11. 易错题 [2026无锡侨谊实验中学月考] 关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + k + 1 = 0$的两根$x_1,x_2$满足$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，则k的取值范围是（）

A.$k ＞ -2$
B.$k ＞ 2$
C.$-2 ＜ k ≤ 0$
D.$0 ≤ k ＜ 2$

由题意,知$x_1 + x_2 = -2,x_1 x_2 = k + 1. \because x_1 + x_2 - x_1 x_2 ＜ -1,\therefore -2 - k - 1 ＜ -1,\therefore k ＞ -2. \because \Delta = 4 - 4(k + 1)≥0$,$\therefore k≤0,\therefore -2 ＜ k≤0.$

12. [2024绥化中考]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是（）

A.$x^2 +6x +5 =0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$

设原来的方程为$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$. 由题意,得$-\frac{b}{a} = 6 + 1 = 7,\frac{c}{a} = -2×(-5) = 10,\therefore b = -7a,c = 10a$,$\therefore$ 原来的方程为$ax^2 - 7ax + 10a = 0,\therefore x^2 - 7x + 10 = 0.$

13. [2026南京鼓楼区月考]若关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根之和为2，两根之积为-3，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$的两根之积为（）

A.-1
B.1
C.-5
D.5

设关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根为$x_1$,$x_2$,则方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$的两根为$y_1 = x_1 + 2$,$y_2 = x_2 + 2. \because$ 关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根之和为2,两根之积为-3,$\therefore x_1 + x_2 = 2,x_1 x_2 = -3,\therefore y_1 y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -3 + 2×2 + 4 = 5.$

14. [2026南京金陵中学教育集团模拟] 已知一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1^2 -5x_1 -2x_2$的值为。

$\because$ 一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1^2 - 3x_1 = -1,x_1 + x_2 = 3,\therefore x_1^2 - 5x_1 - 2x_2 = x_1^2 - 3x_1 - 2x_1 - 2x_2 = x_1^2 - 3x_1 - 2(x_1 + x_2) = -1 - 2×3 = -7.$

15. [2025南京郑和外国语学校期中]若$m,n$是两个不相等的实数，且满足$m^2 - m = 3$，$n^2 - n = 3$，则代数式$2n^2 - mn + 2m + 2021 =$。

$\because m,n$是两个不相等的实数,且满足$m^2 - m = 3$,$n^2 - n = 3$,$\therefore m,n$是$x^2 - x - 3 = 0$的两个不相等的实数根.
由根与系数的关系,得$m + n = 1,mn = -3. \because n^2 - n = 3$,即$n^2 = n + 3$,$\therefore 2n^2 - mn + 2m + 2021 = 2(n + 3) - mn + 2m + 2021 = 2n + 6 - mn + 2m + 2021 = 2(m + n) - mn + 2027 = 2×1 - (-3) + 2027 = 2 + 3 + 2027 = 2032.$

16. [2025苏州景城学校月考]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - kx + \frac{1}{4}k^2 - 1 = 0$.
(1)求证:无论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$c = \sqrt{10}$,且两直角边$a,b$恰好是这个方程的两个根,求$k$的值.

(1)证明:$\Delta = (-k)^2 - 4×1×(\frac{1}{4}k^2 - 1) = k^2 - k^2 + 4 = 4 ＞ 0$,
$\therefore$ 无论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because a$和$b$恰好是方程的两个根,
$\therefore a + b = k,ab = \frac{1}{4}k^2 - 1.$
$\because △ ABC$是直角三角形,
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore (a + b)^2 - 2ab = c^2$,
$\therefore k^2 - 2(\frac{1}{4}k^2 - 1) = 10$,
化简,得$k^2 = 16$,
解得$k = 4$或$k = -4$.
当$k = -4$时,$a + b = k = -4 ＜ 0$,不合题意,舍去,
$\therefore k = 4.$

17. 应用意识 [2026 连云港赣榆初级中学月考]阅读材料Ⅰ:教材中我们学习了若方程 $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$ 有两个实数根 $x_1,x_2$，则 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2 = \frac{c}{a}$。根据这一性质，我们可以求出关于 $x_1,x_2$ 的代数式的值。
问题解决:
(1)已知 $x_1,x_2$ 为方程 $x^2 + 3x -1 =0$ 的两根，则 $x_1^2 + x_2^2 = \_\_\_\_\_\_$。
阅读材料Ⅱ:已知 $m^2 - m -1 =0,n^2 + n -1 =0$，且 $mn≠1$，求 $m + \frac{1}{n},m · \frac{1}{n}$ 的值。
解:由 $n^2 + n -1 =0$ 可知 $n≠0$，
$\therefore 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} =0,\therefore \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n} -1 =0$。
又 $m^2 - m -1 =0$，且 $mn≠1$ 即 $m≠\frac{1}{n}$，
$\therefore m,\frac{1}{n}$ 是方程 $x^2 -x -1 =0$ 的两根，
$\therefore m + \frac{1}{n} =1,m · \frac{1}{n} = -1$。
问题解决:
(2)若 $ab≠1$，且 $2a^2 + 2026a +3 =0,3b^2 +2026b +2 =0$，则 $\frac{a}{b} = \_\_\_\_\_\_$。
(3)已知 $2m^2 -3m -1 =0,n^2 +3n -2 =0$，且 $mn≠1$，求 $m^2 + \frac{1}{n^2}$ 的值。

解:(1)11
$\because x_1 + x_2 = -3,x_1 x_2 = -1$,
$\therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-3)^2 - 2×(-1) = 11.$
(2)$\frac{3}{2}$
由$3b^2 + 2026b + 2 = 0$,知$b≠0,\therefore 3 + \frac{2026}{b} + \frac{2}{b^2} = 0$,即$\frac{2}{b^2} + \frac{2026}{b} + 3 = 0$. 又$2a^2 + 2026a + 3 = 0$,且$ab≠1$ 即$a≠\frac{1}{b}$,$\therefore a$,$\frac{1}{b}$是方程$2x^2 + 2026x + 3 = 0$的两根,$\therefore a·\frac{1}{b} = \frac{3}{2}$,即$\frac{a}{b} = \frac{3}{2}.$
(3)由题意,知$1 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^2} = 0,\therefore \frac{2}{n^2} - \frac{3}{n} - 1 = 0.$
又$2m^2 - 3m - 1 = 0$,且$mn≠1$ 即$m≠\frac{1}{n}$,
$\therefore m,\frac{1}{n}$是方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$的两根,
$\therefore m + \frac{1}{n} = \frac{3}{2},m·\frac{1}{n} = -\frac{1}{2}$,
$\therefore m^2 + \frac{1}{n^2} = (m + \frac{1}{n})^2 - 2m·\frac{1}{n} = (\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = \frac{13}{4}.$