延长线上时，连接 $O_1B$：
$\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$，
在 $\mathrm{Rt}△ O_1BD$ 中，$O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$；
2. 当点 $O_2$ 在线段 $AD$ 上时，连接 $O_2B$：
$\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$，
在 $\mathrm{Rt}△ O_2BD$ 中，$O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
综上所述，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$.
【答案】
$\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理推论，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题关键是明确过弦两端点的圆的圆心在弦的垂直平分线上，结合AO的长度判断圆心的两种可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6