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1 如果关于x的方程$(x-9)^2 = m+3$可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（
A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＞-3$
D.$m≥-3$
D
）A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＞-3$
D.$m≥-3$
答案
1. D
解析
【分析】
我们需要先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，才可以用直接开平方法求解。本题中方程左边$(x-9)^2$是平方的形式，本身具有非负性，因此等号右边的$m+3$必须是非负数，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据直接开平方法的适用条件，方程等号右侧的代数式必须为非负数：
∵ 平方数具有非负性，即$(x-9)^2 ≥ 0$
∴ 要使方程可直接开平方，需满足$m+3 ≥ 0$
解不等式：移项得$m ≥ -3$
因此m的取值范围是$m≥ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法，平方的非负性，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查直接开平方法的适用前提，解题的关键是抓住平方数恒大于等于0的性质，只要掌握相关概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
我们需要先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，才可以用直接开平方法求解。本题中方程左边$(x-9)^2$是平方的形式，本身具有非负性，因此等号右边的$m+3$必须是非负数，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据直接开平方法的适用条件，方程等号右侧的代数式必须为非负数：
∵ 平方数具有非负性，即$(x-9)^2 ≥ 0$
∴ 要使方程可直接开平方，需满足$m+3 ≥ 0$
解不等式：移项得$m ≥ -3$
因此m的取值范围是$m≥ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法，平方的非负性，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查直接开平方法的适用前提，解题的关键是抓住平方数恒大于等于0的性质，只要掌握相关概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
2 如果$x=4$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x = a^2$的一个根，那么常数$a$的值为（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\pm4$
C
）A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\pm4$
答案
2. C
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边必然相等。所以我们第一步先把x=4代入原方程，得到仅含a的方程，再用直接开平方法求解该方程就能得到a的值。
【解析】
将x=4代入方程$x^2 - 3x = a^2$，可得：
$4^2 - 3×4 = a^2$
计算左边：$16 - 12 = 4$，因此得到$a^2=4$
对$a^2=4$直接开平方，解得$a=\pm2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，只要掌握方程根的定义，正确代入计算即可求解，解题过程中要注意开平方时正负两个解都要考虑，不要漏解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边必然相等。所以我们第一步先把x=4代入原方程，得到仅含a的方程，再用直接开平方法求解该方程就能得到a的值。
【解析】
将x=4代入方程$x^2 - 3x = a^2$，可得：
$4^2 - 3×4 = a^2$
计算左边：$16 - 12 = 4$，因此得到$a^2=4$
对$a^2=4$直接开平方，解得$a=\pm2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，只要掌握方程根的定义，正确代入计算即可求解，解题过程中要注意开平方时正负两个解都要考虑，不要漏解。
【难度系数】
0.8
3（1）[2025贵州]方程$x^2 -1=0$的根为
（2）[2025宿豫段考]一元二次方程$(x-1)^2=4$的解为
$x_1=1,x_2=-1$
；（2）[2025宿豫段考]一元二次方程$(x-1)^2=4$的解为
$x_1=3,x_2=-1$
。答案
3. (1) $x_1=1,x_2=-1$ (2) $x_1=3,x_2=-1$
解析
【分析】
这两道题均考查用直接开平方法解一元二次方程。解题思路如下：
（1）对于方程$x^2 -1=0$，先将常数项移到等号右侧，得到$x^2$等于常数的形式，再对等式两边同时开平方，注意开平方后有正负两个结果，即可求出方程的根；
（2）对于方程$(x-1)^2=4$，左侧已经是完全平方式，右侧是正数，直接对等式两边开平方，得到关于$x$的一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
（1）对$x^2 -1=0$移项，得：
$x^2=1$
两边同时开平方，得：
$x=\pm1$
即方程的根为$x_1=1,x_2=-1$。
（2）对$(x-1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm2$
分情况计算：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$；
即方程的解为$x_1=3,x_2=-1$。
【答案】
（1）$x_1=1,x_2=-1$；（2）$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查用直接开平方法解一元二次方程。解题思路如下：
（1）对于方程$x^2 -1=0$，先将常数项移到等号右侧，得到$x^2$等于常数的形式，再对等式两边同时开平方，注意开平方后有正负两个结果，即可求出方程的根；
（2）对于方程$(x-1)^2=4$，左侧已经是完全平方式，右侧是正数，直接对等式两边开平方，得到关于$x$的一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
（1）对$x^2 -1=0$移项，得：
$x^2=1$
两边同时开平方，得：
$x=\pm1$
即方程的根为$x_1=1,x_2=-1$。
（2）对$(x-1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm2$
分情况计算：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$；
即方程的解为$x_1=3,x_2=-1$。
【答案】
（1）$x_1=1,x_2=-1$；（2）$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
4 用直接开平方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{13}m^2=0$；
(2) $9x^2 -0.16=0$；
(3) $3(x+4)^2=15$；
(4) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$。
(1) $\frac{1}{13}m^2=0$；
(2) $9x^2 -0.16=0$；
(3) $3(x+4)^2=15$；
(4) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$。
答案
4. (1) $m_1=m_2=0$ (2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$ (3) $x_1=\sqrt{5}-4$，$x_2=-\sqrt{5}-4$ (4) $x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义，两边同时开平方转化为一元一次方程求解。各小问解题思路如下：
(1) 先将二次项系数化为1，得到$m^2=0$，直接开平方即可得解；
(2) 先移项、再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于正数的形式，开平方时注意正负两个根；
(3) 把$(x+4)$看作整体，先将完全平方式的系数化为1，再开平方求解$x$；
(4) 方程左右两边都是完全平方式，直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘13，得：$m^2=0$
开平方，得：$m=0$
∴ $m_1=m_2=0$
(2) 移项，得：$9x^2=0.16$
两边同除以9，得：$x^2=\frac{0.16}{9}$
开平方，得：$x=\pm\frac{0.4}{3}=\pm\frac{2}{15}$
∴ $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$
(3) 两边同除以3，得：$(x+4)^2=5$
开平方，得：$x+4=\pm\sqrt{5}$
移项，得：$x=-4\pm\sqrt{5}$
∴ $x_1=\sqrt{5}-4$，$x_2=-\sqrt{5}-4$
(4) 两边开平方，得：$2x+3=\pm(3x+2)$
分两种情况求解：
① 当$2x+3=3x+2$时，移项得：$3x-2x=3-2$，解得$x=1$
② 当$2x+3=-(3x+2)$时，去括号得：$2x+3=-3x-2$，移项合并得：$5x=-5$，解得$x=-1$
∴ $x_1=1,x_2=-1$
【答案】
(1) $m_1=m_2=0$；(2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$；(3) $x_1=\sqrt{5}-4$，$x_2=-\sqrt{5}-4$；(4) $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是准确将方程转化为可直接开平方的形式，开平方时注意不要遗漏负根，当右边常数为0时方程有两个相等的实数根，熟练掌握平方根的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义，两边同时开平方转化为一元一次方程求解。各小问解题思路如下：
(1) 先将二次项系数化为1，得到$m^2=0$，直接开平方即可得解；
(2) 先移项、再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于正数的形式，开平方时注意正负两个根；
(3) 把$(x+4)$看作整体，先将完全平方式的系数化为1，再开平方求解$x$；
(4) 方程左右两边都是完全平方式，直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘13，得：$m^2=0$
开平方，得：$m=0$
∴ $m_1=m_2=0$
(2) 移项，得：$9x^2=0.16$
两边同除以9，得：$x^2=\frac{0.16}{9}$
开平方，得：$x=\pm\frac{0.4}{3}=\pm\frac{2}{15}$
∴ $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$
(3) 两边同除以3，得：$(x+4)^2=5$
开平方，得：$x+4=\pm\sqrt{5}$
移项，得：$x=-4\pm\sqrt{5}$
∴ $x_1=\sqrt{5}-4$，$x_2=-\sqrt{5}-4$
(4) 两边开平方，得：$2x+3=\pm(3x+2)$
分两种情况求解：
① 当$2x+3=3x+2$时，移项得：$3x-2x=3-2$，解得$x=1$
② 当$2x+3=-(3x+2)$时，去括号得：$2x+3=-3x-2$，移项合并得：$5x=-5$，解得$x=-1$
∴ $x_1=1,x_2=-1$
【答案】
(1) $m_1=m_2=0$；(2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$；(3) $x_1=\sqrt{5}-4$，$x_2=-\sqrt{5}-4$；(4) $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是准确将方程转化为可直接开平方的形式，开平方时注意不要遗漏负根，当右边常数为0时方程有两个相等的实数根，熟练掌握平方根的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
5 新考向条件开放题 已知关于$x$的一元二次方程$(x-2)^2=16-m$，请你选取一个适当的$m$的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程.
（1）选取的$m$的值是
（2）在（1）的条件下，解这个方程.
（1）选取的$m$的值是
7
；（2）在（1）的条件下，解这个方程.
答案
5. 答案不唯一，如(1) 7 (2) 当$m=7$时，方程为$(x-2)^2=16-7$，即$(x-2)^2=9$，解得$x_1=5,x_2=-1$
解析
【分析】
要使用直接开平方法解一元二次方程，需满足方程化为$a^2 = b$的形式时，等号右侧的$b$为非负数（实数范围内平方数具有非负性）。本题中方程右侧为$16 - m$，因此只要选取$m$满足$16 - m ≥ 0$（即$m ≤ 16$）即可，选好$m$值后，对等式两边直接开平方，再解对应的一元一次方程就能得到原方程的根。
【解析】
（1）根据直接开平方法的适用条件，$16 - m ≥ 0$，即$m ≤ 16$，我们可以选取$m = 7$（答案不唯一，只要$m ≤16$均符合要求）。
（2）当$m = 7$时，原方程可化简为：
$(x - 2)^2 = 16 - 7$
即$(x - 2)^2 = 9$
对等式两边直接开平方，得：
$x - 2 = ±3$
拆分得两个一元一次方程：
$x - 2 = 3$ 或 $x - 2 = -3$
分别解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
【答案】
（1）7（答案不唯一，满足$m ≤ 16$即可）；（2）$x_1=5,x_2=-1$（对应$m=7$的情况）
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.平方的非负性
【点评】
本题是条件开放类题型，解题核心是掌握直接开平方法的适用前提，只要理解平方数的非负性就能灵活选取符合要求的$m$值求解，侧重对基础解方程方法的考查。
【难度系数】
0.8
要使用直接开平方法解一元二次方程，需满足方程化为$a^2 = b$的形式时，等号右侧的$b$为非负数（实数范围内平方数具有非负性）。本题中方程右侧为$16 - m$，因此只要选取$m$满足$16 - m ≥ 0$（即$m ≤ 16$）即可，选好$m$值后，对等式两边直接开平方，再解对应的一元一次方程就能得到原方程的根。
【解析】
（1）根据直接开平方法的适用条件，$16 - m ≥ 0$，即$m ≤ 16$，我们可以选取$m = 7$（答案不唯一，只要$m ≤16$均符合要求）。
（2）当$m = 7$时，原方程可化简为：
$(x - 2)^2 = 16 - 7$
即$(x - 2)^2 = 9$
对等式两边直接开平方，得：
$x - 2 = ±3$
拆分得两个一元一次方程：
$x - 2 = 3$ 或 $x - 2 = -3$
分别解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
【答案】
（1）7（答案不唯一，满足$m ≤ 16$即可）；（2）$x_1=5,x_2=-1$（对应$m=7$的情况）
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.平方的非负性
【点评】
本题是条件开放类题型，解题核心是掌握直接开平方法的适用前提，只要理解平方数的非负性就能灵活选取符合要求的$m$值求解，侧重对基础解方程方法的考查。
【难度系数】
0.8
6 [2024 凉山]若关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$的一个根是$x=0$，则$a$的值为（
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时需结合两个核心条件推导：①题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得a的取值限制；②已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制排除不符合的解，即可得到a的正确值。
【解析】
解：
∵ 方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a+2≠0$，解得$a≠-2$
又
∵ $x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
结合$a≠-2$的限制，排除$a=-2$，因此$a=2$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见易错题，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制，误选C选项。解题时需先明确方程类型对应的隐含限制条件，再结合根的性质计算，最后验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时需结合两个核心条件推导：①题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得a的取值限制；②已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制排除不符合的解，即可得到a的正确值。
【解析】
解：
∵ 方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a+2≠0$，解得$a≠-2$
又
∵ $x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
结合$a≠-2$的限制，排除$a=-2$，因此$a=2$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见易错题，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含限制，误选C选项。解题时需先明确方程类型对应的隐含限制条件，再结合根的性质计算，最后验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.7
