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8（易错题）若关于x的一元二次方程$(a-7)x^2 + x + |a| -7 = 0$的一个根是$x=0$，则实数a的值为（
A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
A
）A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
答案
8. A
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选D选项。
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选D选项。
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解得到a的候选值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，最终确定a的正确取值。
【解析】
∵x=0是方程$(a-7)x^2 + x + |a| -7 = 0$的根，
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$(a-7)×0^2 + 0 + |a| - 7 = 0$
化简得$|a|=7$，解得$a=7$或$a=-7$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-7≠0$，即$a≠7$。
综上，$a=-7$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的概念，绝对值的运算
【点评】
本题是典型的易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接解得a=±7后错选D。求解含参数的一元二次方程问题时，要先明确二次项系数不为0的前提，再进行后续计算，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解得到a的候选值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，最终确定a的正确取值。
【解析】
∵x=0是方程$(a-7)x^2 + x + |a| -7 = 0$的根，
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$(a-7)×0^2 + 0 + |a| - 7 = 0$
化简得$|a|=7$，解得$a=7$或$a=-7$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a-7≠0$，即$a≠7$。
综上，$a=-7$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的概念，绝对值的运算
【点评】
本题是典型的易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接解得a=±7后错选D。求解含参数的一元二次方程问题时，要先明确二次项系数不为0的前提，再进行后续计算，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
9 [2024 南充]已知$m$是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为
$-4$
。答案
9. $-4$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义求解。首先根据“m是方程的根”，将x=m代入方程可得到关于m的等式，再将待求的代数式展开化简，观察化简结果与所得等式的关系，采用整体代入的方法即可求出结果，无需解出m的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 4m - 1 = 0$，即$m^2 + 4m = 1$
先展开化简待求式：
$(m + 5)(m - 1) = m^2 - m + 5m - 5 = m^2 + 4m - 5$
将$m^2 + 4m = 1$代入上式得：
原式$= 1 - 5 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整式乘法运算，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免因求解根的具体值带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根的定义求解。首先根据“m是方程的根”，将x=m代入方程可得到关于m的等式，再将待求的代数式展开化简，观察化简结果与所得等式的关系，采用整体代入的方法即可求出结果，无需解出m的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 4m - 1 = 0$，即$m^2 + 4m = 1$
先展开化简待求式：
$(m + 5)(m - 1) = m^2 - m + 5m - 5 = m^2 + 4m - 5$
将$m^2 + 4m = 1$代入上式得：
原式$= 1 - 5 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整式乘法运算，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免因求解根的具体值带来的复杂运算。
【难度系数】
0.8
10 整体思想 若$m$是方程$x^2 -2x -1=0$的一个根，则$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值为
$6$
。答案
10. 6 【解析】$\because m$是方程$x^{2}-2x-1=0$的一个根,$\therefore m^{2}-2m-1=0$,且$m ≠ 0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即$m-\frac{1}{m}=2$. 两边分别平方,得$(m-\frac{1}{m})^{2}=4$,即$m^{2}-2+\frac{1}{m^{2}}=4$,$\therefore m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=6$.
解析
【分析】
解题首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入方程得到关于m的等式；由于所求代数式含有$\frac{1}{m^2}$，可判断m≠0，因此将所得等式两边同时除以m，变形得到$m-\frac{1}{m}$的值；再观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$，它可由$(m-\frac{1}{m})^2$展开后变形得到，因此将$m-\frac{1}{m}$的值整体代入计算即可，无需直接求解m的值，能简化运算。
【解析】
$\because m$是方程$x^2-2x-1=0$的一个根，
$\therefore$把$x=m$代入方程得$m^2-2m-1=0$，且$m\ne0$（若$m=0$，代入方程左边得$-1\ne0$，矛盾），
等式两边同时除以$m$得：$m-2-\frac{1}{m}=0$，整理得$m-\frac{1}{m}=2$，
将等式两边同时平方得：$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
展开左边得：$m^2-2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=4$，即$m^2-2+\frac{1}{m^2}=4$，
移项计算得：$m^2+\frac{1}{m^2}=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查方程根的性质与代数式变形的结合运用，解题关键是对已知等式合理变形，借助整体思想简化计算，避开直接求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
解题首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入方程得到关于m的等式；由于所求代数式含有$\frac{1}{m^2}$，可判断m≠0，因此将所得等式两边同时除以m，变形得到$m-\frac{1}{m}$的值；再观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$，它可由$(m-\frac{1}{m})^2$展开后变形得到，因此将$m-\frac{1}{m}$的值整体代入计算即可，无需直接求解m的值，能简化运算。
【解析】
$\because m$是方程$x^2-2x-1=0$的一个根，
$\therefore$把$x=m$代入方程得$m^2-2m-1=0$，且$m\ne0$（若$m=0$，代入方程左边得$-1\ne0$，矛盾），
等式两边同时除以$m$得：$m-2-\frac{1}{m}=0$，整理得$m-\frac{1}{m}=2$，
将等式两边同时平方得：$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
展开左边得：$m^2-2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=4$，即$m^2-2+\frac{1}{m^2}=4$，
移项计算得：$m^2+\frac{1}{m^2}=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查方程根的性质与代数式变形的结合运用，解题关键是对已知等式合理变形，借助整体思想简化计算，避开直接求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
11 教材变式题 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
答案
11. (1) $x^{2}+x-24=0$ 它的二次项系数为 1,一次项系数为 1,常数项为$-24$
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先通过整式乘法去掉方程中的括号，再将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，最后合并同类项得到一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需要包含本身的正负号。
【解析】
(1) 第一步展开左边乘积：
$(x+4)(x-3)=x^2-3x+4x-12=x^2+x-12$
原方程转化为：$x^2+x-12=12$
第二步移项，将右侧12移到左侧变号：$x^2+x-12-12=0$
第三步合并同类项得到一般形式：$x^2+x-24=0$
对应可得二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$。
(2) 第一步展开左侧整式：
$(x+2)^2-2x(x-2)=x^2+4x+4-2x^2+4x=-x^2+8x+4$
原方程转化为：$-x^2+8x+4=4x+4$
第二步移项，将右侧所有项移到左侧变号：$-x^2+8x+4-4x-4=0$
第三步合并同类项得到一般形式：$-x^2+4x=0$
对应可得二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【答案】
(1) $x^{2}+x-24=0$ 它的二次项系数为 1,一次项系数为 1,常数项为$-24$
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 整式乘法运算 3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意去括号、移项时的符号变化，提取各项系数时需保留前面的正负号，不要遗漏为0的常数项。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先通过整式乘法去掉方程中的括号，再将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，最后合并同类项得到一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需要包含本身的正负号。
【解析】
(1) 第一步展开左边乘积：
$(x+4)(x-3)=x^2-3x+4x-12=x^2+x-12$
原方程转化为：$x^2+x-12=12$
第二步移项，将右侧12移到左侧变号：$x^2+x-12-12=0$
第三步合并同类项得到一般形式：$x^2+x-24=0$
对应可得二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$。
(2) 第一步展开左侧整式：
$(x+2)^2-2x(x-2)=x^2+4x+4-2x^2+4x=-x^2+8x+4$
原方程转化为：$-x^2+8x+4=4x+4$
第二步移项，将右侧所有项移到左侧变号：$-x^2+8x+4-4x-4=0$
第三步合并同类项得到一般形式：$-x^2+4x=0$
对应可得二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【答案】
(1) $x^{2}+x-24=0$ 它的二次项系数为 1,一次项系数为 1,常数项为$-24$
(2) $-x^{2}+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为 0
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 整式乘法运算 3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意去括号、移项时的符号变化，提取各项系数时需保留前面的正负号，不要遗漏为0的常数项。
【难度系数】
0.8
12 已知关于x的方程$(m-1)x^{m^2+1}+(m-2)x-1=0$，回答下面的问题：
（1）若方程是一元二次方程，求m的值。
（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解。
（1）若方程是一元二次方程，求m的值。
（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解。
答案
12. (1) 根据题意,得 $m^{2}+1=2$,且 $m-1 ≠ 0$,解得 $m=-1$
(2) 存在 有两种情况:① 当满足 $m^{2}+1=1$,且$(m-1)+(m-2) ≠ 0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;② 当满足 $m-1=0$,且 $m-2 ≠ 0$,即 $m=1$ 时,方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$
(2) 存在 有两种情况:① 当满足 $m^{2}+1=1$,且$(m-1)+(m-2) ≠ 0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;② 当满足 $m-1=0$,且 $m-2 ≠ 0$,即 $m=1$ 时,方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$
解析
【分析】
（1）要确定方程为一元二次方程时m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列关系式求解即可；
（2）要判断方程为一元一次方程时m是否存在，需结合一元一次方程的定义分类讨论：第一种情况是原方程最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0；第二种情况是原最高次项的系数为0，剩余项构成一元一次方程，且此时一次项系数不为0，分别列关系式求解即可。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m^2=1$，即$m=\pm1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-1$。
（2）m的值存在，分两种情况讨论：
① 当$m^2+1=1$，且$(m-1)+(m-2)≠0$时：
解$m^2+1=1$得$m=0$，代入系数验证：$(0-1)+(0-2)=-3≠0$，符合条件。
将$m=0$代入原方程，得$-3x-1=0$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
② 当$m-1=0$，且$m-2≠0$时：
解$m-1=0$得$m=1$，验证$m-2=1-2=-1≠0$，符合条件。
将$m=1$代入原方程，得$-x-1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
（1）$m=-1$；
（2）存在，m的值为0或1；当$m=0$时，方程的解为$x=-\frac{1}{3}$；当$m=1$时，方程的解为$x=-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一元一次、一元二次方程的定义，易错点是容易忽略最高次项系数不为0的限制条件，以及讨论一元一次方程时漏解，解题时需严格按照定义列全约束条件，分类做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
（1）要确定方程为一元二次方程时m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列关系式求解即可；
（2）要判断方程为一元一次方程时m是否存在，需结合一元一次方程的定义分类讨论：第一种情况是原方程最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0；第二种情况是原最高次项的系数为0，剩余项构成一元一次方程，且此时一次项系数不为0，分别列关系式求解即可。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2+1=2 \\ m-1≠0 \end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m^2=1$，即$m=\pm1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-1$。
（2）m的值存在，分两种情况讨论：
① 当$m^2+1=1$，且$(m-1)+(m-2)≠0$时：
解$m^2+1=1$得$m=0$，代入系数验证：$(0-1)+(0-2)=-3≠0$，符合条件。
将$m=0$代入原方程，得$-3x-1=0$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
② 当$m-1=0$，且$m-2≠0$时：
解$m-1=0$得$m=1$，验证$m-2=1-2=-1≠0$，符合条件。
将$m=1$代入原方程，得$-x-1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
（1）$m=-1$；
（2）存在，m的值为0或1；当$m=0$时，方程的解为$x=-\frac{1}{3}$；当$m=1$时，方程的解为$x=-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一元一次、一元二次方程的定义，易错点是容易忽略最高次项系数不为0的限制条件，以及讨论一元一次方程时漏解，解题时需严格按照定义列全约束条件，分类做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
13 若$x_0$是关于$x$的方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，设$M=1 - ac$，$N=(ax_0 + 1)^2$，试比较$M$与$N$的大小。
答案
13. $\because x_{0}$是关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+2 x+c=0(a ≠ 0)$ 的一个根,
$\therefore a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$,即 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,$\therefore N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=1-a c . \because M=1-a c$,$\therefore M=N$
$\therefore a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$,即 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,$\therefore N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=1-a c . \because M=1-a c$,$\therefore M=N$
解析
【分析】
要比较M和N的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入原方程得到含$x_0$的等量关系，再把N用完全平方公式展开，将得到的等量关系代入N的表达式中化简，最后把化简后的结果和M作对比，就能得出二者的大小关系。
【解析】
$\because x_{0}$是关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+2 x+c=0(a ≠ 0)$ 的一个根,
$\therefore$ 把$x=x_0$代入方程得：$a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$，变形可得 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,
对N展开并代入化简：
$N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=-2ax_0-ac+2ax_0+1=1-a c$,
又$\because M=1-a c$,
$\therefore M=N$
【答案】
$M=N$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.完全平方公式 3.整式化简
【点评】
本题是方程概念和整式运算的基础综合题，解题关键是灵活运用方程根的定义得到等量关系，代入待比较的代数式消去含未知数的项，熟练掌握基础概念和运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较M和N的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入原方程得到含$x_0$的等量关系，再把N用完全平方公式展开，将得到的等量关系代入N的表达式中化简，最后把化简后的结果和M作对比，就能得出二者的大小关系。
【解析】
$\because x_{0}$是关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+2 x+c=0(a ≠ 0)$ 的一个根,
$\therefore$ 把$x=x_0$代入方程得：$a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$，变形可得 $a x_{0}^{2}=-2 x_{0}-c$,
对N展开并代入化简：
$N=(a x_{0}+1)^{2}=a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1=a(-2 x_{0}-c)+2 a x_{0}+1=-2ax_0-ac+2ax_0+1=1-a c$,
又$\because M=1-a c$,
$\therefore M=N$
【答案】
$M=N$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.完全平方公式 3.整式化简
【点评】
本题是方程概念和整式运算的基础综合题，解题关键是灵活运用方程根的定义得到等量关系，代入待比较的代数式消去含未知数的项，熟练掌握基础概念和运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
