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7 方程$x^2 - \sqrt{49}=0$的根是（
A.$x_1=-7, x_2=7$
B.$x_1=x_2=7$
C.$x_1=x_2=\sqrt{7}$
D.$x_1=\sqrt{7}, x_2=-\sqrt{7}$
D
）A.$x_1=-7, x_2=7$
B.$x_1=x_2=7$
C.$x_1=x_2=\sqrt{7}$
D.$x_1=\sqrt{7}, x_2=-\sqrt{7}$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要先化简方程中的算术平方根项，注意$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果为正的7，而非$\pm7$，避免出现概念混淆的错误。接下来将方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式，再用直接开平方法求解一元二次方程的根，最后匹配选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：化简常数项，$\sqrt{49}=7$，原方程可化为：
$x^2 - 7 = 0$
第二步：移项得：
$x^2 = 7$
第三步：根据直接开平方法，对等式两边同时开平方，正数7有两个互为相反数的平方根，可得：
$x = \pm\sqrt{7}$
即方程的根为$x_1=\sqrt{7}, x_2=-\sqrt{7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的化简；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{49}$算为$\pm7$从而错选A，掌握算术平方根的非负性、熟悉直接开平方法的求解规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先化简方程中的算术平方根项，注意$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果为正的7，而非$\pm7$，避免出现概念混淆的错误。接下来将方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式，再用直接开平方法求解一元二次方程的根，最后匹配选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：化简常数项，$\sqrt{49}=7$，原方程可化为：
$x^2 - 7 = 0$
第二步：移项得：
$x^2 = 7$
第三步：根据直接开平方法，对等式两边同时开平方，正数7有两个互为相反数的平方根，可得：
$x = \pm\sqrt{7}$
即方程的根为$x_1=\sqrt{7}, x_2=-\sqrt{7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的化简；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{49}$算为$\pm7$从而错选A，掌握算术平方根的非负性、熟悉直接开平方法的求解规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8 已知关于$x$的一元二次方程$(2x+5)^2 +3n -4=0$有实数根，则$n$的取值范围是
$n≤\frac{4}{3}$
。答案
8. $n≤\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题可结合直接开平方法解一元二次方程的条件、平方的非负性求解。思考步骤如下：第一步，先对原方程移项，将完全平方式单独放在等号一侧，剩余项整理到等号另一侧；第二步，根据平方的非负性：任意实数的平方大于等于0，要使方程有实数根，等号右侧的代数式必须大于等于0，据此列出关于n的不等式；第三步，解不等式即可得到n的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(2x+5)^2 = 4 - 3n$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根，且任意实数的平方是非负数
∴ $4 - 3n ≥ 0$
移项得：$-3n ≥ -4$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$n ≤ \frac{4}{3}$
【答案】
$n≤\frac{4}{3}$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直接开平方法解一元二次方程的前提条件，同时要熟练运用平方的非负性列不等式，注意解系数为负的一元一次不等式时不等号方向的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题可结合直接开平方法解一元二次方程的条件、平方的非负性求解。思考步骤如下：第一步，先对原方程移项，将完全平方式单独放在等号一侧，剩余项整理到等号另一侧；第二步，根据平方的非负性：任意实数的平方大于等于0，要使方程有实数根，等号右侧的代数式必须大于等于0，据此列出关于n的不等式；第三步，解不等式即可得到n的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(2x+5)^2 = 4 - 3n$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根，且任意实数的平方是非负数
∴ $4 - 3n ≥ 0$
移项得：$-3n ≥ -4$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$n ≤ \frac{4}{3}$
【答案】
$n≤\frac{4}{3}$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直接开平方法解一元二次方程的前提条件，同时要熟练运用平方的非负性列不等式，注意解系数为负的一元一次不等式时不等号方向的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
9 如果关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m + 1, x_2 = 2m - 4$，那么$\frac{b}{a}$的值为
4
。答案
9. 4 【解析】由题意，可得$m+1+2m-4=0$，解得$m=1$，则$x_1=2,x_2=-2,\therefore x^2=4$.将$x^2=4$代入$ax^2=b$,得$\frac{b}{a}=4$。
解析
【分析】
首先，方程$ax^2 = b(ab＞0)$是可直接用开平方法求解的一元二次方程，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$。根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，因此该方程的两个根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出参数$m$的值，再代入得到方程的根，最后根据$x^2=\frac{b}{a}$计算出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0，
∴ $(m+1)+(2m-4)=0$，
合并同类项得$3m-3=0$，
解得$m=1$，
∴ $x_1=1+1=2$，$x_2=2×1-4=-2$，
∴ $x^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程的根
【点评】
本题核心是掌握直接开平方法解得的一元二次方程两根互为相反数的特征，结合相反数性质求出参数后即可顺利求解，解题时注意$ab＞0$的条件保证了方程有两个不相等的实根。
【难度系数】
0.7
首先，方程$ax^2 = b(ab＞0)$是可直接用开平方法求解的一元二次方程，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$。根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，因此该方程的两个根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出参数$m$的值，再代入得到方程的根，最后根据$x^2=\frac{b}{a}$计算出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0，
∴ $(m+1)+(2m-4)=0$，
合并同类项得$3m-3=0$，
解得$m=1$，
∴ $x_1=1+1=2$，$x_2=2×1-4=-2$，
∴ $x^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程的根
【点评】
本题核心是掌握直接开平方法解得的一元二次方程两根互为相反数的特征，结合相反数性质求出参数后即可顺利求解，解题时注意$ab＞0$的条件保证了方程有两个不相等的实根。
【难度系数】
0.7
10 用直接开平方法解下列方程：
(1) $(x+\dfrac{1}{9})^2=0$；
(2) $\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$；
(3) $(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$；
(4) $4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
(1) $(x+\dfrac{1}{9})^2=0$；
(2) $\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$；
(3) $(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$；
(4) $4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
答案
10. (1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$ (2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$ (3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$ (4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心解题思路是先将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数”的形式，再对两边同时开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程求解。各小问具体思考路径：
(1) 方程已经是标准的完全平方式等于0的形式，直接开平方后得到一元一次方程求解即可；
(2) 先通过移项、系数化为1，将方程整理为$(x-5)^2=a(a≥0)$的形式，再开平方求解；
(3) 先利用平方差公式化简左边的乘积式，整理为$y^2=a(a≥0)$的形式后开平方；
(4) 方程左右两边都是完全平方式，可直接开平方得到两个不同的一元一次方程，分别求解即可，注意开平方后右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
(1) 对$(x+\dfrac{1}{9})^2=0$两边直接开平方，得：
$x+\dfrac{1}{9}=0$
解得：$x_1=x_2=-\dfrac{1}{9}$
(2) 对$\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$移项，得：
$\dfrac{1}{2}(x-5)^2=16$
两边同时乘2，得：
$(x-5)^2=32$
开平方，得：
$x-5=\pm4\sqrt{2}$
即$x-5=4\sqrt{2}$或$x-5=-4\sqrt{2}$
解得：$x_1=4\sqrt{2}+5$，$x_2=-4\sqrt{2}+5$
(3) 对$(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$利用平方差公式化简，得：
$y^2-0.09-0.16=0$
整理得：$y^2=0.25$
开平方，得：
$y=\pm0.5$
解得：$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$
(4) 对$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$两边直接开平方，得：
$2(2m-3)=\pm3(m-1)$
分两种情况求解：
①当$2(2m-3)=3(m-1)$时，展开得：
$4m-6=3m-3$
解得：$m=3$
②当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，展开得：
$4m-6=-3m+3$
移项合并得：$7m=9$
解得：$m=\dfrac{9}{7}$
综上，$m_1=3$，$m_2=\dfrac{9}{7}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$
(2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$
(3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$
(4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方差公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握直接开平方法的适用条件，能灵活将方程变形为可开平方的形式，开平方时要注意带正负号避免漏解，第三、四问需要先对原式做简单化简再求解，能有效巩固直接开平方法的解题步骤。
【难度系数】
0.7
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心解题思路是先将方程变形为“左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数”的形式，再对两边同时开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程求解。各小问具体思考路径：
(1) 方程已经是标准的完全平方式等于0的形式，直接开平方后得到一元一次方程求解即可；
(2) 先通过移项、系数化为1，将方程整理为$(x-5)^2=a(a≥0)$的形式，再开平方求解；
(3) 先利用平方差公式化简左边的乘积式，整理为$y^2=a(a≥0)$的形式后开平方；
(4) 方程左右两边都是完全平方式，可直接开平方得到两个不同的一元一次方程，分别求解即可，注意开平方后右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
(1) 对$(x+\dfrac{1}{9})^2=0$两边直接开平方，得：
$x+\dfrac{1}{9}=0$
解得：$x_1=x_2=-\dfrac{1}{9}$
(2) 对$\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$移项，得：
$\dfrac{1}{2}(x-5)^2=16$
两边同时乘2，得：
$(x-5)^2=32$
开平方，得：
$x-5=\pm4\sqrt{2}$
即$x-5=4\sqrt{2}$或$x-5=-4\sqrt{2}$
解得：$x_1=4\sqrt{2}+5$，$x_2=-4\sqrt{2}+5$
(3) 对$(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$利用平方差公式化简，得：
$y^2-0.09-0.16=0$
整理得：$y^2=0.25$
开平方，得：
$y=\pm0.5$
解得：$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$
(4) 对$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$两边直接开平方，得：
$2(2m-3)=\pm3(m-1)$
分两种情况求解：
①当$2(2m-3)=3(m-1)$时，展开得：
$4m-6=3m-3$
解得：$m=3$
②当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，展开得：
$4m-6=-3m+3$
移项合并得：$7m=9$
解得：$m=\dfrac{9}{7}$
综上，$m_1=3$，$m_2=\dfrac{9}{7}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$
(2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$
(3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$
(4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方差公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握直接开平方法的适用条件，能灵活将方程变形为可开平方的形式，开平方时要注意带正负号避免漏解，第三、四问需要先对原式做简单化简再求解，能有效巩固直接开平方法的解题步骤。
【难度系数】
0.7
11 整体思想 若$(a^2 + b^2 -1)^2 =17$，求$a^2 + b^2$的值.
答案
11. 令$y=a^2+b^2$，则原方程可化简为$(y-1)^2=17$，解得$y_1=-\sqrt{17}+1,y_2=\sqrt{17}+1.\because y=a^2+b^2≥0,\therefore y=\sqrt{17}+1$,即$a^2+b^2=\sqrt{17}+1$
解析
【分析】
观察已知方程，发现$a^2 + b^2$以整体形式出现，可采用换元法简化计算：首先将$a^2 + b^2$设为一个新的变量，把原方程转化为关于新变量的一元二次方程，用直接开平方法求解，再结合平方的非负性，即$a^2≥0$、$b^2≥0$，所以$a^2 + b^2≥0$，舍去不符合条件的根，即可得到最终结果。
【解析】
令$y=a^2+b^2$，则原方程可化简为：
$(y-1)^2=17$
直接开平方得：$y-1=\pm\sqrt{17}$
解得：$y_1=1-\sqrt{17}$，$y_2=1+\sqrt{17}$
$\because y=a^2+b^2≥0$，而$1-\sqrt{17}＜0$，不符合取值要求，故舍去
$\therefore y=1+\sqrt{17}$
【答案】
$\sqrt{17}+1$
【知识点】
换元法、直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题重点考查整体思想的应用，通过换元可将复杂方程简化，解题时需注意代数式隐含的取值范围，对求解结果进行检验取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
观察已知方程，发现$a^2 + b^2$以整体形式出现，可采用换元法简化计算：首先将$a^2 + b^2$设为一个新的变量，把原方程转化为关于新变量的一元二次方程，用直接开平方法求解，再结合平方的非负性，即$a^2≥0$、$b^2≥0$，所以$a^2 + b^2≥0$，舍去不符合条件的根，即可得到最终结果。
【解析】
令$y=a^2+b^2$，则原方程可化简为：
$(y-1)^2=17$
直接开平方得：$y-1=\pm\sqrt{17}$
解得：$y_1=1-\sqrt{17}$，$y_2=1+\sqrt{17}$
$\because y=a^2+b^2≥0$，而$1-\sqrt{17}＜0$，不符合取值要求，故舍去
$\therefore y=1+\sqrt{17}$
【答案】
$\sqrt{17}+1$
【知识点】
换元法、直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题重点考查整体思想的应用，通过换元可将复杂方程简化，解题时需注意代数式隐含的取值范围，对求解结果进行检验取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
12 新考向 新定义题 定义$[x]$为不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1$，$[-1.4]=-2$，$[-3]=-3$。函数$y=[x]$在$-2≤ x＜2$范围内的图象如图所示，试求当$-2≤ x＜2$时，$[x]=\frac{1}{2}x^2$的$x$的值。
答案
12. 当$1≤ x＜2$时，$\frac{1}{2}x^2=1$,即$x^2=2$,解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$(不合题意,舍去);当$0≤ x＜1$时，$\frac{1}{2}x^2=0$,即$x^2=0$,解得$x_3=x_4=0$;当$-1≤ x＜0$时，$\frac{1}{2}x^2=-1$,方程没有实数根;当$-2≤ x＜-1$时，$\frac{1}{2}x^2=-2$,方程没有实数根. 综上所述,当$-2≤ x＜2$时,满足$[x]=\frac{1}{2}x^2$的$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$
解析
【分析】
本题是新定义题型，首先需准确理解$[x]$的含义：$[x]$是不超过实数$x$的最大整数，结合图象可知在$-2≤x＜2$范围内，$[x]$的取值随$x$所在区间变化为固定常数。解题时采用分类讨论的思路，按$[x]$的取值将$x$的范围分为4个区间：$1≤x＜2$、$0≤x＜1$、$-1≤x＜0$、$-2≤x＜-1$，每个区间内将$[x]$替换为对应常数，转化为一元二次方程求解，最后检验解是否落在对应区间内，符合要求的即为原方程的解。
【解析】
我们分4种情况讨论：
① 当$\boldsymbol{1≤x＜2}$时，根据定义$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$
两边同乘2得$x^2=2$，开平方得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$
∵$1≤x＜2$，$-\sqrt{2}\approx-1.414$不在该区间内，舍去
∴此区间解为$x=\sqrt{2}$
② 当$\boldsymbol{0≤x＜1}$时，根据定义$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$
解得$x=0$，符合$0≤x＜1$的范围，保留
③ 当$\boldsymbol{-1≤x＜0}$时，根据定义$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$
变形得$x^2=-2$，实数范围内平方数非负，该方程无实数根
④ 当$\boldsymbol{-2≤x＜-1}$时，根据定义$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$
变形得$x^2=-4$，同样无实数根
综上，满足方程的$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$。
【答案】
$\sqrt{2}$或$0$
【知识点】
新定义运算；解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和分类讨论的数学思想，解题时要注意结合取整函数的分段取值特点拆分区间，解方程后必须验证解是否在对应区间内，避免得到不符合要求的增解。
【难度系数】
0.65
本题是新定义题型，首先需准确理解$[x]$的含义：$[x]$是不超过实数$x$的最大整数，结合图象可知在$-2≤x＜2$范围内，$[x]$的取值随$x$所在区间变化为固定常数。解题时采用分类讨论的思路，按$[x]$的取值将$x$的范围分为4个区间：$1≤x＜2$、$0≤x＜1$、$-1≤x＜0$、$-2≤x＜-1$，每个区间内将$[x]$替换为对应常数，转化为一元二次方程求解，最后检验解是否落在对应区间内，符合要求的即为原方程的解。
【解析】
我们分4种情况讨论：
① 当$\boldsymbol{1≤x＜2}$时，根据定义$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$
两边同乘2得$x^2=2$，开平方得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$
∵$1≤x＜2$，$-\sqrt{2}\approx-1.414$不在该区间内，舍去
∴此区间解为$x=\sqrt{2}$
② 当$\boldsymbol{0≤x＜1}$时，根据定义$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$
解得$x=0$，符合$0≤x＜1$的范围，保留
③ 当$\boldsymbol{-1≤x＜0}$时，根据定义$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$
变形得$x^2=-2$，实数范围内平方数非负，该方程无实数根
④ 当$\boldsymbol{-2≤x＜-1}$时，根据定义$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$
变形得$x^2=-4$，同样无实数根
综上，满足方程的$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$。
【答案】
$\sqrt{2}$或$0$
【知识点】
新定义运算；解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和分类讨论的数学思想，解题时要注意结合取整函数的分段取值特点拆分区间，解方程后必须验证解是否在对应区间内，避免得到不符合要求的增解。
【难度系数】
0.65
