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1. [2025湖北中考]一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
$\because a = 1,b = -4,c = 3,\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4,x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 3.$
2. [2026南京燕子矶中学月考]设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ 的两个根，则 $ x_1 + x_2 - x_1x_2 = $
1
.答案
由题意,知$x_1 + x_2 = -2,x_1 x_2 = -3,\therefore x_1 + x_2 - x_1 x_2 = -2 - (-3) = 1.$
3. 一题多解 [2025 盐城建湖期中] 已知 $x = -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + kx - 6 = 0$ 的一个根，则另一个根是 (
A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.$x = -4$
D.$x = 4$
A
)A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.$x = -4$
D.$x = 4$
答案
✅通解 设另一个根为$a$. 由题意及根与系数的关系,得$a·(-2) = -6$,解得$a = 3$.
✅另解 $\because x = -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + kx - 6 = 0$的一个根,$\therefore (-2)^2 + k(-2) - 6 = 0$,解得$k = -1$,则原方程为$x^2 - x - 6 = 0,\therefore (x - 3)(x + 2) = 0$,解得$x_1 = 3,x_2 = -2$,$\therefore$ 另一个根是3.
✅另解 $\because x = -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + kx - 6 = 0$的一个根,$\therefore (-2)^2 + k(-2) - 6 = 0$,解得$k = -1$,则原方程为$x^2 - x - 6 = 0,\therefore (x - 3)(x + 2) = 0$,解得$x_1 = 3,x_2 = -2$,$\therefore$ 另一个根是3.
4. 一题多解 下列方程中,两根分别为2和3的方程是 (
A.$x^2 - x - 6 = 0$
B.$x^2 - 5x - 6 = 0$
C.$x^2 + x + 6 = 0$
D.$x^2 - 5x + 6 = 0$
D
)A.$x^2 - x - 6 = 0$
B.$x^2 - 5x - 6 = 0$
C.$x^2 + x + 6 = 0$
D.$x^2 - 5x + 6 = 0$
答案
✅通解 已知方程的两根分别为2和3,所以$2 + 3 = 5,2×3 = 6$,所以两根分别为2和3的方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$.
✅另解 两根分别为2和3的方程可为$(x - 2)(x - 3) = 0$,整理,得$x^2 - 5x + 6 = 0$.
✅另解 两根分别为2和3的方程可为$(x - 2)(x - 3) = 0$,整理,得$x^2 - 5x + 6 = 0$.
5. 新考向·结论开放 写出一个两根分别为-2,1的一元二次方程,并整理成一般式:
$x^2 + x - 2 = 0$(答案不唯一)
.答案
$x^2 + x - 2 = 0$(答案不唯一)
6. [2025绥化中考]已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m + 1)·(n + 1)=\_\_\_\_\_\_$。
答案
2027 由题意,得$m + n = 2025,mn = 1,\therefore (m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1 = 1 + 2025 + 1 = 2027.$
7. [2026南京一模]设$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x +m=0$的两个根，且$x_1 +3x_2=5$，则$m$的值为
2
。答案
$\because x_1,x_2$是方程$x^2 - 3x + m = 0$的两个根,$\therefore x_1 + x_2 = 3$,$x_1 x_2 = m. \because x_1 + x_2 + 2x_2 = 5,\therefore 3 + 2x_2 = 5,\therefore x_2 = 1,\therefore x_1 = 2$.$\because x_1 x_2 = m,\therefore m = 2.$
8. [2025无锡港下中学月考] 直角三角形的两直角边长是方程$x^2 -8x +14=0$的两根，则它的斜边长为
拍批+错题本
6
。拍批+错题本
答案
设该直角三角形的斜边长为$c(c＞0)$,两直角边长分别为$a$与$b$. $\because$ 该直角三角形两直角边长是方程$x^2 - 8x + 14 = 0$的两根,$\therefore a + b = 8,ab = 14,\therefore c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 8^2 - 2×14 = 36,\therefore c = 6$(负值舍去).
9. 易错题 [2025 盐城阜宁期中] 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2k + 1)x + k^2 - k + 1 = 0 $ 有两个实数根.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别是 $ x_1, x_2 $，且 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 11 $，求 $ k $ 的值.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别是 $ x_1, x_2 $，且 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 11 $，求 $ k $ 的值.
答案
解:(1)$\because$ 方程有两个实数根,
$a = 1,b = 2k + 1,c = k^2 - k + 1$,
$\therefore b^2 - 4ac = (2k + 1)^2 - 4(k^2 - k + 1)≥0$,解得$k≥\frac{3}{8}$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = -2k - 1,x_1 x_2 = k^2 - k + 1$.
$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 11$,
即$x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 11$,
$\therefore k^2 - k + 1 - 2k - 1 + 1 = 11$,
整理,得$k^2 - 3k - 10 = 0$,解得$k_1 = -2,k_2 = 5$,
由(1),得$k≥\frac{3}{8},\therefore k = 5.$
$a = 1,b = 2k + 1,c = k^2 - k + 1$,
$\therefore b^2 - 4ac = (2k + 1)^2 - 4(k^2 - k + 1)≥0$,解得$k≥\frac{3}{8}$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1 + x_2 = -2k - 1,x_1 x_2 = k^2 - k + 1$.
$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 11$,
即$x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 11$,
$\therefore k^2 - k + 1 - 2k - 1 + 1 = 11$,
整理,得$k^2 - 3k - 10 = 0$,解得$k_1 = -2,k_2 = 5$,
由(1),得$k≥\frac{3}{8},\therefore k = 5.$
10. 已知$α,β$是方程$x^2 + 2x - 4 = 0$的两个实数根，且$α ＞ β$. 求下列代数式的值：
(1)$α + β(α + 1)$；
(2)$α^2 + 4α + 2β$；
(3)$α - β - |1 - 2\sqrt{5}|$.
(1)$α + β(α + 1)$；
(2)$α^2 + 4α + 2β$；
(3)$α - β - |1 - 2\sqrt{5}|$.
答案
解:$\because α,β$是方程$x^2 + 2x - 4 = 0$的两个实数根,
$\therefore α + β = -2,αβ = -4,α^2 + 2α = 4.$
(1)$α + β(α + 1) = α + αβ + β = α + β + αβ = -2 + (-4) = -6.$
(2)$α^2 + 4α + 2β = α^2 + 2α + 2α + 2β = α^2 + 2α + 2(α + β) = 4 + 2×(-2) = 0.$
(3)$(α - β)^2 = (α + β)^2 - 4αβ = (-2)^2 - 4×(-4) = 20.$
$\because α ＞ β,\therefore α - β = 2\sqrt{5},$
$\therefore α - β - |1 - 2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} + 1 - 2\sqrt{5} = 1.$
$\therefore α + β = -2,αβ = -4,α^2 + 2α = 4.$
(1)$α + β(α + 1) = α + αβ + β = α + β + αβ = -2 + (-4) = -6.$
(2)$α^2 + 4α + 2β = α^2 + 2α + 2α + 2β = α^2 + 2α + 2(α + β) = 4 + 2×(-2) = 0.$
(3)$(α - β)^2 = (α + β)^2 - 4αβ = (-2)^2 - 4×(-4) = 20.$
$\because α ＞ β,\therefore α - β = 2\sqrt{5},$
$\therefore α - β - |1 - 2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} + 1 - 2\sqrt{5} = 1.$
