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7 A,B,C三所学校对学生喜爱的体育项目进行调查，分别有a名、b名、c名学生参与调查，其中喜欢足球的学生所占的百分比分别为58%，66%，73%。这三所学校参与调查的所有学生中，喜欢足球的学生所占的百分比为
$\frac{58\%a+66\%b+73\%c}{a+b+c}$
。答案
7. $\frac{58\%a+66\%b+73\%c}{a+b+c}$
解析
【分析】
要计算三所学校所有参与调查学生中喜欢足球的占比，核心思路是“占比=喜欢足球的总人数÷参与调查的总人数”。首先需要分别求出每所学校喜欢足球的人数，相加得到喜欢足球的总人数，再求出三所学校参与调查的总人数，最后用总喜欢人数除以总参与人数即可得到所求百分比，注意不能直接对三个百分比取算术平均，要结合各校参与人数的权重计算。
【解析】
第一步：计算各校喜欢足球的人数
A校喜欢足球的人数为：$58\% × a = 58\%a$
B校喜欢足球的人数为：$66\% × b = 66\%b$
C校喜欢足球的人数为：$73\% × c = 73\%c$
第二步：计算喜欢足球的总人数和参与调查的总人数
喜欢足球的总人数：$58\%a + 66\%b + 73\%c$
参与调查的总人数：$a + b + c$
第三步：计算所占百分比
所求百分比 = 喜欢足球的总人数 ÷ 参与调查的总人数 = $\frac{58\%a + 66\%b + 73\%c}{a + b + c}$
【答案】
$\frac{58\%a+66\%b+73\%c}{a+b+c}$
【知识点】
百分比计算、加权平均数
【点评】
本题易错点是直接将三个百分比相加后除以3求平均，忽略了各校参与调查人数的权重差异，解题时要明确占比类问题的计算逻辑，始终对应总数量和总份数的关系。
【难度系数】
0.7
要计算三所学校所有参与调查学生中喜欢足球的占比，核心思路是“占比=喜欢足球的总人数÷参与调查的总人数”。首先需要分别求出每所学校喜欢足球的人数，相加得到喜欢足球的总人数，再求出三所学校参与调查的总人数，最后用总喜欢人数除以总参与人数即可得到所求百分比，注意不能直接对三个百分比取算术平均，要结合各校参与人数的权重计算。
【解析】
第一步：计算各校喜欢足球的人数
A校喜欢足球的人数为：$58\% × a = 58\%a$
B校喜欢足球的人数为：$66\% × b = 66\%b$
C校喜欢足球的人数为：$73\% × c = 73\%c$
第二步：计算喜欢足球的总人数和参与调查的总人数
喜欢足球的总人数：$58\%a + 66\%b + 73\%c$
参与调查的总人数：$a + b + c$
第三步：计算所占百分比
所求百分比 = 喜欢足球的总人数 ÷ 参与调查的总人数 = $\frac{58\%a + 66\%b + 73\%c}{a + b + c}$
【答案】
$\frac{58\%a+66\%b+73\%c}{a+b+c}$
【知识点】
百分比计算、加权平均数
【点评】
本题易错点是直接将三个百分比相加后除以3求平均，忽略了各校参与调查人数的权重差异，解题时要明确占比类问题的计算逻辑，始终对应总数量和总份数的关系。
【难度系数】
0.7
8 某画展举办观众最喜爱的美术作品评选活动.A,B,C三部作品在甲、乙、丙三地的得票情况如下表：
地区 投票人数 得票率
作品A 作品B 作品C
甲 10 000
65％ 85％
乙 8 000 85％ 80％ 75％
丙 12 000 75％ 75％ 80％
如果总得票率超过80％的为一等奖，那么这三部作品中，有获得一等奖的吗？若有，是哪一个？
地区 投票人数 得票率
作品A 作品B 作品C
甲 10 000
65％ 85％乙 8 000 85％ 80％ 75％
丙 12 000 75％ 75％ 80％
如果总得票率超过80％的为一等奖，那么这三部作品中，有获得一等奖的吗？若有，是哪一个？
答案
8. 有 作品 A 的总得票率为
$\frac{10000×70\%+8000×85\%+12000×75\%}{10000+8000+12000}=76\%$,作品 B 的总得票率为$\frac{10000×65\%+8000×80\%+12000×75\%}{10000+8000+12000}=73\%$,作品 C 的总得票率为 $\frac{10000×85\%+8000×75\%+12000×80\%}{10000+8000+12000}≈ 80.3\%$.
∵ 80.3%＞80%,
∴ 这三部作品中有获得一等奖的,是作品 C
$\frac{10000×70\%+8000×85\%+12000×75\%}{10000+8000+12000}=76\%$,作品 B 的总得票率为$\frac{10000×65\%+8000×80\%+12000×75\%}{10000+8000+12000}=73\%$,作品 C 的总得票率为 $\frac{10000×85\%+8000×75\%+12000×80\%}{10000+8000+12000}≈ 80.3\%$.
∵ 80.3%＞80%,
∴ 这三部作品中有获得一等奖的,是作品 C
解析
【分析】
要判断哪部作品能获得一等奖，首先明确总得票率的计算规则：总得票率=作品在三地的总得票数÷三地总投票人数×100%。解题步骤如下：第一步先计算甲、乙、丙三地的总投票人数；第二步分别计算三部作品在三地的总得票数（每个地区的得票数=该地区投票人数×对应作品在当地的得票率，再将三地数据求和）；第三步用各作品的总得票数除以总投票人数，得到各自的总得票率；最后将总得票率与80%比较，超过80%的即为一等奖作品。注意不能直接对三地的得票率求算术平均，因为不同地区投票人数不同，对总得票率的影响权重不同。
【解析】
首先计算三地总投票人数：
$10000+8000+12000=30000$（人）
分别计算三部作品的总得票率：
1. 作品A的总得票率：
$\frac{10000×70\%+8000×85\%+12000×75\%}{30000}=\frac{7000+6800+9000}{30000}=\frac{22800}{30000}=76\%$
2. 作品B的总得票率：
$\frac{10000×65\%+8000×80\%+12000×75\%}{30000}=\frac{6500+6400+9000}{30000}=\frac{21900}{30000}=73\%$
3. 作品C的总得票率：
$\frac{10000×85\%+8000×75\%+12000×80\%}{30000}=\frac{8500+6000+9600}{30000}=\frac{24100}{30000}\approx80.3\%$
将总得票率与一等奖标准80%比较：$80.3\%＞80\%$，其余两部作品得票率均低于80%。
【答案】
有获得一等奖的，是作品C
【知识点】
百分率计算，加权平均数，数据比较
【点评】
本题结合实际评选场景考查统计相关知识，解题的核心是正确理解总得票率的计算逻辑，注意区分加权平均和算术平均的适用场景，避免忽略不同地区投票人数的权重直接平均得票率导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪部作品能获得一等奖，首先明确总得票率的计算规则：总得票率=作品在三地的总得票数÷三地总投票人数×100%。解题步骤如下：第一步先计算甲、乙、丙三地的总投票人数；第二步分别计算三部作品在三地的总得票数（每个地区的得票数=该地区投票人数×对应作品在当地的得票率，再将三地数据求和）；第三步用各作品的总得票数除以总投票人数，得到各自的总得票率；最后将总得票率与80%比较，超过80%的即为一等奖作品。注意不能直接对三地的得票率求算术平均，因为不同地区投票人数不同，对总得票率的影响权重不同。
【解析】
首先计算三地总投票人数：
$10000+8000+12000=30000$（人）
分别计算三部作品的总得票率：
1. 作品A的总得票率：
$\frac{10000×70\%+8000×85\%+12000×75\%}{30000}=\frac{7000+6800+9000}{30000}=\frac{22800}{30000}=76\%$
2. 作品B的总得票率：
$\frac{10000×65\%+8000×80\%+12000×75\%}{30000}=\frac{6500+6400+9000}{30000}=\frac{21900}{30000}=73\%$
3. 作品C的总得票率：
$\frac{10000×85\%+8000×75\%+12000×80\%}{30000}=\frac{8500+6000+9600}{30000}=\frac{24100}{30000}\approx80.3\%$
将总得票率与一等奖标准80%比较：$80.3\%＞80\%$，其余两部作品得票率均低于80%。
【答案】
有获得一等奖的，是作品C
【知识点】
百分率计算，加权平均数，数据比较
【点评】
本题结合实际评选场景考查统计相关知识，解题的核心是正确理解总得票率的计算逻辑，注意区分加权平均和算术平均的适用场景，避免忽略不同地区投票人数的权重直接平均得票率导致计算错误。
【难度系数】
0.7
9 某校对九年级(1)班学生的身高$ x $(单位:cm)情况进行了抽样调查，$ x ≤ 150 $的为中下等水平，$ 150 ＜ x ≤ 160 $的为中等水平，$ 160 ＜ x ≤ 170 $的为中上等水平，$ x ＞ 170 $的为上等水平.3组调查数据如下:
第1组:153,162,148,170,155,163.第2组:150,164,173,168,146,170,165,154.第3组:158,169,164,149,152,172,170.
(1)分别求各组身高数据的平均数，以及各组身高等级的人数所占的百分比；
(2)利用(1)中获得的结果，计算所抽样本的身高数据的平均数(精确到0.1)，不同等级水平范围内的人数所占的百分比(精确到1%)，并对该校九年级(1)班学生的身高情况作简要分析.
第1组:153,162,148,170,155,163.第2组:150,164,173,168,146,170,165,154.第3组:158,169,164,149,152,172,170.
(1)分别求各组身高数据的平均数，以及各组身高等级的人数所占的百分比；
(2)利用(1)中获得的结果，计算所抽样本的身高数据的平均数(精确到0.1)，不同等级水平范围内的人数所占的百分比(精确到1%)，并对该校九年级(1)班学生的身高情况作简要分析.
答案
9. (1) 各组身高数据的平均数、各组身高等级的人数所占的百分比如下表：
| 组 别 | 人 数 | 平 均 数 | 各组身高等级的人数所占的百分比（精确到1%） | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | | | $x≤150$ | $150＜x≤160$ | $160＜x≤170$ | $x＞170$ |
| 第1组 | 6 | 158.5 | 17% | 33% | 50% | 0 |
| 第2组 | 8 | 161.25 | 25% | 13% | 50% | 13% |
| 第3组 | 7 | 162 | 14% | 29% | 43% | 14% |
(2) 3组共21个数据,利用平均数的分布式计算,可得所抽样本的身高数据的平均数为 $\overline{x}=\frac{158.5×6+161.25×8+162×7}{21}≈160.7$. 中下等水平人数所占的百分比为 $\frac{17\%×6+25\%×8+14\%×7}{21}≈19\%$,中等水平人数所占的百分比为 $\frac{33\%×6+13\%×8+29\%×7}{21}≈24\%$,中上等水平人数所占的百分比为 $\frac{50\%×6+50\%×8+43\%×7}{21}≈48\%$,上等水平人数所占的百分比为 $\frac{0×6+13\%×8+14\%×7}{21}≈10\%$. 由所抽样本的身高数据的平均数及不同等级水平范围内的人数所占的百分比可知,该校九年级(1)班学生的身高属于中上等水平(合理即可)
| 组 别 | 人 数 | 平 均 数 | 各组身高等级的人数所占的百分比（精确到1%） | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | | | $x≤150$ | $150＜x≤160$ | $160＜x≤170$ | $x＞170$ |
| 第1组 | 6 | 158.5 | 17% | 33% | 50% | 0 |
| 第2组 | 8 | 161.25 | 25% | 13% | 50% | 13% |
| 第3组 | 7 | 162 | 14% | 29% | 43% | 14% |
(2) 3组共21个数据,利用平均数的分布式计算,可得所抽样本的身高数据的平均数为 $\overline{x}=\frac{158.5×6+161.25×8+162×7}{21}≈160.7$. 中下等水平人数所占的百分比为 $\frac{17\%×6+25\%×8+14\%×7}{21}≈19\%$,中等水平人数所占的百分比为 $\frac{33\%×6+13\%×8+29\%×7}{21}≈24\%$,中上等水平人数所占的百分比为 $\frac{50\%×6+50\%×8+43\%×7}{21}≈48\%$,上等水平人数所占的百分比为 $\frac{0×6+13\%×8+14\%×7}{21}≈10\%$. 由所抽样本的身高数据的平均数及不同等级水平范围内的人数所占的百分比可知,该校九年级(1)班学生的身高属于中上等水平(合理即可)
解析
【分析】
(1) 计算各组平均数时，直接利用平均数公式：平均数=数据总和÷数据个数即可；计算各组各身高等级人数占比时，先将每组数据按题目给定的4个身高区间分类计数，再用每个区间的人数除以本组总人数，转化为精确到1%的百分比即可。
(2) 计算整个样本的平均数时，使用加权平均数公式，以各组人数为权重，将各组平均数乘对应组的人数求和，再除以三组总人数即可；计算样本各等级人数占比时，先统计所有样本中各等级的总人数，除以总样本数转化为精确到1%的百分比，最后结合计算结果对班级身高情况做合理分析即可。
【解析】
(1) 第1组：共6个数据，数据总和为$153+162+148+170+155+163=951$，平均数为$951÷6=158.5$；
按等级计数：$x≤150$共1人，占比$1÷6\approx17\%$；$150＜x≤160$共2人，占比$2÷6\approx33\%$；$160＜x≤170$共3人，占比$3÷6=50\%$；$x＞170$共0人，占比0。
第2组：共8个数据，数据总和为$150+164+173+168+146+170+165+154=1290$，平均数为$1290÷8=161.25$；
按等级计数：$x≤150$共2人，占比$2÷8=25\%$；$150＜x≤160$共1人，占比$1÷8\approx13\%$；$160＜x≤170$共4人，占比$4÷8=50\%$；$x＞170$共1人，占比$1÷8\approx13\%$。
第3组：共7个数据，数据总和为$158+169+164+149+152+172+170=1134$，平均数为$1134÷7=162$；
按等级计数：$x≤150$共1人，占比$1÷7\approx14\%$；$150＜x≤160$共2人，占比$2÷7\approx29\%$；$160＜x≤170$共3人，占比$3÷7\approx43\%$；$x＞170$共1人，占比$1÷7\approx14\%$。
(2) 总样本数为$6+8+7=21$，
样本平均数：$\overline{x}=\frac{158.5×6+161.25×8+162×7}{21}=\frac{3375}{21}\approx160.7$；
各等级总人数：$x≤150$共$1+2+1=4$人，占比$4÷21\approx19\%$；$150＜x≤160$共$2+1+2=5$人，占比$5÷21\approx24\%$；$160＜x≤170$共$3+4+3=10$人，占比$10÷21\approx48\%$；$x＞170$共$0+1+1=2$人，占比$2÷21\approx10\%$。
结合计算结果可判断，班级学生平均身高接近161cm，近半数学生处于中上等身高区间，整体身高情况较好。
【答案】
(1) 第1组：人数6，平均数158.5，各等级占比依次为17%、33%、50%、0；第2组：人数8，平均数161.25，各等级占比依次为25%、13%、50%、13%；第3组：人数7，平均数162，各等级占比依次为14%、29%、43%、14%；
(2) 所抽样本身高平均数约为160.7，中下等、中等、中上等、上等水平人数占比依次约为19%、24%、48%、10%，该校九年级(1)班学生的身高整体属于中上等水平（合理即可）。
【知识点】
平均数计算，加权平均数，百分比计算
【点评】
本题结合身高统计的实际场景，既考查了基础的平均数、百分比计算能力，也考查了加权平均数的应用，同时要求学生结合统计结果做合理的定性分析，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 计算各组平均数时，直接利用平均数公式：平均数=数据总和÷数据个数即可；计算各组各身高等级人数占比时，先将每组数据按题目给定的4个身高区间分类计数，再用每个区间的人数除以本组总人数，转化为精确到1%的百分比即可。
(2) 计算整个样本的平均数时，使用加权平均数公式，以各组人数为权重，将各组平均数乘对应组的人数求和，再除以三组总人数即可；计算样本各等级人数占比时，先统计所有样本中各等级的总人数，除以总样本数转化为精确到1%的百分比，最后结合计算结果对班级身高情况做合理分析即可。
【解析】
(1) 第1组：共6个数据，数据总和为$153+162+148+170+155+163=951$，平均数为$951÷6=158.5$；
按等级计数：$x≤150$共1人，占比$1÷6\approx17\%$；$150＜x≤160$共2人，占比$2÷6\approx33\%$；$160＜x≤170$共3人，占比$3÷6=50\%$；$x＞170$共0人，占比0。
第2组：共8个数据，数据总和为$150+164+173+168+146+170+165+154=1290$，平均数为$1290÷8=161.25$；
按等级计数：$x≤150$共2人，占比$2÷8=25\%$；$150＜x≤160$共1人，占比$1÷8\approx13\%$；$160＜x≤170$共4人，占比$4÷8=50\%$；$x＞170$共1人，占比$1÷8\approx13\%$。
第3组：共7个数据，数据总和为$158+169+164+149+152+172+170=1134$，平均数为$1134÷7=162$；
按等级计数：$x≤150$共1人，占比$1÷7\approx14\%$；$150＜x≤160$共2人，占比$2÷7\approx29\%$；$160＜x≤170$共3人，占比$3÷7\approx43\%$；$x＞170$共1人，占比$1÷7\approx14\%$。
(2) 总样本数为$6+8+7=21$，
样本平均数：$\overline{x}=\frac{158.5×6+161.25×8+162×7}{21}=\frac{3375}{21}\approx160.7$；
各等级总人数：$x≤150$共$1+2+1=4$人，占比$4÷21\approx19\%$；$150＜x≤160$共$2+1+2=5$人，占比$5÷21\approx24\%$；$160＜x≤170$共$3+4+3=10$人，占比$10÷21\approx48\%$；$x＞170$共$0+1+1=2$人，占比$2÷21\approx10\%$。
结合计算结果可判断，班级学生平均身高接近161cm，近半数学生处于中上等身高区间，整体身高情况较好。
【答案】
(1) 第1组：人数6，平均数158.5，各等级占比依次为17%、33%、50%、0；第2组：人数8，平均数161.25，各等级占比依次为25%、13%、50%、13%；第3组：人数7，平均数162，各等级占比依次为14%、29%、43%、14%；
(2) 所抽样本身高平均数约为160.7，中下等、中等、中上等、上等水平人数占比依次约为19%、24%、48%、10%，该校九年级(1)班学生的身高整体属于中上等水平（合理即可）。
【知识点】
平均数计算，加权平均数，百分比计算
【点评】
本题结合身高统计的实际场景，既考查了基础的平均数、百分比计算能力，也考查了加权平均数的应用，同时要求学生结合统计结果做合理的定性分析，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
