1. [2026 盐城鹿鸣路初级中学月考]设$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值为（）

A.2023
B.2024
C.2025
D.2026

∵a是方程$x^2 + x - 2\ 026 = 0$的实数根,$\therefore a^2 + a - 2\ 026 = 0$,$\therefore a^2 = -a + 2\ 026$,$\therefore a^2 + 2a + b = -a + 2\ 026 + 2a + b = a + b + 2\ 026. \because a,b$是方程$x^2 + x - 2\ 026 = 0$的两个实数根,$\therefore a + b = -1$,$\therefore a^2 + 2a + b = -1 + 2\ 026 = 2\ 025.$

2. [2026阳江期末] 已知实数$x$满足$(x^2 - x)^2 - 2(x^2 - x) - 15 = 0$, 则代数式$x^2 - x$的值是.

方程$(x^2 - x)^2 - 2(x^2 - x) - 15 = 0$可化为$(x^2 - x - 5)(x^2 - x + 3) = 0$,$\therefore x^2 - x - 5 = 0$或$x^2 - x + 3 = 0$(无解),$\therefore x^2 - x = 5.$

3. [2025扬州仪征期中]关于x的一元二次方程$a(x+m)^2=n$的两根是-3,2,则方程$a(x^2+x+m)^2 -n=0$的根是.

将$a(x^2 + x + m)^2 - n = 0$变形为$a[(x^2 + x) + m]^2 = n.$将$x^2 + x$看作一个整体,由题意,得$x^2 + x = -3$或$x^2 + x = 2.$当$x^2 + x = -3$,即$x^2 + x + 3 = 0$时,$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × 3 = -11 ＜ 0$,无实数根;当$x^2 + x = 2$,即$x^2 + x - 2 = 0$时,解得$x_1 = -2$,$x_2 = 1.$综上可知,方程$a(x^2 + x + m)^2 - n = 0$的根是$x_1 = -2$,$x_2 = 1.$

4. [2025宿迁钟吾初级中学月考]已知实数$m,n$满足$3m^2 -7m -2=0,2n^2 +7n -3=0$,且$mn≠1$,则$\frac{mn + 1}{mn + m + 1}$的值为 ()

A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{6}{5}$
C.$3$
D.$\frac{4}{3}$

$2n^2 + 7n - 3 = 0$可化为$3(\frac{1}{n})^2 - 7 · \frac{1}{n} - 2 = 0.$由题意,知实数$m,\frac{1}{n}$是方程$3x^2 - 7x - 2 = 0$的两个根,$\therefore m + \frac{1}{n} = \frac{7}{3}$,$m · \frac{1}{n} = -\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{mn + 1}{mn + m + 1} = \frac{m + \frac{1}{n}}{m + \frac{m}{n} + \frac{1}{n}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} - \frac{2}{3}} = \frac{7}{5}.$

5. 一题多解 已知关于$x$的方程$x^2 - (2k+1)x +4(k-\dfrac{1}{2})=0$.
类题讲解
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=1$,另两边长$b,c$恰好是该方程的两个实数根,求三角形$ABC$的周长.

解题思路：
(1) 证方程总有实数根——
(2) 求三角形周长——
(1)证明:$[-(2k + 1)]^2 - 4 × 1 × 4(k - \frac{1}{2}) = 4k^2 - 12k + 9 = (2k - 3)^2$,
$\because$ 无论$k$取何值,总有$(2k - 3)^2 \ge 0$,
$\therefore$ 无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)解: 通解 由求根公式,得$x = \frac{2k + 1 \pm |2k - 3|}{2}$,
$\therefore x_1 = 2k - 1$,$x_2 = 2$.
已知$b,c$恰好是这个方程的两个实数根,不妨设$b = 2k - 1$,$c = 2$.
当$a,b$为腰长时,则$a = b = 1$,而$a + b = c$,以$a,b,c$为边长不能构成三角形,故这种情况不成立;
当$b,c$为腰长时,则$2k - 1 = 2$,解得$k = \frac{3}{2}$,
此时三角形$ABC$的周长为$2 + 2 + 1 = 5$.
另解 当$b = c$时,$(2k - 3)^2 = 0$,则$k = \frac{3}{2}$.
方程化为$x^2 - 4x + 4 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 2$,
此时三角形$ABC$的周长为$2 + 2 + 1 = 5$.
当$b = a = 1$或$c = a = 1$时,
把$x = 1$代入$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$,
得$1 - (2k + 1) + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$,解得$k = 1$.
方程化为$x^2 - 3x + 2 = 0$,解得$x_1 = 1$,$x_2 = 2$,
此时不符合三角形的三边关系,舍去.
故三角形$ABC$的周长为$5$.

6. 新情境 操作与实践
【示范操作】法1:苏科教材九上P36用配方法解一元二次方程$x^2 + 10x = 39$，通过图形的“剪”“拼”“配”，从而得$(x + 5)^2 = 64$。
法2:古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中的配方法更加简捷，只用“拼”就完成了配方。将方程$x^2 + 10x = 39$变形为$x(x + 10) = 39$，用4个长为$(x + 10)$、宽为$x$、面积为39的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中间的小正方形的面积，得$(x + x + 10)^2 = 4×39 + 10^2$。
【模仿实践】(1)仿法2配方解$x^2 + 5x - 14 = 0$，先将方程变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，面积为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________。
【深入探究】(2)仿法2配方解$2x^2 + 5x = 3$，自己画图分析，写出解题过程。
【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性，$x^2 + 5x + 3 = 0$，变形为$x(x + 5) = -3$，没法拼图了呀！
小聪同学发现，法2中的拼图就是苏科教材七下P42练习题中的图，由此图得到“$(a + b)^2 = 4ab + (a - b)^2$”，于是有了法3，即:设$x = a$，$x + 5 = b$，则有$\begin{cases}ab = -3, \\ a - b = -5\end{cases}$，$(a + b)^2 = 4×(-3) + (-5)^2$，$(x + x + 5)^2 = 13$，配方成功，从数到形，又从形回归到数。
(3)请你用小聪的法3配方解$x^2 - 7x + 2 = 0$，写出解题过程。

(1)$x(x+5)=14$ $x+5$ $x$ $14$ $(x + x + 5)^2 = 4 × 14 + 5^2$ $x_1=2,x_2=-7$
(2)由题意,先将$2x^2 + 5x = 3$变形为$2x(2x + 5) = 6$.
如图,每个小长方形的长为$(2x + 5)$,宽为$2x$,面积为6,

利用图形的面积关系得配方后的方程为$(2x + 2x + 5)^2 = 4 × 6 + 5^2$,即$(4x + 5)^2 = 49$,
$\therefore 4x + 5 = \pm 7$,$\therefore x_1 = -3$,$x_2 = \frac{1}{2}$.
(3)先将$x^2 - 7x + 2 = 0$变形为$x(x - 7) = -2$.
设$x = a$,$x - 7 = b$,$\therefore \begin{cases}ab = -2, \\ a - b = 7,\end{cases}$
$\therefore (a + b)^2 = 4 × (-2) + 7^2$,
$\therefore (x + x - 7)^2 = 41$,即$(2x - 7)^2 = 41$,
$\therefore 2x - 7 = \pm \sqrt{41}$,
$\therefore x_1 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$,$x_2 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$.