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13.如图,一块长40米、宽28米的矩形场地被划分出6个矩形区域,分别摆放不同类别的商品,区域之间用宽度相等的小路隔开,已知每个区域的面积均为128平方米,则小路的宽应为
4米
.答案
13.4米
解析
【分析】
本题是一元二次方程在面积问题中的应用，解题思路如下：第一步，通过平移小路，将分散的6个小矩形拼接为一个完整的大矩形，简化面积计算；第二步，用含小路宽x的代数式表示拼接后大矩形的长和宽：观察图形可知纵向有2条小路，横向有1条小路，因此拼接后大矩形的长为原长减去2倍小路宽，宽为原宽减去1倍小路宽；第三步，根据“拼接后大矩形的面积=6个小区域的总面积”列方程求解；第四步，检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合理解。
【解析】
设小路的宽为x米。
将小路平移到矩形场地边缘后，6个小矩形拼接成的大矩形长为$(40-2x)$米，宽为$(28-x)$米。
根据题意列方程：
$(40-2x)(28-x)=6×128$
展开并整理方程：
$1120-40x-56x+2x^2=768$
$2x^2-96x+352=0$
$x^2-48x+176=0$
解方程得：
$x_1=4，x_2=44$
当$x=44$时，$40-2x=40-88=-48＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此小路的宽为4米。
【答案】
4米
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，核心解题技巧是利用平移法将分散的图形整合为整体，降低计算复杂度，解题时要注意对求解出的方程根进行合理性检验，排除不符合实际场景的解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在面积问题中的应用，解题思路如下：第一步，通过平移小路，将分散的6个小矩形拼接为一个完整的大矩形，简化面积计算；第二步，用含小路宽x的代数式表示拼接后大矩形的长和宽：观察图形可知纵向有2条小路，横向有1条小路，因此拼接后大矩形的长为原长减去2倍小路宽，宽为原宽减去1倍小路宽；第三步，根据“拼接后大矩形的面积=6个小区域的总面积”列方程求解；第四步，检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合理解。
【解析】
设小路的宽为x米。
将小路平移到矩形场地边缘后，6个小矩形拼接成的大矩形长为$(40-2x)$米，宽为$(28-x)$米。
根据题意列方程：
$(40-2x)(28-x)=6×128$
展开并整理方程：
$1120-40x-56x+2x^2=768$
$2x^2-96x+352=0$
$x^2-48x+176=0$
解方程得：
$x_1=4，x_2=44$
当$x=44$时，$40-2x=40-88=-48＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此小路的宽为4米。
【答案】
4米
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，核心解题技巧是利用平移法将分散的图形整合为整体，降低计算复杂度，解题时要注意对求解出的方程根进行合理性检验，排除不符合实际场景的解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
14.解方程：
(1)$2x^2 - 4x = -2$；
(2)$(x + 3)^2 = 16$；
(3)$x(x + 2) - (x + 2) = 0$；
(4)$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$。
14.解方程：
(1)$2x^2 - 4x = -2$；
(2)$(x + 3)^2 = 16$；
(3)$x(x + 2) - (x + 2) = 0$；
(4)$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$。
答案
14.(1)$x_1=x_2=1$
(2)$x_1=1,x_2=-7$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x_1=1,x_2=-1$
(2)$x_1=1,x_2=-7$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
这几道题是一元二次方程的基础求解题目，可根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1)先将方程整理为标准形式，观察系数特征可通过配方法或完全平方公式因式分解求解；
(2)方程左侧是完全平方式、右侧为正的常数，优先选择直接开平方法求解；
(3)方程两侧有公共因式$(x+2)$，用提公因式法因式分解求解，注意不要随意约去公因式避免丢根；
(4)方程左右两侧均为完全平方式，可移项后用平方差公式因式分解求解。
【解析】
(1) 原方程移项整理得$2x^2 - 4x + 2 = 0$，两边同时除以2得$x^2 - 2x + 1 = 0$，由完全平方公式变形为$(x-1)^2=0$，开方得$x-1=0$，即$x_1=x_2=1$。
(2) 对$(x+3)^2=16$两边直接开平方，得$x+3=\pm4$，分两种情况计算：
①$x+3=4$，解得$x=1$；②$x+3=-4$，解得$x=-7$，即$x_1=1,x_2=-7$。
(3) 原方程提取公因式$(x+2)$，得$(x+2)(x-1)=0$，分两种情况计算：
①$x+2=0$，解得$x=-2$；②$x-1=0$，解得$x=1$，即$x_1=-2,x_2=1$。
(4) 移项得$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$，由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$变形为$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$，整理得$(5x+5)(-x+1)=0$，分两种情况计算：
①$5x+5=0$，解得$x=-1$；②$-x+1=0$，解得$x=1$，即$x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
14.(1)$x_1=x_2=1$
(2)$x_1=1,x_2=-7$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程结构灵活选择简便解法，要注意因式分解求解时不能随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根问题，熟练掌握乘法公式能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这几道题是一元二次方程的基础求解题目，可根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1)先将方程整理为标准形式，观察系数特征可通过配方法或完全平方公式因式分解求解；
(2)方程左侧是完全平方式、右侧为正的常数，优先选择直接开平方法求解；
(3)方程两侧有公共因式$(x+2)$，用提公因式法因式分解求解，注意不要随意约去公因式避免丢根；
(4)方程左右两侧均为完全平方式，可移项后用平方差公式因式分解求解。
【解析】
(1) 原方程移项整理得$2x^2 - 4x + 2 = 0$，两边同时除以2得$x^2 - 2x + 1 = 0$，由完全平方公式变形为$(x-1)^2=0$，开方得$x-1=0$，即$x_1=x_2=1$。
(2) 对$(x+3)^2=16$两边直接开平方，得$x+3=\pm4$，分两种情况计算：
①$x+3=4$，解得$x=1$；②$x+3=-4$，解得$x=-7$，即$x_1=1,x_2=-7$。
(3) 原方程提取公因式$(x+2)$，得$(x+2)(x-1)=0$，分两种情况计算：
①$x+2=0$，解得$x=-2$；②$x-1=0$，解得$x=1$，即$x_1=-2,x_2=1$。
(4) 移项得$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$，由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$变形为$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$，整理得$(5x+5)(-x+1)=0$，分两种情况计算：
①$5x+5=0$，解得$x=-1$；②$-x+1=0$，解得$x=1$，即$x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
14.(1)$x_1=x_2=1$
(2)$x_1=1,x_2=-7$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程结构灵活选择简便解法，要注意因式分解求解时不能随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根问题，熟练掌握乘法公式能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
15.直播购物逐渐走进了人们的生活.某卖家在直播平台上对一款标价为每件400元的商品进行销售.为了尽快减少库存,直播期间,经过两次降价后的价格为每件324元,并且两次降价的百分率相同.求该款商品每次降价的百分率.
答案
15.该款商品每次降价的百分率为10%.
解析
【分析】
这是典型的平均降价率类应用题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知量x；第二步，梳理价格变化的规律：原价为400元，第一次降价后价格为原价的(1-x)倍，即400(1-x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再按相同百分率降价，因此两次降价后的价格为400(1-x)²元；第三步，根据“两次降价后的价格为324元”的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该款商品每次降价的百分率为x。
根据题意，两次降价后的价格为324元，可列方程：
$400(1-x)^2=324$
两边同时除以400，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方，得：
$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价的百分率不可能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，故舍去。
经检验，$x=10\%$符合题目要求。
答：该款商品每次降价的百分率为10%。
【答案】
该款商品每次降价的百分率为10%。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查平均变化率问题的等量关系构建，解题时需注意结合实际情况对一元二次方程的根进行取舍，避免得出不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均降价率类应用题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知量x；第二步，梳理价格变化的规律：原价为400元，第一次降价后价格为原价的(1-x)倍，即400(1-x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再按相同百分率降价，因此两次降价后的价格为400(1-x)²元；第三步，根据“两次降价后的价格为324元”的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该款商品每次降价的百分率为x。
根据题意，两次降价后的价格为324元，可列方程：
$400(1-x)^2=324$
两边同时除以400，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方，得：
$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价的百分率不可能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，故舍去。
经检验，$x=10\%$符合题目要求。
答：该款商品每次降价的百分率为10%。
【答案】
该款商品每次降价的百分率为10%。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查平均变化率问题的等量关系构建，解题时需注意结合实际情况对一元二次方程的根进行取舍，避免得出不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
16.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$.
(1)若方程有实数根,求实数$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=15$,求实数$m$的值.
(1)若方程有实数根,求实数$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=15$,求实数$m$的值.
答案
16.(1)$m≥\frac{3}{4}$
(2)$m=2$
(2)$m=2$
解析
【分析】
（1）一元二次方程有实数根的核心条件是判别式Δ≥0，首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
（2）已知两根的平方和，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再通过根与系数的关系求出两根之和、两根之积关于m的表达式，代入变形后的等式求解m，最后结合第一问的取值范围舍去不符合条件的解即可。
【解析】
（1）一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$中，$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2+1$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入得：
$(2m+1)^2-4×1×(m^2+1)≥0$
展开化简：
$4m^2+4m+1-4m^2-4≥0$
$4m-3≥0$
解得$m≥\frac{3}{4}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2+1$
已知$x_1^2+x_2^2=15$，由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=15$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入得：
$[-(2m+1)]^2-2(m^2+1)=15$
展开整理：
$4m^2+4m+1-2m^2-2=15$
$2m^2+4m-16=0$
$m^2+2m-8=0$
因式分解得$(m+4)(m-2)=0$，解得$m_1=-4$，$m_2=2$。
结合（1）中$m≥\frac{3}{4}$的条件，舍去$m=-4$，故$m=2$。
【答案】
(1) $m≥\frac{3}{4}$
(2) $m=2$
【知识点】
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题关键是牢记判别式的意义和根与系数的关系，注意求解参数后要结合根的存在条件检验，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程有实数根的核心条件是判别式Δ≥0，首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
（2）已知两根的平方和，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再通过根与系数的关系求出两根之和、两根之积关于m的表达式，代入变形后的等式求解m，最后结合第一问的取值范围舍去不符合条件的解即可。
【解析】
（1）一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2+1=0$中，$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2+1$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入得：
$(2m+1)^2-4×1×(m^2+1)≥0$
展开化简：
$4m^2+4m+1-4m^2-4≥0$
$4m-3≥0$
解得$m≥\frac{3}{4}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2+1$
已知$x_1^2+x_2^2=15$，由完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=15$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入得：
$[-(2m+1)]^2-2(m^2+1)=15$
展开整理：
$4m^2+4m+1-2m^2-2=15$
$2m^2+4m-16=0$
$m^2+2m-8=0$
因式分解得$(m+4)(m-2)=0$，解得$m_1=-4$，$m_2=2$。
结合（1）中$m≥\frac{3}{4}$的条件，舍去$m=-4$，故$m=2$。
【答案】
(1) $m≥\frac{3}{4}$
(2) $m=2$
【知识点】
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题关键是牢记判别式的意义和根与系数的关系，注意求解参数后要结合根的存在条件检验，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
