【典例】(教材 P56 阅读与思考变式)如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为$x$轴,过跳台终点$A$作水平线的垂线作为$y$轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线$C_1:y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{6}x+1$近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从$O$点正上方4米处的$A$点滑出,滑出后沿一段抛物线$C_2:y=-\frac{1}{8}x^2+bx+c$运动.
(1)当运动员运动到离$A$处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线$C_2$的函数解析式(不要求写出自变量$x$的取值范围);
(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?
(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求$b$的取值范围.

(1) 已知$y=-\frac{1}{8}x^2+bx+c$过$(0,4)$与$(4,8)$，
$\therefore \begin{cases}0+0+c=4,\\-\frac{1}{8}×4^2+4b+c=8,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}b=\frac{3}{2},\\c=4,\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{2}x+4$；
(2) 列方程：$-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{2}x+4-(-\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{6}x+1)=1$，
整理得 $x^2-8x-48=0$，
$x_1=12,x_2=-4(舍)$。
答:在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为12 m时,运动员与小山坡的竖直距离为1 m；
(3) 计算竖直差：
$(-\frac{1}{8}x^2+bx+4)-(-\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{6}x+1)=-\frac{1}{24}x^2+(b-\frac{7}{6})x+3$，
抛物线$y_1=-\frac{1}{12}x^2+\frac{7}{6}x+1$对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}=7$，
$\therefore x=7$时,运动员在坡顶正上方,$\therefore -\frac{1}{24}×7^2+(b-\frac{7}{6})×7+3＞3$，
$\therefore b＞\frac{35}{24}$。
答:$b$的取值范围为$b＞\frac{35}{24}$。