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1 将一元二次方程$-3x^2 - 2 = -4x$化成一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$后，一次项和常数项分别是（
A.$-4,2$
B.$-4x,2$
C.$4x,-2$
D.$3x^2,2$
B
）A.$-4,2$
B.$-4x,2$
C.$4x,-2$
D.$3x^2,2$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心要求：一是需把给定方程化为一元二次方程的一般形式，且满足二次项系数$a＞0$；二是识别项时要带上前面的符号，一次项需包含未知数$x$。解题时先对原方程移项，把所有项移到等号同侧，再调整符号让二次项系数为正，得到符合要求的一般形式后，对应找出一次项和常数项即可。
【解析】
1. 移项整理：原方程为$-3x^2 - 2 = -4x$，将右侧的$-4x$移到左侧，得$-3x^2 +4x -2 = 0$。
2. 调整二次项系数为正：由于题干要求$a＞0$，将方程两边同时乘以$-1$，得到符合要求的一般形式：$3x^2 -4x +2 = 0$。
3. 识别对应项：该一般形式中，一次项为$-4x$，常数项为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念题，易错点有两处：一是忽略题干对$a＞0$的要求未调整符号，二是识别一次项时漏写未知数$x$、忽略项前面的符号，容易误选不带$x$的A选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确两个核心要求：一是需把给定方程化为一元二次方程的一般形式，且满足二次项系数$a＞0$；二是识别项时要带上前面的符号，一次项需包含未知数$x$。解题时先对原方程移项，把所有项移到等号同侧，再调整符号让二次项系数为正，得到符合要求的一般形式后，对应找出一次项和常数项即可。
【解析】
1. 移项整理：原方程为$-3x^2 - 2 = -4x$，将右侧的$-4x$移到左侧，得$-3x^2 +4x -2 = 0$。
2. 调整二次项系数为正：由于题干要求$a＞0$，将方程两边同时乘以$-1$，得到符合要求的一般形式：$3x^2 -4x +2 = 0$。
3. 识别对应项：该一般形式中，一次项为$-4x$，常数项为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念题，易错点有两处：一是忽略题干对$a＞0$的要求未调整符号，二是识别一次项时漏写未知数$x$、忽略项前面的符号，容易误选不带$x$的A选项。
【难度系数】
0.7
2[2025沭阳段考]若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是$x=1$，则$m$的值为（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
C
）A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该方程就能得到m的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 + mx - 3 = 0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m = 2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解一元二次方程根的含义，掌握代入法求参数的方法，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该方程就能得到m的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 + mx - 3 = 0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m = 2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解一元二次方程根的含义，掌握代入法求参数的方法，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
3 [2025宿迁期末]如图，在一边靠墙(墙足够长)的空地上，修建一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为$80\ \mathrm{m}$的栅栏围成。若设栅栏BC的长为$x\ \mathrm{m}$，则依据题意，可列方程为
(第2题)
$\frac{1}{2}(80-x)x=640$
。 (第2题)答案
3. $\frac{1}{2}(80-x)x=640$
解析
【分析】
解题时首先明确栅栏的组成：因为AD边靠墙无需栅栏，所以栅栏由AB、BC、CD三边组成，总长80m。已知设BC长为x m，结合矩形对边相等的性质，可先求出AB的长度；再根据矩形面积=长×宽，代入面积为640m²的条件即可列出方程。
【解析】
解：设栅栏BC的长为x m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
又
∵三边栅栏总长为80m，
∴AB + CD + BC = 80，
即$2AB + x = 80$，解得$AB=\frac{80-x}{2}\ \mathrm{m}$，
∵矩形仓库的面积为$640\ \mathrm{m}^2$，矩形面积$=BC× AB$，
∴代入得：$x·\frac{80-x}{2}=640$，整理得$\frac{1}{2}(80-x)x=640$。
【答案】
$\frac{1}{2}(80-x)x=640$
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，列代数式
【点评】
本题属于实际背景下的列方程问题，解题的关键是准确识别靠墙边不用栅栏这一隐含条件，结合矩形的性质正确表示出两条邻边的长度，再根据面积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确栅栏的组成：因为AD边靠墙无需栅栏，所以栅栏由AB、BC、CD三边组成，总长80m。已知设BC长为x m，结合矩形对边相等的性质，可先求出AB的长度；再根据矩形面积=长×宽，代入面积为640m²的条件即可列出方程。
【解析】
解：设栅栏BC的长为x m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
又
∵三边栅栏总长为80m，
∴AB + CD + BC = 80，
即$2AB + x = 80$，解得$AB=\frac{80-x}{2}\ \mathrm{m}$，
∵矩形仓库的面积为$640\ \mathrm{m}^2$，矩形面积$=BC× AB$，
∴代入得：$x·\frac{80-x}{2}=640$，整理得$\frac{1}{2}(80-x)x=640$。
【答案】
$\frac{1}{2}(80-x)x=640$
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，列代数式
【点评】
本题属于实际背景下的列方程问题，解题的关键是准确识别靠墙边不用栅栏这一隐含条件，结合矩形的性质正确表示出两条邻边的长度，再根据面积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
4 有下列方程:① $2x^2 - x + \frac{3}{x} = 0$；② $(x - 2)^2 = 2x(x - 2)$；③ $ax^2 + bx + c = 0$；④ $(x - 1)(2x + 3) = 0$；⑤ $mx^2 - 3x + 5 = 2x^2(m≠0)$。其中,一定属于一元二次方程的是
②④
(填序号)。答案
4. ②④
解析
【分析】
要判断给定方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程需同时满足三个核心条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一验证每个方程即可，注意“一定属于”的要求意味着无论参数取符合题设的任意值，都要满足一元二次方程的条件。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，判定需同时满足3个条件：1.为整式方程；2.仅含1个未知数；3.未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
逐个分析如下：
① 方程中含分式$\frac{3}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
② 对原式变形整理：$(x-2)^2-2x(x-2)=0$，因式分解得$(x-2)(x-2-2x)=0$，展开得$-x^2-2x+4=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
③ 未注明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，不是一元二次方程，不符合“一定属于”的要求；
④ 展开原式得$2x^2+x-3=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
⑤ 整理原式得$(m-2)x^2-3x+5=0$，题设仅给出$m≠0$，当$m=2$时二次项系数为0，方程为一元一次方程，不符合“一定属于”的要求。
综上，一定属于一元二次方程的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题时需先判断方程是否为整式方程，再确认未知数的个数和最高次数，对于含参数的方程，要注意考虑参数取值是否会导致二次项系数为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
要判断给定方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程需同时满足三个核心条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一验证每个方程即可，注意“一定属于”的要求意味着无论参数取符合题设的任意值，都要满足一元二次方程的条件。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，判定需同时满足3个条件：1.为整式方程；2.仅含1个未知数；3.未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
逐个分析如下：
① 方程中含分式$\frac{3}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
② 对原式变形整理：$(x-2)^2-2x(x-2)=0$，因式分解得$(x-2)(x-2-2x)=0$，展开得$-x^2-2x+4=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
③ 未注明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，不是一元二次方程，不符合“一定属于”的要求；
④ 展开原式得$2x^2+x-3=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
⑤ 整理原式得$(m-2)x^2-3x+5=0$，题设仅给出$m≠0$，当$m=2$时二次项系数为0，方程为一元一次方程，不符合“一定属于”的要求。
综上，一定属于一元二次方程的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题时需先判断方程是否为整式方程，再确认未知数的个数和最高次数，对于含参数的方程，要注意考虑参数取值是否会导致二次项系数为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
25 沭阳段考若关于x的一元二次方程$x^2 + x + a - 1 = 0$的一个根是0，则a的值
答案
5. 1
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的根求参数的问题，首先想到方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以直接将已知根x=0代入原方程，原方程就会转化为仅含参数a的一元一次方程，解出a的值即可；本题中原方程的二次项系数为1，恒不为0，无需额外验证一元二次方程的成立条件。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$x^2 + x + a - 1 = 0$的一个根，
∴将x=0代入方程，等式成立，可得：
$0^2 + 0 + a - 1 = 0$
化简得：$a - 1 = 0$
解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题目，核心考查方程根的概念的应用，只要掌握根的含义，代入求解即可，计算难度低，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
遇到已知一元二次方程的根求参数的问题，首先想到方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以直接将已知根x=0代入原方程，原方程就会转化为仅含参数a的一元一次方程，解出a的值即可；本题中原方程的二次项系数为1，恒不为0，无需额外验证一元二次方程的成立条件。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$x^2 + x + a - 1 = 0$的一个根，
∴将x=0代入方程，等式成立，可得：
$0^2 + 0 + a - 1 = 0$
化简得：$a - 1 = 0$
解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题目，核心考查方程根的概念的应用，只要掌握根的含义，代入求解即可，计算难度低，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
6 教材变式题 根据题意列方程：
（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数。
（2）秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”.某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为50元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为40元/个.求大熊猫玩偶两次降价的平均降价率.
（3）如图，一架5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m.如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求该梯子底端滑动的距离.
（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数。
（2）秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”.某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为50元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为40元/个.求大熊猫玩偶两次降价的平均降价率.
（3）如图，一架5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m.如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求该梯子底端滑动的距离.
答案
6. (1) 设这两个奇数分别为 $x , x + 2 .$ 根据题意,得 $x^{2}+(x+2)^{2}=74$
(2) 设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为 $x .$ 根据题意,得 $50(1-x)^{2}=40$
(3) 设该梯子底端滑动的距离为 $x \ \mathrm{m} . \because \sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m}),$
$\therefore$ 根据题意,得 $(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$
(2) 设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为 $x .$ 根据题意,得 $50(1-x)^{2}=40$
(3) 设该梯子底端滑动的距离为 $x \ \mathrm{m} . \because \sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m}),$
$\therefore$ 根据题意,得 $(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$
解析
【分析】
（1）连续奇数的差为2，因此可设较小奇数为x，较大奇数为x+2，根据“两数平方和为74”的等量关系即可列方程。
（2）平均降价率问题中，每次降价后的价格为降价前价格乘(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算，结合两次降价后价格为40元即可列方程。
（3）先由勾股定理求出梯子顶端原本距地面的高度，设滑动距离为x m，可得滑动后顶端高度为(4-x)m、底端距墙距离为(3+x)m，梯子长度不变，再利用勾股定理列方程即可。
【解析】
（1）设较小的连续奇数为x，则较大的连续奇数为$x+2$。
根据两个连续奇数的平方和为74，列方程：$x^{2}+(x+2)^{2}=74$。
（2）设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为$x$。
第一次降价后价格为$50(1-x)$元，第二次降价后价格为$50(1-x)^2$元，结合两次降价后标价为40元，列方程：$50(1-x)^{2}=40$。
（3）设该梯子底端滑动的距离为$x \ \mathrm{m}$。
先计算梯子顶端原高度：由勾股定理得$\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m})$。
滑动后顶端高度为$(4-x)\mathrm{m}$，底端距墙距离为$(3+x)\mathrm{m}$，梯子长仍为5m，由勾股定理列方程：$(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$。
【答案】
(1) 设这两个奇数分别为 $x , x + 2$，根据题意得 $x^{2}+(x+2)^{2}=74$
(2) 设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为 $x$，根据题意得 $50(1-x)^{2}=40$
(3) 设该梯子底端滑动的距离为 $x \ \mathrm{m}$，$\because \sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m})$，$\therefore$ 根据题意得 $(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$
【知识点】
一元二次方程应用，平均变化率问题，勾股定理应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，覆盖了数字类、变化率类、几何类三类常见的方程应用考法，解题核心是准确提取题目中的等量关系，掌握对应题型的基本列方程逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）连续奇数的差为2，因此可设较小奇数为x，较大奇数为x+2，根据“两数平方和为74”的等量关系即可列方程。
（2）平均降价率问题中，每次降价后的价格为降价前价格乘(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算，结合两次降价后价格为40元即可列方程。
（3）先由勾股定理求出梯子顶端原本距地面的高度，设滑动距离为x m，可得滑动后顶端高度为(4-x)m、底端距墙距离为(3+x)m，梯子长度不变，再利用勾股定理列方程即可。
【解析】
（1）设较小的连续奇数为x，则较大的连续奇数为$x+2$。
根据两个连续奇数的平方和为74，列方程：$x^{2}+(x+2)^{2}=74$。
（2）设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为$x$。
第一次降价后价格为$50(1-x)$元，第二次降价后价格为$50(1-x)^2$元，结合两次降价后标价为40元，列方程：$50(1-x)^{2}=40$。
（3）设该梯子底端滑动的距离为$x \ \mathrm{m}$。
先计算梯子顶端原高度：由勾股定理得$\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m})$。
滑动后顶端高度为$(4-x)\mathrm{m}$，底端距墙距离为$(3+x)\mathrm{m}$，梯子长仍为5m，由勾股定理列方程：$(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$。
【答案】
(1) 设这两个奇数分别为 $x , x + 2$，根据题意得 $x^{2}+(x+2)^{2}=74$
(2) 设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为 $x$，根据题意得 $50(1-x)^{2}=40$
(3) 设该梯子底端滑动的距离为 $x \ \mathrm{m}$，$\because \sqrt{5^{2}-3^{2}}=4(\mathrm{m})$，$\therefore$ 根据题意得 $(4-x)^{2}+(3+x)^{2}=5^{2}$
【知识点】
一元二次方程应用，平均变化率问题，勾股定理应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，覆盖了数字类、变化率类、几何类三类常见的方程应用考法，解题核心是准确提取题目中的等量关系，掌握对应题型的基本列方程逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7 已知关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出的两个关键条件：①该方程是一元二次方程；②化为一般形式后不含一次项。首先我们需要先将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再根据两个条件列关系式：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是不含一次项即一次项系数为0，最后联立求解即可得到$m$的取值。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式，移项得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项后为：
$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
第二步：根据题意列条件：
1. 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
2. 因为化为一般形式后不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 -9 = 0$，解得$m=\pm3$
第三步：结合两个条件取交集，排除$m=3$，得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据一次项系数为0选$\pm3$，解题时要注意审题，充分挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目给出的两个关键条件：①该方程是一元二次方程；②化为一般形式后不含一次项。首先我们需要先将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再根据两个条件列关系式：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是不含一次项即一次项系数为0，最后联立求解即可得到$m$的取值。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式，移项得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项后为：
$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
第二步：根据题意列条件：
1. 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
2. 因为化为一般形式后不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 -9 = 0$，解得$m=\pm3$
第三步：结合两个条件取交集，排除$m=3$，得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据一次项系数为0选$\pm3$，解题时要注意审题，充分挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
