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1. 下列函数中,是二次函数的是 （
A.$y=ax^2$
B.$y=x^3 -2x -3$
C.$y=(x+1)^2 -x^2$
D.$y=3x^2 -1$
D
）A.$y=ax^2$
B.$y=x^3 -2x -3$
C.$y=(x+1)^2 -x^2$
D.$y=3x^2 -1$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，判定需满足3个条件：①是整式函数；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们逐个对选项验证这3个条件即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$y=ax^2$，题目未说明$a\ne0$，若$a=0$，函数变为$y=0$，属于常数函数，不符合二次函数要求，故A错误；
B选项：$y=x^3-2x-3$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数最高次数为2的要求，故B错误；
C选项：先对函数化简，$y=(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，故C错误；
D选项：$y=3x^2-1$，满足$a=3\ne0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时要注意两点：一是判断前需将函数化简为最简形式再看最高次数，二是要注意二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，判定需满足3个条件：①是整式函数；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们逐个对选项验证这3个条件即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$y=ax^2$，题目未说明$a\ne0$，若$a=0$，函数变为$y=0$，属于常数函数，不符合二次函数要求，故A错误；
B选项：$y=x^3-2x-3$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数最高次数为2的要求，故B错误；
C选项：先对函数化简，$y=(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，故C错误；
D选项：$y=3x^2-1$，满足$a=3\ne0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时要注意两点：一是判断前需将函数化简为最简形式再看最高次数，二是要注意二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
2. 关于函数 $y=(500-10x)(40+x)$，下列说法不正确的是 （
A.$y$ 是 $x$ 的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是 100
D.常数项是 20 000
C
）A.$y$ 是 $x$ 的二次函数
B.二次项系数是$-10$
C.一次项是 100
D.常数项是 20 000
答案
2.C
解析
【分析】
要判断关于该函数的说法是否正确，首先需要将给定的函数表达式展开整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再结合二次函数的定义、各项及系数的概念逐一核对选项，最终找出不正确的选项。
【解析】
先将函数$y=(500-10x)(40+x)$展开并整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(500-10x)(40+x)\\&=500×40 + 500x - 10x×40 - 10x· x\\&=20000 + 500x - 400x -10x^2\\&=-10x^2 + 100x + 20000\end{aligned}$
逐一分析选项：
选项A：该函数最高次为2次，且二次项系数$-10≠0$，因此$y$是$x$的二次函数，说法正确；
选项B：二次项为$-10x^2$，系数是$-10$，说法正确；
选项C：一次项为$100x$，100是一次项系数，不是一次项，说法错误；
选项D：常数项是20000，说法正确。
因此说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，整式的乘法，二次函数的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是先将函数整理为二次函数的一般形式，需要注意区分“项”和“项的系数”，避免概念混淆、计算符号出错等问题。
【难度系数】
0.8
要判断关于该函数的说法是否正确，首先需要将给定的函数表达式展开整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再结合二次函数的定义、各项及系数的概念逐一核对选项，最终找出不正确的选项。
【解析】
先将函数$y=(500-10x)(40+x)$展开并整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(500-10x)(40+x)\\&=500×40 + 500x - 10x×40 - 10x· x\\&=20000 + 500x - 400x -10x^2\\&=-10x^2 + 100x + 20000\end{aligned}$
逐一分析选项：
选项A：该函数最高次为2次，且二次项系数$-10≠0$，因此$y$是$x$的二次函数，说法正确；
选项B：二次项为$-10x^2$，系数是$-10$，说法正确；
选项C：一次项为$100x$，100是一次项系数，不是一次项，说法错误；
选项D：常数项是20000，说法正确。
因此说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，整式的乘法，二次函数的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是先将函数整理为二次函数的一般形式，需要注意区分“项”和“项的系数”，避免概念混淆、计算符号出错等问题。
【难度系数】
0.8
3. 若 $ y = 3x^{m^2 - 2} $ 是二次函数，则 $ m = $
变式题 二次项系数:数字→字母
若 $ y=(m^2 - m)x^{m^2 + m} $ 是二次函数，则 $ m = $
$\pm2$
。变式题 二次项系数:数字→字母
若 $ y=(m^2 - m)x^{m^2 + m} $ 是二次函数，则 $ m = $
$-2$
。答案
3.$\pm2$ 变式题 $-2$
解析
【分析】
要解决这两道题，核心是牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，需同时满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求$m$的可能值，再验证二次项系数是否不为0，排除不符合要求的解即可。
第3题的二次项系数是3，已经满足不为0的要求，所以只需令$x$的指数等于2，解方程即可得到$m$的值。
变式题的二次项系数含字母$m$，所以既要令$x$的指数等于2，还要保证二次项系数不等于0，两个条件同时满足才能得到正确的$m$值。
【解析】
第3题
已知$y = 3x^{m^2 - 2}$是二次函数，根据二次函数定义，$x$的最高次数为2，可得：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$
解得$m = \pm 2$
此时二次项系数$3≠0$，符合要求。
变式题
已知$y=(m^2 - m)x^{m^2 + m}$是二次函数，需同时满足两个条件：
1. $x$的最高次数为2：$m^2 + m = 2$
整理得一元二次方程：$m^2 + m - 2 = 0$
因式分解得：$(m + 2)(m - 1) = 0$
解得$m = -2$或$m = 1$
2. 二次项系数不为0：$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得：$m(m - 1) ≠ 0$，即$m≠0$且$m≠1$
结合上述两个条件，舍去$m=1$，故$m=-2$。
【答案】
3. $\pm2$；变式题 $-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 代数式取值限制
【点评】
这两道题是二次函数概念的基础考法，解题的易错点是处理含字母系数的二次函数题时，容易遗漏二次项系数不为0的条件，导致出现增根。解题时要养成先列次数方程、再验证系数的习惯，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这两道题，核心是牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，需同时满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。解题时先根据最高次数为2列方程求$m$的可能值，再验证二次项系数是否不为0，排除不符合要求的解即可。
第3题的二次项系数是3，已经满足不为0的要求，所以只需令$x$的指数等于2，解方程即可得到$m$的值。
变式题的二次项系数含字母$m$，所以既要令$x$的指数等于2，还要保证二次项系数不等于0，两个条件同时满足才能得到正确的$m$值。
【解析】
第3题
已知$y = 3x^{m^2 - 2}$是二次函数，根据二次函数定义，$x$的最高次数为2，可得：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$
解得$m = \pm 2$
此时二次项系数$3≠0$，符合要求。
变式题
已知$y=(m^2 - m)x^{m^2 + m}$是二次函数，需同时满足两个条件：
1. $x$的最高次数为2：$m^2 + m = 2$
整理得一元二次方程：$m^2 + m - 2 = 0$
因式分解得：$(m + 2)(m - 1) = 0$
解得$m = -2$或$m = 1$
2. 二次项系数不为0：$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得：$m(m - 1) ≠ 0$，即$m≠0$且$m≠1$
结合上述两个条件，舍去$m=1$，故$m=-2$。
【答案】
3. $\pm2$；变式题 $-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 代数式取值限制
【点评】
这两道题是二次函数概念的基础考法，解题的易错点是处理含字母系数的二次函数题时，容易遗漏二次项系数不为0的条件，导致出现增根。解题时要养成先列次数方程、再验证系数的习惯，避免出错。
【难度系数】
0.7
4.在$△ ABC$中，已知边$BC$的长为$x(x＞0)$，$BC$上的高比它的长的2倍多1，则三角形的面积$y$与$x$之间的函数解析式为（
A.$y=\frac{1}{2}x(2x-1)$
B.$y=-\frac{1}{2}x(2x-1)$
C.$y=x^2+\frac{1}{2}x$
D.$y=-x^2-\frac{1}{2}x$
C
）A.$y=\frac{1}{2}x(2x-1)$
B.$y=-\frac{1}{2}x(2x-1)$
C.$y=x^2+\frac{1}{2}x$
D.$y=-x^2-\frac{1}{2}x$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先回忆三角形的面积计算公式，第一步先根据题意找到三角形的底和对应高的表达式：已知底BC的长为x，再根据“BC上的高比它的长的2倍多1”写出高的表达式，第二步将底和高代入面积公式，化简后即可得到函数解析式，也可先结合边长为正、面积为正的特点排除带负号的选项，缩小判断范围。
【解析】
由题意可知：
△ABC的底BC的长为$x(x＞0)$，
BC边上的高为 $2x+1$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$y=\frac{1}{2} · x · (2x+1)$
展开化简得：$y = x^2 + \frac{1}{2}x$，符合选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算、列函数解析式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据实际问题列函数关系式的能力，只要准确读取题意得到高的表达式，正确代入面积公式计算即可得分，也可结合实际意义排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形的面积计算公式，第一步先根据题意找到三角形的底和对应高的表达式：已知底BC的长为x，再根据“BC上的高比它的长的2倍多1”写出高的表达式，第二步将底和高代入面积公式，化简后即可得到函数解析式，也可先结合边长为正、面积为正的特点排除带负号的选项，缩小判断范围。
【解析】
由题意可知：
△ABC的底BC的长为$x(x＞0)$，
BC边上的高为 $2x+1$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$y=\frac{1}{2} · x · (2x+1)$
展开化简得：$y = x^2 + \frac{1}{2}x$，符合选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算、列函数解析式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据实际问题列函数关系式的能力，只要准确读取题意得到高的表达式，正确代入面积公式计算即可得分，也可结合实际意义排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
5.情境应用 合肥某中学组织七、八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化的同时，对黄山烧饼赞不绝口.据了解黄山烧饼3月份销售额为200万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计3月份到5月份累计销售额可达$y$万元.设月销售额的增长率为$x$，则有（
A.$y=200(1+x)^3$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200+200x+200x^2$
D.$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
D
）A.$y=200(1+x)^3$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200+200x+200x^2$
D.$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先要明确所求的是3月到5月的累计销售额，而非5月单月的销售额。我们可以先分别求出3月、4月、5月各自的销售额，再将三个月的销售额相加即可得到累计销售额y：第一步先确定已知的3月销售额，第二步根据增长率求出4月销售额，第三步再以4月销售额为基础求出5月销售额，最后求和列出关系式。
【解析】
1. 3月份的销售额已知为200万元；
2. 月增长率为x，因此4月份的销售额为3月份销售额乘以(1+x)，即$200(1+x)$万元；
3. 5月份的销售额是在4月份销售额的基础上增长x，因此为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元；
4. 3月到5月的累计销售额为三个月销售额之和，因此$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，列代数式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率的基础应用题型，解题核心是准确计算每个阶段的销售额，注意区分单月销售额和累计销售额，避免混淆概念错选其他选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确所求的是3月到5月的累计销售额，而非5月单月的销售额。我们可以先分别求出3月、4月、5月各自的销售额，再将三个月的销售额相加即可得到累计销售额y：第一步先确定已知的3月销售额，第二步根据增长率求出4月销售额，第三步再以4月销售额为基础求出5月销售额，最后求和列出关系式。
【解析】
1. 3月份的销售额已知为200万元；
2. 月增长率为x，因此4月份的销售额为3月份销售额乘以(1+x)，即$200(1+x)$万元；
3. 5月份的销售额是在4月份销售额的基础上增长x，因此为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元；
4. 3月到5月的累计销售额为三个月销售额之和，因此$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，列代数式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率的基础应用题型，解题核心是准确计算每个阶段的销售额，注意区分单月销售额和累计销售额，避免混淆概念错选其他选项。
【难度系数】
0.7
6.已知某种产品的成本价为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(单位:kg)与售价x(单位:元/kg)满足关系式：$y = -2x +80$。设这种产品每天的销售利润为w(单位:元)，则w与x之间的函数解析式为
$w=(x-30)(-2x+80)$
。答案
6.$w=(x-30)(-2x+80)$
解析
【分析】
要推导w与x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总销售利润=每千克产品的利润×当日销售量。首先计算单千克利润：售价为x元/kg，成本为30元/kg，因此每千克利润为(x-30)元；题目已直接给出销售量y与售价x的关系式$y=-2x+80$，将两个对应量代入总利润公式即可得到所求解析式。
【解析】
根据销售利润计算公式：
总利润 = 单千克利润 × 销售量
单千克利润 = 售价 - 成本价 = $x-30$（元）
已知销售量$y=-2x+80$（kg）
因此总利润$w=(x-30)y$
将$y=-2x+80$代入上式，可得：
$w=(x-30)(-2x+80)$
【答案】
$w=(x-30)(-2x+80)$
【知识点】
销售利润计算，列函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，重点考查对实际问题中数量关系的理解，只要熟练掌握利润相关的基本计算公式，准确提取题目已知量代入即可求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
要推导w与x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总销售利润=每千克产品的利润×当日销售量。首先计算单千克利润：售价为x元/kg，成本为30元/kg，因此每千克利润为(x-30)元；题目已直接给出销售量y与售价x的关系式$y=-2x+80$，将两个对应量代入总利润公式即可得到所求解析式。
【解析】
根据销售利润计算公式：
总利润 = 单千克利润 × 销售量
单千克利润 = 售价 - 成本价 = $x-30$（元）
已知销售量$y=-2x+80$（kg）
因此总利润$w=(x-30)y$
将$y=-2x+80$代入上式，可得：
$w=(x-30)(-2x+80)$
【答案】
$w=(x-30)(-2x+80)$
【知识点】
销售利润计算，列函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，重点考查对实际问题中数量关系的理解，只要熟练掌握利润相关的基本计算公式，准确提取题目已知量代入即可求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
7.(教材变式)寒假期间，九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每2名同学之间互发1次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为
$m=n(n-1)$
.答案
7.$m=n(n-1)$
解析
【分析】
解题时首先明确互发信息的规则：每2名同学互发信息是双向计数，即甲给乙发、乙给甲发属于2次不同的信息，和握手这类单向计数的问题规则不同。首先推导单人发信数量：每名同学不需要给自己发信息，因此每名同学要给剩下的(n-1)名同学各发1条信息，单人发信数为(n-1)条。总共有n名同学，总发信次数就是人数乘单人发信数，无需除以2，即可推导出总次数m和n的函数关系。
【解析】
解：每名同学不需要给自己发送信息，因此每名同学需向其余$(n-1)$名同学各发1条信息，即每名同学发送$(n-1)$条信息。
全班共有$n$名同学，因此互发信息的总次数为：
$m = n × (n-1) = n(n-1)$
【答案】
$m=n(n-1)$
【知识点】
列函数关系式；计数类实际应用；二次函数实际应用
【点评】
本题是基础的实际应用计数题，解题核心是区分双向计数（如互发信息、互送贺卡）和单向计数（如握手、单循环比赛）的计数规则，避免混淆规则错误除以2。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确互发信息的规则：每2名同学互发信息是双向计数，即甲给乙发、乙给甲发属于2次不同的信息，和握手这类单向计数的问题规则不同。首先推导单人发信数量：每名同学不需要给自己发信息，因此每名同学要给剩下的(n-1)名同学各发1条信息，单人发信数为(n-1)条。总共有n名同学，总发信次数就是人数乘单人发信数，无需除以2，即可推导出总次数m和n的函数关系。
【解析】
解：每名同学不需要给自己发送信息，因此每名同学需向其余$(n-1)$名同学各发1条信息，即每名同学发送$(n-1)$条信息。
全班共有$n$名同学，因此互发信息的总次数为：
$m = n × (n-1) = n(n-1)$
【答案】
$m=n(n-1)$
【知识点】
列函数关系式；计数类实际应用；二次函数实际应用
【点评】
本题是基础的实际应用计数题，解题核心是区分双向计数（如互发信息、互送贺卡）和单向计数（如握手、单循环比赛）的计数规则，避免混淆规则错误除以2。
【难度系数】
0.7
