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一、选择题
1. 解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是（
A.$x^2 - x - 1 = 0$
B.$x^2 -7x = -1$
C.$(x-1)^2 -4x =2$
D.$(x-3)^2 -16=0$
1. 解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是（
D
）A.$x^2 - x - 1 = 0$
B.$x^2 -7x = -1$
C.$(x-1)^2 -4x =2$
D.$(x-3)^2 -16=0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个方程最适合用因式分解法，首先明确因式分解法解一元二次方程的适用条件：方程整理后右边为0，左边容易分解为两个一次因式的乘积。接下来逐个分析各选项的方程特征，判断是否满足上述条件即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积等于0”的形式，进而转化为两个一元一次方程求解，优先适用于易因式分解的方程。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 - x - 1 = 0$：左边二次三项式在有理数范围内无法因式分解，不适合用因式分解法；
B. $x^2 -7x = -1$：移项整理得$x^2 -7x +1=0$，左边无法在有理数范围内因式分解，不适合用因式分解法；
C. $(x-1)^2 -4x =2$：展开整理得$x^2-2x+1-4x-2=0$，即$x^2-6x-1=0$，左边无法因式分解，不适合用因式分解法；
D. $(x-3)^2 -16=0$：左边符合平方差公式的形式，可直接分解为$(x-3+4)(x-3-4)=0$，即$(x+1)(x-7)=0$，极易用因式分解法求解。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、一元二次方程解法选择
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题的关键是掌握因式分解法解方程的适用特征，同时要熟练运用常见的因式分解方法快速判断方程左边是否可分解。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程最适合用因式分解法，首先明确因式分解法解一元二次方程的适用条件：方程整理后右边为0，左边容易分解为两个一次因式的乘积。接下来逐个分析各选项的方程特征，判断是否满足上述条件即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积等于0”的形式，进而转化为两个一元一次方程求解，优先适用于易因式分解的方程。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 - x - 1 = 0$：左边二次三项式在有理数范围内无法因式分解，不适合用因式分解法；
B. $x^2 -7x = -1$：移项整理得$x^2 -7x +1=0$，左边无法在有理数范围内因式分解，不适合用因式分解法；
C. $(x-1)^2 -4x =2$：展开整理得$x^2-2x+1-4x-2=0$，即$x^2-6x-1=0$，左边无法因式分解，不适合用因式分解法；
D. $(x-3)^2 -16=0$：左边符合平方差公式的形式，可直接分解为$(x-3+4)(x-3-4)=0$，即$(x+1)(x-7)=0$，极易用因式分解法求解。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、一元二次方程解法选择
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题的关键是掌握因式分解法解方程的适用特征，同时要熟练运用常见的因式分解方法快速判断方程左边是否可分解。
【难度系数】
0.9
2.方程$x(x-6)=x$的根是（
A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-7$
C.$x_1=0,x_2=7$
D.$x_1=0,x_2=6$
C
）A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-7$
C.$x_1=0,x_2=7$
D.$x_1=0,x_2=6$
答案
2.C
解析
【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先通过移项将方程右侧的项移到左侧，使方程右侧为0，再对左侧的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的所有根。
【解析】
第一步：移项，将等号右侧的x移到左侧，得：
$x(x-6)-x=0$
第二步：提取公因式x，对左侧因式分解，得：
$x[(x-6)-1]=0$，整理为$x(x-7)=0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-7=0$
第四步：分别解两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=7$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以x导致漏解，解题时要牢记先将方程整理为一侧为0的形式，再用因式分解法求解，避免遗漏根。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先通过移项将方程右侧的项移到左侧，使方程右侧为0，再对左侧的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的所有根。
【解析】
第一步：移项，将等号右侧的x移到左侧，得：
$x(x-6)-x=0$
第二步：提取公因式x，对左侧因式分解，得：
$x[(x-6)-1]=0$，整理为$x(x-7)=0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-7=0$
第四步：分别解两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=7$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以x导致漏解，解题时要牢记先将方程整理为一侧为0的形式，再用因式分解法求解，避免遗漏根。
【难度系数】
0.8
3.设$a,b$是方程$x^2 - x - 202 = 0$的两个实数根,则$a+b$的值是 （
A.－202
B.1
C.202
D.－1
B
）A.－202
B.1
C.202
D.－1
答案
3.B
解析
【分析】
看到题目给出a、b是一元二次方程的两个实数根，要求a+b也就是两根之和，首先回忆一元二次方程根与系数的关系，不需要解方程求出a、b的具体值，直接利用公式计算即可：先明确一元二次方程一般形式中各项的系数，再代入两根之和的公式，注意符号不要算错就能得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。
题目给出的方程为$x^2 - x - 202 = 0$，对应可得二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-1$。
因为a、b是该方程的两个实数根，所以$a+b=-\frac{B}{A}=-\frac{(-1)}{1}=1$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式运算
【点评】
本题是对根与系数关系的基础考查，属于易得分题型，解题时需准确识别方程各项系数，特别注意一次项系数的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.9
看到题目给出a、b是一元二次方程的两个实数根，要求a+b也就是两根之和，首先回忆一元二次方程根与系数的关系，不需要解方程求出a、b的具体值，直接利用公式计算即可：先明确一元二次方程一般形式中各项的系数，再代入两根之和的公式，注意符号不要算错就能得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。
题目给出的方程为$x^2 - x - 202 = 0$，对应可得二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-1$。
因为a、b是该方程的两个实数根，所以$a+b=-\frac{B}{A}=-\frac{(-1)}{1}=1$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式运算
【点评】
本题是对根与系数关系的基础考查，属于易得分题型，解题时需准确识别方程各项系数，特别注意一次项系数的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.9
4.关于$x$的方程$2x^2 + mx - n = 0$的两个根是$-1$和$3$，则$2x^2 + mx - n$因式分解的结果是（
A.$(x+1)(x-3)$
B.$2(x+1)(x-3)$
C.$(x-1)(x+3)$
D.$2(x-1)(x+3)$
B
）A.$(x+1)(x-3)$
B.$2(x+1)(x-3)$
C.$(x-1)(x+3)$
D.$2(x-1)(x+3)$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则二次三项式$ax^2+bx+c$可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$。我们先确定本题中二次项系数$a$的值，以及两个根的数值，代入公式即可得到因式分解的结果，注意不要遗漏二次项系数$a$。
【解析】
已知关于$x$的方程$2x^2 + mx - n = 0$的两个根是$-1$和$3$，二次项系数$a=2$。
根据二次三项式因式分解与对应一元二次方程根的关系，可得：
$2x^2 + mx - n = 2[x - (-1)](x - 3) = 2(x+1)(x-3)$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的性质；二次三项式因式分解；因式分解与方程根的关系
【点评】
本题考查二次三项式因式分解和对应一元二次方程根的关联，解题的易错点是容易忽略二次项系数，直接写成$(x+1)(x-3)$导致错选A，解题时要注意结合原二次项系数判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则二次三项式$ax^2+bx+c$可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$。我们先确定本题中二次项系数$a$的值，以及两个根的数值，代入公式即可得到因式分解的结果，注意不要遗漏二次项系数$a$。
【解析】
已知关于$x$的方程$2x^2 + mx - n = 0$的两个根是$-1$和$3$，二次项系数$a=2$。
根据二次三项式因式分解与对应一元二次方程根的关系，可得：
$2x^2 + mx - n = 2[x - (-1)](x - 3) = 2(x+1)(x-3)$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的性质；二次三项式因式分解；因式分解与方程根的关系
【点评】
本题考查二次三项式因式分解和对应一元二次方程根的关联，解题的易错点是容易忽略二次项系数，直接写成$(x+1)(x-3)$导致错选A，解题时要注意结合原二次项系数判断。
【难度系数】
0.7
5.某件上衣经过两次降价后，单价由81元降为64元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为
（
A.$81(1-x)^2=64$
B.$64(1-x)^2=81$
C.$81(1-x^2)=64$
D.$81(1-2x)=64$
（
A
）A.$81(1-x)^2=64$
B.$64(1-x)^2=81$
C.$81(1-x^2)=64$
D.$81(1-2x)=64$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这个降价百分率列方程的问题，首先要明确每次降价的计算基数：每次降价都是在前一次售价的基础上进行的。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后和最终售价64元对应相等即可列出方程。
【解析】
已知原价为81元，每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，售价 = 原价×(1 - 降价百分率)，即售价为 $ 81(1-x) $ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，所以第二次降价后的售价 = 第一次降价后的售价×(1 - 降价百分率)，即 $ 81(1-x) × (1-x) = 81(1-x)^2 $ 元；
3. 题目已知两次降价后单价为64元，因此可列方程：$ 81(1-x)^2 = 64 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
百分率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率变化类的典型基础题，解题核心是明确每次价格变化的基准是上一次变化后的价格，不要误将两次降价理解为总共降价2x或者直接降$x^2$，牢记变化率类问题的通用公式：变化后量=变化前量×(1±变化率)ⁿ（n为变化次数）就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个降价百分率列方程的问题，首先要明确每次降价的计算基数：每次降价都是在前一次售价的基础上进行的。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后和最终售价64元对应相等即可列出方程。
【解析】
已知原价为81元，每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，售价 = 原价×(1 - 降价百分率)，即售价为 $ 81(1-x) $ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，所以第二次降价后的售价 = 第一次降价后的售价×(1 - 降价百分率)，即 $ 81(1-x) × (1-x) = 81(1-x)^2 $ 元；
3. 题目已知两次降价后单价为64元，因此可列方程：$ 81(1-x)^2 = 64 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
百分率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率变化类的典型基础题，解题核心是明确每次价格变化的基准是上一次变化后的价格，不要误将两次降价理解为总共降价2x或者直接降$x^2$，牢记变化率类问题的通用公式：变化后量=变化前量×(1±变化率)ⁿ（n为变化次数）就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6.有一人患了流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（
A.18
B.19
C.20
D.21
B
）A.18
B.19
C.20
D.21
答案
6.B
解析
【分析】
这是一道典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设每轮传染中平均1人传染x人，先梳理两轮传染的患病人数逻辑：初始有1个患者，第一轮传染后，原本的1个患者会传染x人，因此第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，这(1+x)名患者每人都会传染x人，因此第二轮结束后总患病人数是第一轮的总患者数乘以(1+x)，也就是$(1+x)^2$，结合题目给出两轮后共400人患病，即可列方程求解，最后要注意传染人数为正数，舍去不符合实际的根。
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x。
根据两轮传染后总患病人数的数量关系，可列方程：
$(1+x)^2=400$
对方程两边开平方，得：
$1+x=\pm20$
由于传染人数不能为负数，因此舍去$1+x=-20$的情况，仅取：
$1+x=20$
解得：$x=19$
经检验，x=19符合实际题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、传染类数量关系
【点评】
本题属于方程实际应用的常规题型，解题核心是准确梳理每轮传染后总患病人数的推导逻辑，避免出现漏算原有患者的错误，解方程后需结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设每轮传染中平均1人传染x人，先梳理两轮传染的患病人数逻辑：初始有1个患者，第一轮传染后，原本的1个患者会传染x人，因此第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，这(1+x)名患者每人都会传染x人，因此第二轮结束后总患病人数是第一轮的总患者数乘以(1+x)，也就是$(1+x)^2$，结合题目给出两轮后共400人患病，即可列方程求解，最后要注意传染人数为正数，舍去不符合实际的根。
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x。
根据两轮传染后总患病人数的数量关系，可列方程：
$(1+x)^2=400$
对方程两边开平方，得：
$1+x=\pm20$
由于传染人数不能为负数，因此舍去$1+x=-20$的情况，仅取：
$1+x=20$
解得：$x=19$
经检验，x=19符合实际题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、传染类数量关系
【点评】
本题属于方程实际应用的常规题型，解题核心是准确梳理每轮传染后总患病人数的推导逻辑，避免出现漏算原有患者的错误，解方程后需结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
7.用公式法解得方程$ax^2+bx+c=0$的两根互为相反数，则 （
A.$b=0$
B.$c=0$
C.$b^2-4ac=0$
D.$b+c=0$
A
）A.$b=0$
B.$c=0$
C.$b^2-4ac=0$
D.$b+c=0$
答案
7.A
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确已知条件：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根互为相反数，需要推导正确结论。首先回忆互为相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0。题目明确要求用公式法推导，我们可以先写出一元二次方程的求根公式，计算两根之和，结合和为0的条件，再利用一元二次方程二次项系数$a≠0$的隐含条件，即可推导出$b$的取值，最后逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的求根公式，方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
∵两根互为相反数，
∴$x_1+x_2=0$，即$-\frac{b}{a}=0$
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a≠0$，因此可得$-b=0$，即$b=0$。
对其余选项分析：B选项$c=0$时方程有一个根为0，不符合两根互为相反数的普遍情况；C选项$b^2-4ac=0$是方程有两个相等实数根的条件，与题意无关；D选项$b+c=0$无法通过已知条件推导得出，故排除B、C、D。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.相反数的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是抓住“互为相反数的两数和为0”的特征，结合求根公式计算两根之和即可快速推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先明确已知条件：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根互为相反数，需要推导正确结论。首先回忆互为相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0。题目明确要求用公式法推导，我们可以先写出一元二次方程的求根公式，计算两根之和，结合和为0的条件，再利用一元二次方程二次项系数$a≠0$的隐含条件，即可推导出$b$的取值，最后逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的求根公式，方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
∵两根互为相反数，
∴$x_1+x_2=0$，即$-\frac{b}{a}=0$
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a≠0$，因此可得$-b=0$，即$b=0$。
对其余选项分析：B选项$c=0$时方程有一个根为0，不符合两根互为相反数的普遍情况；C选项$b^2-4ac=0$是方程有两个相等实数根的条件，与题意无关；D选项$b+c=0$无法通过已知条件推导得出，故排除B、C、D。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.相反数的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是抓住“互为相反数的两数和为0”的特征，结合求根公式计算两根之和即可快速推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
8.若方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根是$x=1$，则另一个根是
$x=2$
。答案
8.$x=2$
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常用解题思路：第一种是利用方程根的定义，把已知根代入原方程先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；第二种是利用一元二次方程根与系数的关系，不需要求参数m，直接代入已知根就能快速算出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2-3x+m=0$对应$a=1$，$b=-3$，设另一个根为$x_2$，已知一个根$x_1=1$，代入公式得：
$1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$
解得$x_2=2$。
方法二（代入求参再解方程）：
根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程得：
$1^2-3×1+m=0$
计算得$1-3+m=0$，解得$m=2$。
则原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即另一个根为$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需熟练掌握，其中利用根与系数的关系解题可省略求参数的步骤，有效提升解题速度。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常用解题思路：第一种是利用方程根的定义，把已知根代入原方程先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；第二种是利用一元二次方程根与系数的关系，不需要求参数m，直接代入已知根就能快速算出另一个根，第二种方法更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2-3x+m=0$对应$a=1$，$b=-3$，设另一个根为$x_2$，已知一个根$x_1=1$，代入公式得：
$1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$
解得$x_2=2$。
方法二（代入求参再解方程）：
根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程得：
$1^2-3×1+m=0$
计算得$1-3+m=0$，解得$m=2$。
则原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即另一个根为$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需熟练掌握，其中利用根与系数的关系解题可省略求参数的步骤，有效提升解题速度。
【难度系数】
0.9
9. 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是
$x_1=0,x_2=4$
.答案
9.$x_1=0,x_2=4$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的根，观察方程特点，左侧没有常数项，优先考虑用因式分解法求解：第一步先对左侧的多项式提取公因式x进行因式分解，第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，第三步分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 4x = 0$，
对左边提取公因式$x$，得：$x(x - 4) = 0$，
根据乘法的性质可得：$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，方程成立；
当$x-4=0$时，解得$x=4$。
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便的求解方法，熟练掌握提公因式分解因式的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的根，观察方程特点，左侧没有常数项，优先考虑用因式分解法求解：第一步先对左侧的多项式提取公因式x进行因式分解，第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，第三步分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 4x = 0$，
对左边提取公因式$x$，得：$x(x - 4) = 0$，
根据乘法的性质可得：$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，方程成立；
当$x-4=0$时，解得$x=4$。
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便的求解方法，熟练掌握提公因式分解因式的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10.若一元二次方程$x^2 + 8x - 1 = 0$经过配方，变形为$(x + 4)^2 = n$的形式，则n的值为
17
。答案
10.17
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路清晰：首先按照配方法的标准步骤，先把常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，右侧计算得到的结果就是n的值。
【解析】
解：已知一元二次方程为$x^2 + 8x - 1 = 0$
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 8x = 1$
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 + 8x + 16 = 1 + 16$
3. 左侧整理为完全平方形式：
$(x + 4)^2 = 17$
对比$(x + 4)^2 = n$，可得$n=17$。
【答案】
17
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方时等式两边需同时加相同的常数保证等式成立，计算时留意常数项的符号即可。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路清晰：首先按照配方法的标准步骤，先把常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，右侧计算得到的结果就是n的值。
【解析】
解：已知一元二次方程为$x^2 + 8x - 1 = 0$
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 8x = 1$
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 + 8x + 16 = 1 + 16$
3. 左侧整理为完全平方形式：
$(x + 4)^2 = 17$
对比$(x + 4)^2 = n$，可得$n=17$。
【答案】
17
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方时等式两边需同时加相同的常数保证等式成立，计算时留意常数项的符号即可。
【难度系数】
0.9
11.关于$x$的方程$x(x-1)=3(x-1)$，甲、乙两位同学分别写出了如下求解过程，正确的是
甲
乙
两边同时除以$(x-1)$，得$x=3$.
移项，得
$x(x-1)-3(x-1)=0$,
$\therefore (x-3)(x-1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
乙
.(填“甲”或“乙”)甲
乙
两边同时除以$(x-1)$，得$x=3$.
移项，得
$x(x-1)-3(x-1)=0$,
$\therefore (x-3)(x-1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
答案
11.乙
解析
【分析】
解这类含有相同未知数因式的方程时，首先要明确等式的性质的使用条件：等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才成立。如果直接除以含未知数的整式$(x-1)$，没有考虑$x-1=0$的情况，就会漏掉$x=1$这个解。正确的思路是先移项，将所有项移到等号的同一侧，再提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解，不会出现漏解的问题。
【解析】
首先分析甲的解法：直接在方程两边同时除以$(x-1)$，但未考虑$x-1=0$的情况，当$x-1=0$即$x=1$时，这个除法运算不成立，因此甲的解法漏掉了$x=1$这个解，解法错误。
再分析乙的解法：先将方程移项得到$x(x-1)-3(x-1)=0$，提取公因式$(x-1)$后得到$(x-3)(x-1)=0$，根据乘积为0的性质可得$x-3=0$或$x-1=0$，分别解得$x_1=3$，$x_2=1$，没有漏解，解法正确。
【答案】
乙
【知识点】
因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意不能随意除以可能为0的含未知数的整式，否则容易出现漏解的问题，选择因式分解法求解这类方程更为严谨。
【难度系数】
0.8
解这类含有相同未知数因式的方程时，首先要明确等式的性质的使用条件：等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才成立。如果直接除以含未知数的整式$(x-1)$，没有考虑$x-1=0$的情况，就会漏掉$x=1$这个解。正确的思路是先移项，将所有项移到等号的同一侧，再提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解，不会出现漏解的问题。
【解析】
首先分析甲的解法：直接在方程两边同时除以$(x-1)$，但未考虑$x-1=0$的情况，当$x-1=0$即$x=1$时，这个除法运算不成立，因此甲的解法漏掉了$x=1$这个解，解法错误。
再分析乙的解法：先将方程移项得到$x(x-1)-3(x-1)=0$，提取公因式$(x-1)$后得到$(x-3)(x-1)=0$，根据乘积为0的性质可得$x-3=0$或$x-1=0$，分别解得$x_1=3$，$x_2=1$，没有漏解，解法正确。
【答案】
乙
【知识点】
因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意不能随意除以可能为0的含未知数的整式，否则容易出现漏解的问题，选择因式分解法求解这类方程更为严谨。
【难度系数】
0.8
12.定义运算:$m*n=m(1-n)$,若$a,b$是方程$x^2 - x + \frac{1}{4}c=0$的两根,则$b*b - a*a$的值为
0
.答案
12.0
解析
【分析】
解题可按三步展开：①先明确新定义运算*的规则，将所求的$b*b - a*a$转化为普通的代数运算式子；②利用一元二次方程根的定义，把$a$、$b$分别代入方程，得到$a^2$与$a$、$b^2$与$b$的等量关系；③将等量关系代入化简后的待求式计算，即可得到结果。
【解析】
根据新定义运算$m*n=m(1-n)$，先展开待求式：
$b*b = b(1 - b) = b - b^2$
$a*a = a(1 - a) = a - a^2$
因此：
$b*b - a*a = (b - b^2) - (a - a^2) = (a^2 - b^2) + (b - a)$
$\because a,b$是方程$x^2 - x + \frac{1}{4}c=0$的两根，将两根分别代入方程得：
$a^2 - a + \frac{1}{4}c=0$，即$a^2 = a - \frac{1}{4}c$
$b^2 - b + \frac{1}{4}c=0$，即$b^2 = b - \frac{1}{4}c$
把$a^2$、$b^2$的表达式代入待求式化简：
$\begin{aligned}原式&=[(a - \frac{1}{4}c) - (b - \frac{1}{4}c)] + (b - a)\\&=(a - b) + (b - a)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程知识命制，解题关键是准确理解新运算规则，灵活运用方程根的定义建立等量关系，代入后无需复杂计算即可求出结果，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步展开：①先明确新定义运算*的规则，将所求的$b*b - a*a$转化为普通的代数运算式子；②利用一元二次方程根的定义，把$a$、$b$分别代入方程，得到$a^2$与$a$、$b^2$与$b$的等量关系；③将等量关系代入化简后的待求式计算，即可得到结果。
【解析】
根据新定义运算$m*n=m(1-n)$，先展开待求式：
$b*b = b(1 - b) = b - b^2$
$a*a = a(1 - a) = a - a^2$
因此：
$b*b - a*a = (b - b^2) - (a - a^2) = (a^2 - b^2) + (b - a)$
$\because a,b$是方程$x^2 - x + \frac{1}{4}c=0$的两根，将两根分别代入方程得：
$a^2 - a + \frac{1}{4}c=0$，即$a^2 = a - \frac{1}{4}c$
$b^2 - b + \frac{1}{4}c=0$，即$b^2 = b - \frac{1}{4}c$
把$a^2$、$b^2$的表达式代入待求式化简：
$\begin{aligned}原式&=[(a - \frac{1}{4}c) - (b - \frac{1}{4}c)] + (b - a)\\&=(a - b) + (b - a)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程知识命制，解题关键是准确理解新运算规则，灵活运用方程根的定义建立等量关系，代入后无需复杂计算即可求出结果，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
