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8（易错题）若关于x的一元二次方程$(a-7)x^2 + x + |a| -7 = 0$的一个根是$x=0$，则实数a的值为（
A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
A
）A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
答案
8. A
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选D选项。
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选D选项。
9 [2024 南充]已知$m$是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为
$-4$
。答案
9. $-4$
10 整体思想 若$m$是方程$x^2 -2x -1=0$的一个根，则$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值为
$6$
。答案
10. 6 【解析】$\because m$是方程$x^{2}-2x-1=0$的一个根,$\therefore m^{2}-2m-1=0$,且$m ≠ 0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即$m-\frac{1}{m}=2$. 两边分别平方,得$(m-\frac{1}{m})^{2}=4$,即$m^{2}-2+\frac{1}{m^{2}}=4$,$\therefore m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=6$.
11 教材变式题 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
答案
11. (1) $x^{2}+x-24=0$ 它的二次项系数为 1,一次项系数为 1,常数项为$-24$
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
12 已知关于x的方程$(m-1)x^{m^2+1}+(m-2)x-1=0$，回答下面的问题：
（1）若方程是一元二次方程，求m的值。
（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解。
（1）若方程是一元二次方程，求m的值。
（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解。
答案
12. (1) 根据题意,得 $m^{2}+1=2$,且 $m-1 ≠ 0$,解得 $m=-1$
(2) 存在 有两种情况:① 当满足 $m^{2}+1=1$,且$(m-1)+(m-2) ≠ 0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;② 当满足 $m-1=0$,且 $m-2 ≠ 0$,即 $m=1$ 时,方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$
(2) 存在 有两种情况:① 当满足 $m^{2}+1=1$,且$(m-1)+(m-2) ≠ 0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;② 当满足 $m-1=0$,且 $m-2 ≠ 0$,即 $m=1$ 时,方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$
13 若$x_0$是关于$x$的方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，设$M=1 - ac$，$N=(ax_0 + 1)^2$，试比较$M$与$N$的大小。
答案
13. $\because x_{0}$是关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+2 x+c=0(a ≠ 0)$ 的一个根,
$\therefore a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$,即 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,$\therefore N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=1-a c . \because M=1-a c$,$\therefore M=N$
$\therefore a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$,即 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,$\therefore N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=1-a c . \because M=1-a c$,$\therefore M=N$
